Санкт-Петербургская, 2021/22, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Постройте график «расстояние от Петербурга — время»: движению каждой машины соответствует прямая, а встречи — точки пересечения прямых.

Ответ

Машины приехали в Москву в 20:40, 21:00 и 22:00.

Решение

Удобнее всего решать эту задачу графически. Построим график, где по вертикальной оси отложено расстояние от Петербурга, а по горизонтальной — время. Тогда движению каждой из машин соответствует некоторая прямая, а встречам — точки пересечения прямых. Отметим их на графике и проведём три прямые, которые проходят через эти точки. Осталось определить, в какой момент времени эти прямые пересекают горизонталь \(s = 700\) км.

По графику машины приехали в Москву в 20:40, 21:00 и 22:00.

Подсказка

Запишите условие равновесия относительно центра масс контейнера и выразите разность сил через смещение центра масс.

Ответ

Да, достаточно: даже при ошибке \(50\) см разность сил составляет около \(81\) кН, что меньше \(100\) кН.

Решение

На контейнер действуют три силы: сила тяжести \(mg\), сила \(F_1\) со стороны левого зажима и сила \(F_2\) со стороны правого. Из второго закона Ньютона \[F_1 + F_2 = mg.\] Запишем правило рычага относительно центра масс, считая, что при закреплении зажимов рабочие ошиблись на \(\Delta x\): \[F_1\left(\frac{\ell}{2} - \Delta x\right) = F_2\left(\frac{\ell}{2} + \Delta x\right).\] Отсюда \[(F_1 + F_2)\,\Delta x = \frac{\ell}{2}\,(F_1 - F_2),\] и с учётом первого уравнения \[F_1 - F_2 = \frac{2mg\,\Delta x}{\ell}.\] Видно, что чем больше \(\Delta x\), тем больше разность сил. Подставим крайний случай \(\Delta x = 50\) см: \[F_1 - F_2 = \frac{2\cdot 100\,\text{т}\cdot 9{,}8\,\text{м/с}^2\cdot 50\,\text{см}}{12\,\text{м}} \approx 81\,\text{кН}.\]

Это меньше \(100\) кН, поэтому кран гарантированно не сломается.

Подсказка

Мощность постоянна, поэтому тепло пропорционально времени. Сравните тепло, ушедшее на нагрев льда и на плавление за время \(\Delta t\), когда лёд имеет температуру \(0\,^{\circ}\)C.

Ответ

Ещё примерно \(34{,}5\) с.

Решение

Пусть масса ледяной крошки в блюдце равна \(M\), мощность плиты \(P\). За первые \(t\) секунд льду передано тепло \(Pt\); оно пошло на нагрев льда на \(\Delta T = 10\,^{\circ}\)C и на плавление части льда массой \(m_1\): \[Pt = c_{\text{л}} M \Delta T + \lambda m_1.\] Дальше, пока весь лёд не растаял, в блюдце лёд и вода при \(0\,^{\circ}\)C, и всё тепло идёт на плавление. За \(\Delta t\) растаяла масса \[m_2 = \frac{P\,\Delta t}{\lambda}.\] Вода перестала переливаться, когда растаяла половина льда: \(m_1 + m_2 = \dfrac{M}{2}\). Подставляя \(m_1\) в первое уравнение, получаем \[P(t + \Delta t) = c_{\text{л}} M \Delta T + \frac{\lambda M}{2}.\] Через таяние оставшегося льда массой \(M/2\) и нагрев воды до \(5\,^{\circ}\)C в блюдце останется вода массой \(M - m_2\) (масса \(m_2\) вылилась через край). Значит, \[P\,t_x = \frac{\lambda M}{2} + c_{\text{в}}(M - m_2)\cdot 5\,^{\circ}\text{C}.\] Так как \(c_{\text{в}} = 2c_{\text{л}}\), с учётом предыдущего уравнения получаем \[P\,t_x = P(t + \Delta t) - P\,\Delta t\,\frac{c_{\text{л}}\cdot 5\,^{\circ}\text{C}}{\lambda},\] и искомое время \[t_x = t + \Delta t\left(1 - \frac{c_{\text{л}}\cdot 5\,^{\circ}\text{C}}{\lambda}\right) = 20\,\text{с} + 15\,\text{с}\cdot\left(1 - \frac{2{,}1\cdot 5}{330}\right) \approx 34{,}5\,\text{с}.\]

Подсказка

Дым неподвижен относительно воздуха, поэтому его след — это сдвиг выпущенных точек на юг. Как связаны наклон касательной к следу и скорость парохода?

