Санкт-Петербургская, 2021/22, заключительный этап, 7 класс

Считайте длину траектории: она складывается из продольных проездов и разворотов. Для участка вдвое большего периметра сторона в два раза больше, а число проездов растёт пропорционально.

\(80{,}5\) мин.

Пусть по вертикали в одну сторону Гаврила проезжает \(L\); по горизонтали за разворот он проезжает \(L/10\), а от границ участка держится на расстоянии \(L/20\). Длина траектории для исходного участка \[S_1 = 11L + 10\cdot\frac{L}{10} = 12L.\] Для участка вдвое большего периметра траектория содержит 22 продольных проезда и 21 разворот: \[S_2 = 22\left(2L + 2\cdot\frac{L}{20}\right) + 21\cdot\frac{L}{10} = \frac{21\cdot 23}{10}\,L.\] Отсюда время \(T = \dfrac{S_2}{S_1}T_0 = 80{,}5\) мин.

Запишите условие равновесия одного стержня, подвешенного на двух пружинах, затем условие равновесия для верхнего стержня в системе, где он держит нижний.

\(\ell_0 = 10\) см.

Для одного стержня на двух пружинах с жёсткостью \(k\) каждая и начальной длиной \(\ell_0\): \[mg = 2k(h-\ell_0), \qquad h = 12~\text{см}.\] В системе сила натяжения каждой пружины нижнего стержня равна \(mg/2\), и эти пружины растянуты до длины \(h\). Верхние стержни находятся на высоте \(x\) и удерживают весь подвес; по официальному решению \[\frac{3}{2}\,mg = 2k\,(x-\ell_0), \qquad x + h = H = 25~\text{см}.\] Из этих уравнений с учётом \(mg = 2k(h-\ell_0)\) получаем \(\ell_0 = 5h - 2H = 10\) см.

Самая тяжёлая часть — та половинка, которую не разрезали. Сравните плотности двух оставшихся частей и учтите, что их объёмы равны.

\(100\) г, \(60\) г и \(40\) г.

Самая тяжёлая часть — неразрезанная половинка, её масса \(100\) г. Так как объёмы двух оставшихся частей равны, их массы относятся как их плотности, то есть как \(2 : 3\). Их суммарная масса равна \(100\) г, поэтому массы частей \(60\) г и \(40\) г.

Вода в левом сосуде удерживается разностью сил упругости верхней и нижней пружин. Найдите, какая часть добавляемой воды попадает в левый сосуд, через скорости поршней.

\(S = 50\) см\(^2\).

Масса воды в левом сосуде равна разности сил упругости нижней и верхней пружин, делённой на \(g\): \(mg = F_2 - F_1\). Изменения сил \(\delta F_1 = k\,\delta h_1\), \(\delta F_2 = k\,\delta h_2\), поэтому масса воды в левом сосуде растёт со скоростью \[\frac{\delta m}{\delta t} = \frac{k(v_2-v_1)}{g} = \frac{100\ \text{Н/м}\cdot 5\ \text{см/мин}}{10\ \text{Н/кг}} = 0{,}5\ \text{кг/мин}.\] Значит, в правый (открытый) сосуд в минуту поступает только \(0{,}5\) л воды. Так как уровень в нём поднимается со скоростью \(10\) см/мин, площадь сечения \(S = 50\) см\(^2\).

Пока кубик плавает, не касаясь крышки, давление растёт линейно, но с другим наклоном. Излом графика соответствует моменту касания кубиком крышки сосуда: тогда эффективная площадь сечения уменьшается.

\(V = 125\) см\(^3\).

Пока кубик не касается крышки, уровень воды растёт с постоянной скоростью, и давление растёт линейно с наклоном \(k_1 = \dfrac{\rho g\,\delta V}{\delta t}\cdot\dfrac{1}{S}\). После касания крышки эффективная площадь сечения равна \(S - S_\text{к}\) (здесь \(S_\text{к}\) — площадь кубика), наклон \(k_2 = \dfrac{\rho g\,\delta V}{\delta t}\cdot\dfrac{1}{S - S_\text{к}}\). Из графика \(k_2 = 2k_1\), откуда \(1 - \dfrac{S_\text{к}}{S} = \dfrac{1}{2}\), то есть \(S_\text{к} = 25\) см\(^2\). Объём кубика (высота равна стороне \(5\) см) \(V = 125\) см\(^3\).

Число велосипедистов, которых обгоняет Гаврила, пропорционально разности скоростей. Сравните суммы таких вкладов для скоростей ниже и выше его скорости.

\(26{,}5\) км/ч.

