Санкт-Петербургская, 2021/22, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Выгоднее всего раскрыть крылья в той точке параболы, где скорость направлена вниз под углом \(30^{\circ}\) к горизонту. Остаётся выбрать угол прыжка.

Ответ

\(\ell_{\max} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) м \(\approx 2{,}89\) м.

Решение

В задаче два параметра, изменяя которые нужно максимизировать дальность полёта: угол прыжка \(\alpha\) и момент раскрытия крыльев. Наибольшее расстояние кузнечик пролетит, если начнёт планировать по касательной к параболе, то есть когда будет лететь вниз под углом \(30^{\circ}\) к горизонту. Обозначим скорость прыжка \(v\), время до раскрытия крыльев \(t\). Условие \[\frac{v_y(t)}{v_x(t)} = \frac{v\sin\alpha - gt}{v\cos\alpha} = -\operatorname{tg}30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\] даёт время \[t = \frac{v}{g}\left(\sin\alpha + \frac{\cos\alpha}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2\sqrt{3}\,v}{3g}\sin(\alpha + 30^{\circ}).\] Дальность полёта складывается из расстояния по параболе \[\ell_1 = vt\cos\alpha = \frac{2\sqrt{3}\,v^2}{3g}\sin(\alpha + 30^{\circ})\cos\alpha\] и расстояния, которое кузнечик планирует под углом \(30^{\circ}\) с высоты \(y(t)\): \[\ell_2 = y(t)\,\operatorname{ctg}30^{\circ} = \left(vt\sin\alpha - \frac{gt^2}{2}\right)\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}\,v^2}{3g}\left(\sqrt{3}\sin\alpha - \sin(\alpha + 30^{\circ})\right)\sin(\alpha + 30^{\circ}).\] Сумма \[\ell = \ell_1 + \ell_2 = \frac{2\sqrt{3}\,v^2}{3g}\,\sin^2(\alpha + 30^{\circ}).\] Наибольшее значение достигается при \(\alpha = 60^{\circ}\) и равно \[\ell_{\max} = \frac{2\sqrt{3}\,v^2}{3g} = \frac{2\sqrt{3}\cdot(5\,\text{м/с})^2}{3\cdot 10\,\text{м/с}^2} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\,\text{м} \approx 2{,}89\,\text{м}.\]

Подсказка

Запишите вертикальное равновесие всей верёвки и узла, а также горизонтальное равновесие правой половины верёвки от узла до конца.

Ответ

\(\dfrac{m}{M} = \dfrac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}\), где \(m\) — масса узла, \(M\) — масса всей верёвки.

Решение

Обозначим массу всей верёвки \(M\), а массу узла \(m\). Введём силы натяжения верёвки в точках крепления \(T_1\) и рядом с узлом \(T_2\). Второй закон Ньютона для всей верёвки в проекции на вертикальную ось: \[Mg = 2T_1\sin\alpha.\] Для узла в проекции на вертикальную ось: \[mg = 2T_2\sin\beta.\] Для части верёвки от узла до правой точки крепления в проекции на горизонтальную ось: \[T_1\cos\alpha = T_2\cos\beta.\] Подставляя сюда силы натяжения из первых двух равенств, получаем \[\frac{M\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{m\cos\beta}{\sin\beta} \quad\Rightarrow\quad \frac{m}{M} = \frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}.\]

Подсказка

Чтобы выполнить работу за наименьшее время, установка должна развивать наибольшую мощность. Рабочие на разных расстояниях от центра движутся с разными скоростями; как связаны эти скорости?

Ответ

\(t_{\min} = \dfrac{7A}{18\,v_0F_0}\).

Решение

Чтобы выполнить фиксированную работу за наименьшее время, установка должна развить максимальную мощность, равную сумме мощностей рабочих. Ясно, что как бы ни была нагружена платформа, рабочие должны поднимать её с максимальной скоростью, с которой могут. Изменяя вес порции кирпичей, мы одновременно меняем и эту скорость подъёма. Поймём, как мощность установки связана со скоростью её вращения.

Пусть ближний к центру рабочий движется по окружности радиуса \(a\) со скоростью \(v\). Тогда средний и дальний от центра рабочие движутся по окружностям радиусов \(2a\) и \(3a\) со скоростями \(2v\) и \(3v\). Максимальные мощности, которые они могут развить при таких скоростях, равны \[v F_0\left(1 - \frac{v}{v_0}\right), \qquad 2vF_0\left(1 - \frac{2v}{v_0}\right), \qquad 3vF_0\left(1 - \frac{3v}{v_0}\right).\] Полная мощность четырёх троек рабочих равна \[P = 4\left(vF_0\left(1 - \frac{v}{v_0}\right) + 2vF_0\left(1 - \frac{2v}{v_0}\right) + 3vF_0\left(1 - \frac{3v}{v_0}\right)\right) = 4v_0F_0\,\alpha\,(6 - 14\alpha),\] где \(\alpha = v/v_0\). Квадратичное выражение \(\alpha(6 - 14\alpha)\) принимает наибольшее значение посередине между корнями, то есть при \(\alpha = 3/14\); само значение равно \(9/14\). Таким образом, \[P_{\max} = 4\cdot\frac{9}{14}\,v_0F_0 = \frac{18}{7}\,v_0F_0,\] а минимальное время выполнения работы \(A\) \[t_{\min} = \frac{A}{\dfrac{18}{7}\,v_0F_0} = \frac{7A}{18\,v_0F_0}.\]

Подсказка

Тепловой поток между комнатами пропорционален разности температур — это закон Ома для цепи из одинаковых сопротивлений. Остаётся найти эквивалентное сопротивление бесконечной цепи.