Ответ

Максимальная скорость парохода была в точке \(A\).

Решение

Рассмотрим малый промежуток времени \(\delta t\), в течение которого скорость парохода \(v\) можно считать постоянной. Пусть в начале этого промежутка пароход находился в точке \(C\), а в конце — в точке \(D\); тогда \(CD = v\,\delta t\). Дым, который выпускает пароход, не движется относительно воздуха, значит, он смещается на юг со скоростью ветра \(u\). Поэтому в тот момент, когда пароход находился в точке \(D\), дым, выпущенный в точке \(C\), сместился на юг на \(u\,\delta t\), а след — отрезок.

Чем больше скорость парохода, тем ближе этот отрезок к горизонтали. Значит, точке, в которой скорость парохода максимальна, соответствует точка на следе дыма, в которой касательная ближе всего к горизонтали. Это точка \(A\).

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, которая движется вдоль осей с подходящей постоянной скоростью. Есть ли у картины симметрия?

Ответ

\(S \approx 35{,}4\) м.

Решение

Перейдём в систему отсчёта, которая движется вдоль осей \(x\) и \(y\) со скоростью \(2{,}5\) м/с, и перерисуем график. Заметим, что график симметричен относительно начала координат: каждому участку со скоростью \(\vec v\) есть парный участок со скоростью \(-\vec v\). Значит, в этой системе отсчёта тело вернулось в начальную точку. Поэтому в исходной системе перемещение по осям равно \[S_x = S_y = 2{,}5\,\text{м/с}\cdot 10\,\text{с} = 25\,\text{м},\] а полное перемещение \[S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2} \approx 35{,}4\,\text{м}.\]

Подсказка

Сначала найдите силу Архимеда, при которой пружины сжаты на \(\Delta x/2\), и объём погружённой части стакана. Помните, что погружение может происходить в два этапа.

Ответ

Два ответа: \(H = \dfrac{m}{2S\rho}\) (пока стакан не погрузился целиком) и \(H = \dfrac{km}{2gS^2\rho^2} + \dfrac{2hk - mg}{2Sg\rho}\) (после погружения стакана).

Решение

Когда в бассейне нет воды, на стакан действуют сила тяжести и сила упругости нижних пружин. Обозначим эффективную жёсткость этих пружин \(k_0\); тогда \[mg - k_0\,\Delta x = 0.\] Когда пружины сжаты на \(\Delta x/2\), к силам добавляется сила Архимеда \(F_{\text{Арх}}\): \[mg + F_{\text{Арх}} - \frac{k_0\,\Delta x}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{\text{Арх}} = \frac{mg}{2}.\] Значит, объём погружённой части стакана должен быть \[V_{\text{п}} = \frac{m}{2\rho}.\] Сначала вода набирается, и растяжение пружин уменьшается. Глубина, при которой объём погружённой части равен \(V_{\text{п}}\) (рис. 1): \[SH = \frac{m}{2\rho} \quad\Rightarrow\quad H = \frac{m}{2S\rho}.\] Сила Архимеда растёт, пока стакан не погрузится целиком. После этого давление воды сжимает внутреннюю пружину, объём погружённой части уменьшается, а с ним и сила Архимеда. Пусть глубина равна \(H\) (рис. 2), тогда внутренняя пружина сжата на \(\ell\): \[k\ell = S\rho g(H - h + \ell) \quad\Rightarrow\quad \ell = \frac{S\rho g(H - h)}{k - S\rho}.\]

Чтобы пружины были сжаты на \(\Delta x/2\), должно выполняться \(V_{\text{п}} = S(\ell - h) = \dfrac{m}{2\rho}\), откуда \[\frac{hk - HS\rho}{S\rho - k} = \frac{m}{2S\rho},\] и глубина \[H = \frac{km}{2gS^2\rho^2} + \frac{2hk - mg}{2Sg\rho}.\]

Подсказка

Излом графика соответствует удару о стенку. Для точек графика выразите среднюю скорость через расстояние и время до середины трубки.

Ответ

\(L = 10\) м.

Решение

Заметим, что точкам излома на графике соответствуют удары шарика о стенки трубки. Обозначим их на графике буквами \(A\) и \(B\). Значит, шарик проходит трубку за \(20\) с.

