Санкт-Петербургская, 2021/22, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Сначала проверьте, успеет ли лихач проехать светофор. Для осторожного водителя найдите скорость у светофора по времени и расстоянию.

Ответ

Осторожный водитель окажется впереди на \(22{,}5\) м.

Решение

Сразу отметим, что \(90\) км/ч \(=25\) м/с. Лихач движется с максимальной разрешённой скоростью до тех пор, пока не приходится начинать тормозить с максимальным ускорением, чтобы не проехать на красный. Торможение от максимальной скорости до нуля занимает \(t_1 = \dfrac{25}{5} = 5\) с, путь при нём \(\ell_1 = \dfrac{25}{2}\cdot 5 = 62{,}5\) м. Оставшееся расстояние \(\ell_2 = 150 - 62{,}5 = 87{,}5\) м он проходит за \(t_2 = \dfrac{87{,}5}{25} = 3{,}5\) с. Поскольку \(t_1 + t_2 = 8{,}5\) с \(<10\) с, лихачу придётся стоять на светофоре.

Осторожный водитель движется с таким ускорением, что проезжает светофор ровно в момент переключения сигнала, со скоростью \(v_1\): \(150 = \dfrac{25 + v_1}{2}\cdot 10\), откуда \(v_1 = 5\) м/с.

Когда сигнал светофора сменится на зелёный, лихачу потребуется ещё \(t_1 = 5\) с и \(\ell_3 = \ell_1 = 62{,}5\) м, чтобы разогнаться до максимальной скорости. За это время осторожный водитель разгонится до \(25\) м/с за \(t_3 = \dfrac{25 - 5}{5} = 4\) с и ещё \(1\) с будет ехать с максимальной скоростью. Он проедет \(\ell_4 = \dfrac{25 + 5}{2}\cdot 4 + 25\cdot 1 = 85\) м и окажется на \(\ell_4 - \ell_3 = 22{,}5\) м впереди лихача.

Ответ: осторожный водитель окажется впереди на \(22{,}5\) м.

Подсказка

Подключение к квадрату даёт две параллельные ветви. Выразите сопротивление через одну из ветвей и найдите его наибольшее и наименьшее значения.

Ответ

От \(0{,}75\) кОм до \(1\) кОм (все промежуточные значения достигаются).

Решение

При любом подключении омметра к квадрату сопротивление можно найти как \[R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{R_1 (R_0 - R_1)}{R_0},\] где \(R_0 = 4\) кОм, а \(R_1\) и \(R_2\) — сопротивления параллельных участков квадрата между клеммами. Рассмотрим \(R\) как функцию от \(R_1\). Максимальное значение этой функции достигается в точке \(R_1 = R_0/2\) и равно \(R_{\max} = \dfrac{R_0}{4} = 1\) кОм. Это значение достигается при подключении клемм к серединам противоположных сторон квадрата.

Минимальное значение функции достигается при минимальном (и максимальном) \(R_1\). Так как расстояние между клеммами равно стороне квадрата, \(R_1\) не может быть меньше сопротивления одной стороны, то есть \(R_0/4 = 1\) кОм. Минимальное значение \(R\) тогда равно \(R_{\min} = \dfrac{3}{16}R_0 = 0{,}75\) кОм. Это значение достигается при подключении клемм к соседним вершинам квадрата. Очевидно, что все промежуточные значения тоже достигаются.

Ответ: показания омметра лежат в промежутке от \(0{,}75\) кОм до \(1\) кОм.

Подсказка

Минимальная сила прикладывается с наибольшим плечом; направление силы ограничено трением, поэтому ответ зависит от \(\mu\).

Ответ

При \(\mu \ge \sqrt{3}\): \(\dfrac{F_2}{F_1} = \sqrt{3}\); при \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} \le \mu < \sqrt{3}\): \(\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{\cos(\alpha - 30^\circ)}\); при \(\mu < \dfrac{1}{\sqrt{3}}\): \(\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{\sqrt{3}\cos(\alpha - 60^\circ)}{\cos(\alpha - 30^\circ)}\).

Решение

Будем считать, что кран открывается по часовой стрелке. Чтобы вращать вентиль с наименьшей силой, нужно прикладывать эту силу с наибольшим плечом. Для этого точка приложения должна находиться на краю стороны вентиля, а направление приложения силы зависит от значения \(\mu\). Максимальное возможное плечо равно расстоянию от угла вентиля до центра оси вращения. Оно достигается, когда угол \(\alpha\) между стороной и направлением силы равен \(60^\circ\) для треугольного вентиля и \(30^\circ\) для шестиугольного. Однако такие углы достижимы, только если \(\mu \ge \operatorname{ctg}60^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) и \(\mu \ge \operatorname{ctg}30^\circ = \sqrt{3}\) соответственно.

1. \(\mu \ge \sqrt{3}\). Обозначим сторону исходного вентиля \(\ell\), тогда плечо равно \(\ell/\sqrt{3}\). После спиливания сторона станет \(\ell/3\), а плечо — тоже \(\ell/3\). По правилу рычага \(F_1\dfrac{\ell}{\sqrt{3}} = F_2\dfrac{\ell}{3}\), откуда \(\dfrac{F_2}{F_1} = \sqrt{3}\).

2. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} \le \mu < \sqrt{3}\). Плечо для треугольного вентиля не изменяется, а угол между стороной шестиугольника и направлением силы нужно взять наименьшим возможным, то есть \(\operatorname{ctg}\alpha = \mu\). Плечо равно \(\dfrac{\ell}{3\cos(\alpha - 30^\circ)}\), откуда \(\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{\cos(\alpha - 30^\circ)}\).

3. \(\mu < \dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Теперь оба угла с поверхностью нужно взять минимально возможными. Второе плечо такое же, как в предыдущем случае, а первое плечо находим по аналогии: \(\dfrac{\ell}{\sqrt{3}\cos(\alpha - 60^\circ)}\). Получаем \(\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{\sqrt{3}\cos(\alpha - 60^\circ)}{\cos(\alpha - 30^\circ)}\).

Подсказка

Жгут можно представить как два последовательных участка с жёсткостями \(k_1\) и \(k_2\), связанными \(1/k_1 + 1/k_2 = 1/k\). Запишите равновесие циркача в трёх положениях.

Ответ

Циркач повиснет на высоте \(\dfrac{4}{5}H\).

Решение

Пусть жёсткость всего жгута \(k\), масса циркача \(m\), ускорение свободного падения \(g\). Равенство сил для исходного положения: \(mg = k\left(H + \dfrac{4}{5}H\right) = \dfrac{9}{5}kH\). Когда циркач поднялся и держится за жгут, сверху и снизу от него находятся отрезки жгута с жёсткостями \(k_1\) (верхний) и \(k_2\) (нижний), которые связаны соотношением \(\dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2} = \dfrac{1}{k}\). Равенство сил для второго положения: \(mg = 2k_1\cdot 2\left(H - \dfrac{2}{3}H\right) - k_2\cdot\dfrac{2}{3}H\). Пусть после разрезания нижнего жгута циркач завис на высоте \(h\): \(mg = 2k_1\cdot 2(H - h)\).

Введём \(\alpha = k_1/k\) и \(\beta = k_2/k\). Получаем систему \[\begin{cases} \dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = 1,\\[4pt] \dfrac{4}{3}\alpha - \dfrac{2}{3}\beta = \dfrac{9}{5},\\[4pt] 4\alpha\left(1 - \dfrac{h}{H}\right) = \dfrac{9}{5}. \end{cases}\] Решив её, получаем \(\dfrac{h}{H} = \dfrac{4}{5}\).

Ответ: циркач повиснет на высоте \(\dfrac{4}{5}H\).

Подсказка

Сравните, как изменяется время остывания от цикла к циклу: из отношения остываний на соседних циклах по клеткам графика найдите долю воды, испаряемую за цикл.

Ответ

В \(\dfrac{19}{15}\) раза.

Решение

Введём обозначения: \(t\) — время между переключениями, \(P_1\) — мощность чайника, \(P_2\) — мощность теплопотерь, \(m\) — изначальная масса воды в чайнике, \(c\) — удельная теплоёмкость воды, \(L\) — удельная теплота парообразования. Рассмотрим первый цикл, то есть промежуток между первым и вторым выключением. Сначала вода остывает от температуры кипения на \(\Delta T_1 = \dfrac{P_2 t}{mc}\), затем нагревается обратно до температуры кипения за время \[t_1 = \dfrac{mc\,\Delta T_1}{P_1 - P_2} = \dfrac{P_2}{P_1 - P_2}\,t,\] которое меньше \(t\), как следует из графика. Затем вода кипит время \(t_2 = t - t_1 = \dfrac{P_1 - 2P_2}{P_1 - P_2}\,t\), в результате чего её масса уменьшается на \[\Delta m = \dfrac{(P_1 - P_2)t_2}{L} = \dfrac{(P_1 - 2P_2)\,t}{L}.\] В последующих циклах меняется только масса воды, причём каждый раз на фиксированную величину \(\Delta m\). Поскольку воды становится меньше, остывать она будет успевать на большую величину. На втором цикле \(\Delta T_2 = \dfrac{P_2 t}{(m - \Delta m)c} = \dfrac{m}{m - \Delta m}\,\Delta T_1\). Отношение \(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1} = \dfrac{19}{18}\) найдено по клеткам графика. Тогда \(\dfrac{m}{m - \Delta m} = \dfrac{19}{18}\), откуда \(\dfrac{\Delta m}{m} = \dfrac{1}{19}\).

За один цикл испаряется \(\dfrac{1}{19}\) исходной массы воды. После пяти отключений, то есть за четыре полных цикла, испарится \(\dfrac{4}{19}\) часть. Объём воды уменьшится в \(\dfrac{1}{1 - \frac{4}{19}} = \dfrac{19}{15}\) раза.

Ответ: после пяти отключений объём воды в чайнике уменьшится в \(\dfrac{19}{15}\) раза.