Пусть длина трассы \(L\), заезд длился время \(T\), скорость Гаврилы \(v\). Число велосипедистов, которых он обогнал среди тех, кто едет со скоростью \(u<v\), равно \(N_- = 1000\cdot(v-u)\cdot\dfrac{T}{L}\); аналогично число обогнавших его \(N_+\) получается суммированием по \(u>v\) с той же формулой. При \(v = 27\) км/ч и \(v = 26\) км/ч отношение \(N_+/N_-\) равно \(3{,}25\) и \(5\) соответственно, так что искомая скорость лежит между \(26\) и \(27\) км/ч. Пусть \(v = 26~\text{км/ч} + x\), \(0<x<1\). Тогда (в единицах \(1000\,T/L\)) \[N_- = 21 + 7x, \qquad N_+ = 105 - 14x.\] Условие \(N_+ = 4N_-\) даёт \(105 - 14x = 4(21+7x)\), откуда \(x = 0{,}5\) км/ч. Ответ: \(v = 26{,}5\) км/ч.

Волна распространяется от каждой точки погружения по окружностям; точки погружения лежат на пересечении фронтов от двух стержней. Расстояние, которое прошла волна от точки погружения, даёт время, пройденное с момента погружения.

\(t_A \approx 3{,}2\) с, \(t_B \approx 2\) с, \(t_C \approx 3{,}7\) с.

Каждая точка погружения создаёт волну, расходящуюся во все стороны. Фронты от двух стержней пересекаются в точке \(B\) в момент её погружения; положения точек \(A\) и \(C\) находятся по центрам дуг окружностей. По масштабу рисунка измеряем расстояние, пройденное волной от каждой точки: от \(A\) — \(16\) см, от \(C\) — \(18{,}5\) см, от \(B\) — около \(10\) см. При скорости \(5\) см/с получаем \(t_A = 3{,}2\) с, \(t_C = 3{,}7\) с, \(t_B = 2\) с.

Масса системы складывается из массы установки, гаек и конфеты. Прямая в осях \(t^2(1/m)\) позволяет по измеренному времени подъёма системы с конфетой найти её общую массу, а затем массу конфеты.

Ориентир по критериям оценивания: масса конфеты около \(4{,}15\) г (допуск \(\pm10\%\)).

Шарик всегда стартует с одного уровня (с пола), и масса поднимающейся системы в процессе подъёма постоянна. Серии измерений проводятся для системы без грузов и с добавлением гаек (всего семь серий при массах от \(4\) до \(7{,}9\) г). Средние времена подъёма (по трём–пяти измерениям) — от \(1{,}94\) с до \(4{,}58\) с.

Экспериментальные точки в осях, заданных в условии, ложатся на прямую с приемлемой достоверностью: \(1/\bar t^2 = -0{,}0548\,m + 0{,}4786\), \(R^2 = 0{,}9968\) (по таблице официального решения). По времени подъёма системы с конфетой находят её массу по графику.

Сравните условия плавания шприца с грузом при двух способах подвеса (за наконечник и за поршень) и при полном утоплении. Используйте равенство сил Архимеда в обоих случаях.

\(V_\text{шприца} = V_1 - 2V_2\); по измерениям \(V_\text{шприца} \approx 11\!-\!14\) мл, масса \(m = \rho_\text{воды} V_\text{шприца} \approx 11\!-\!14\) г.

1. Подвешиваем груз к наконечнику шприца и отпускаем его в ведро наконечником вниз, отмечаем уровень погружения. 2. Подвешиваем груз к рукоятке поршня и отпускаем шприц рукояткой вниз. Изменяя объём воздуха в шприце, добиваемся того же уровня погружения и измеряем объём воздуха \(V_1\). 3. Силы тяжести в обоих случаях одинаковы, значит равны и силы Архимеда; погружённые объёмы одинаковы, и каждый из них равен половине суммарного объёма шприца с воздухом: \[(m_\text{груза}+m_\text{шприца})g = \rho g\left(V_\text{груза}+V_\text{шприца}+\frac{V_1}{2}\right).\] 4. Уменьшая объём воздуха, добиваемся полного утопления шприца; граничный объём воздуха \(V_2\): \[(m_\text{груза}+m_\text{шприца})g = \rho g\left(V_\text{груза}+V_\text{шприца}+V_2\right).\] 5. Из уравнений 3 и 4 получаем \(V_\text{шприца} = V_1 - 2V_2\). 6. Выпустив воздух и опустив шприц без груза, видим, что он плавает почти полностью погружённым: плотность шприца близка к плотности воды, поэтому \(m \approx \rho_\text{воды}V_\text{шприца}\).