Шарик движется с постоянной скоростью, поэтому можно восстановить моменты времени, когда он находится посередине трубки (точки \(C\) и \(D\) на графике). Из графика видно, что средние скорости в этих точках равны, значит, движение началось в середине трубки, и средняя скорость там равна нулю. Тогда средние скорости в точках \(A\) и \(B\) равны \[v_A = 10\,\text{м/мин}, \qquad v_B = -6\,\text{м/мин}.\] С другой стороны, если точке \(C\) соответствует время \(t_C\), то \[v_A = \frac{L}{2(t_C - 10\,\text{с})}, \qquad v_B = \frac{L}{2(t_C + 10\,\text{с})}.\] Значит, \[\frac{t_C}{L} - \frac{10\,\text{с}}{L} = \frac{1\,\text{мин}}{10\,\text{м}},\] \[\frac{t_C}{L} + \frac{10\,\text{с}}{L} = \frac{1\,\text{мин}}{6\,\text{м}}.\] Вычитая из второго уравнения первое, получаем \[\frac{20\,\text{с}}{L} = \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{10}\right)\frac{\text{мин}}{\text{м}} = \frac{1}{15}\,\frac{\text{мин}}{\text{м}} \quad\Rightarrow\quad L = 10\,\text{м}.\]

Подсказка

Выразите массу монеток \(m\) из формулы для \(S\) через \(1/S\): какая зависимость получается и что означает её свободный член?

Решение

1. Запускаем пробку с одной и той же отметки, следим за тем, чтобы прочие условия запуска были одинаковы. Повторяя это не менее пяти раз, отмечаем на полу положения пробки. Кладём в пробку монетки и повторяем опыт. Измеряем расстояние, пройденное пробкой, и заносим данные в таблицу (в официальном решении — по десять измерений на каждую массу; средние значения \(S_{\text{сред}}\) и \(1/S_{\text{сред}}\) даны в таблице).

2. По полученным данным строим график зависимости \(m(1/S)\).

3. По условию \(S = \dfrac{E}{2\mu\,(m + m_{\text{проб}})\,g}\), откуда \[m = \frac{E}{2\mu g}\cdot\frac{1}{S} - m_{\text{проб}}.\] Эта зависимость линейна, её график — прямая. 4. Аппроксимирующая прямая по данным опытов: \(m \approx 97{,}5\cdot\dfrac{1}{S} - 1{,}47\) (здесь \(m\) — в граммах, \(S\) — в сантиметрах, \(R^2 \approx 0{,}99\)). Свободный член даёт массу пробки \(m_{\text{проб}} \approx 1{,}5\) г.

Подсказка

Сначала найдите три одинаковых резистора по периоду мигания светодиода. Затем выясните, как период зависит от подключённого сопротивления.

Ответ

\(r \approx 97{,}6\) кОм, \(R_1 \approx 21{,}3\) кОм, \(R_2 \approx 53{,}7\) кОм.

Решение

1. Подключая к коробочке различные резисторы, замечаем, что период работы светодиода зависит от сопротивления подключаемого резистора. Так находим три одинаковых резистора: при их подключении период одинаков. 2. Подключаем к коробочке три одинаковых резистора различными способами и получаем зависимость периода \(\tau\) от сопротивления соединения \(R\). Здесь \(r\) — неизвестное сопротивление одного из одинаковых резисторов. При \(R = r\) период \(\tau \approx 2{,}2\) с; при \(R = 2r\) — \(4{,}4\) с; при \(R = 3r\) — \(6{,}6\) с; при \(R = r/2\) — \(1{,}1\) с; при \(R = r/3\) — \(0{,}72\) с; при \(R = 3r/2\) — \(3{,}2\) с; при \(R = 2r/3\) — \(1{,}4\) с. Период находим как отношение времени нескольких периодов к их количеству: \(\tau = \dfrac{\Delta t_n}{n}\). 3. По графику видно, что период прямо пропорционален сопротивлению: \(\tau = kR\). 4. Зная сопротивление \(560\) кОм и измеряя для него период \(\tau \approx 12{,}3\) с, находим коэффициент \(k = \dfrac{\tau}{R} = \dfrac{12{,}3\,\text{с}}{560\,\text{кОм}} \approx 0{,}022\) с/кОм. 5. По измеренным периодам для остальных резисторов находим их сопротивления \(R = \dfrac{\tau}{k}\): \(r \approx 97{,}6\) кОм (истинное значение \(99{,}6\) кОм), \(R_1 \approx 21{,}3\) кОм (истинное \(22\) кОм), \(R_2 \approx 53{,}7\) кОм (истинное \(53{,}9\) кОм). Те же ответы можно получить непосредственно из графика, не вычисляя \(k\).