Ответ

В комнате 3 установится температура \(\approx 22{,}7\,^{\circ}\)C.

Решение

Нарисуем стрелками, как передаётся тепло в этом длинном доме. В комнату 1 тепло поступает из печки, то есть «извне», а не из соседних комнат. Аналогично из комнаты 2 оно уходит наружу. Между остальными комнатами теплообмен устроен, как показано на рисунке, причём сумма втекающего тепла равна сумме вытекающего.

Мощность теплопередачи между комнатами \(i\) и \(j\) пропорциональна разности температур: \[P = \alpha\,(T_j - T_i),\] где коэффициент \(\alpha\) одинаков для всех внутренних стен. Линейность закона и закон сохранения тепла наталкивают на аналогию с электрическим током: температура — это потенциал \(\varphi\), мощность — ток, а \(\alpha\) — проводимость \(1/R\). Тогда нужно найти потенциал \(\varphi_3\) в полубесконечной цепи из одинаковых сопротивлений \(R\). Это можно сделать заменой цепи на эквивалентное сопротивление \(r\) и выделением такой же цепи внутри исходной.

Ввиду бесконечности схемы сопротивления всех трёх схем на рисунке равны: \[r = \frac{R(2R + r)}{R + 2R + r} \quad\Rightarrow\quad r = (\sqrt{3} - 1)R.\] Из равенства токов \[\frac{\varphi_3 - \varphi_1}{R} = \frac{\varphi_2 - \varphi_3}{R + r} \quad\Rightarrow\quad \varphi_3 - \varphi_1 = \frac{\varphi_2 - \varphi_3}{\sqrt{3}} \quad\Rightarrow\quad \varphi_3 = \frac{\sqrt{3}\,\varphi_1 + \varphi_2}{\sqrt{3} + 1}.\] Переводя обратно на язык тепла, получаем \[T_3 = \frac{\sqrt{3}\,T_1 + T_2}{\sqrt{3} + 1} \approx 22{,}7\,^{\circ}\text{C}.\]

Подсказка

При последовательном соединении токи через элементы одинаковы, а напряжения складываются. Сложите ВАХ диода и резистора и посмотрите, сколько значений тока соответствует одному напряжению.

Ответ

При росте напряжения ток идёт по верхней ветви до \(850\) мВ, затем скачком переходит на нижнюю ветвь. При уменьшении напряжения ток идёт по нижней ветви до \(550\) мВ, затем скачком переходит на верхнюю. Итоговый график — в решении.

Решение

При последовательном соединении токи через элементы равны, а напряжения складываются. Сложим графики вольт-амперных характеристик туннельного диода и резистора (пунктиром) и посмотрим, что получится.

В результате сложения по горизонтали ВАХ перестала быть функцией (однозначным отображением): для напряжений в диапазоне \([550\,\text{мВ};\,850\,\text{мВ}]\) возможны три значения тока.

При медленном увеличении напряжения от \(0\) мВ до \(850\) мВ сила тока даётся верхней ветвью графика; ничто не побуждает систему «перескочить» на среднюю или нижнюю ветвь. Однако при дальнейшем увеличении напряжения единственным значением тока оказывается значение с нижней ветви. Аналогично, при уменьшении напряжения от \(1000\) мВ до \(550\) мВ сила тока даётся нижней ветвью графика, затем система переходит на верхнюю. Итоговый график ВАХ:

Подсказка

Ускорение найдите из пути и времени скатывания. Какая зависимость ускорения от \(\sin\alpha\) ожидается, если шарик катится без проскальзывания?

Ответ

\(a = \dfrac{5}{9}\,g\sin\alpha\); угловой коэффициент зависимости \(a(\sin\alpha)\) равен \(\dfrac{5}{9}\,g \approx 5{,}4\) м/с\(^2\) (в критериях — \(5{,}4 \pm 0{,}4\) м/с\(^2\)).

Решение

1. Ускорение шарика вызывается проекцией силы тяжести на наклонную плоскость, равной \(mg\sin\alpha\). Напрашивается, что ускорение пропорционально \(\sin\alpha\) или пропорционально высоте \(h = l\sin\alpha\), с которой скатывается шарик, то есть \(a = kh\). Ускорение находим из соотношения \(l = \dfrac{at^2}{2}\): \[a = \frac{2l}{t^2}.\] Строя график зависимости \(a\) от \(h\), получаем прямую, угловой коэффициент которой равен \(k\). Также можно строить зависимость вида \(\dfrac{1}{t^2} = k\,\dfrac{h}{2l}\) или эквивалентные ей.

Комментарий. Момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр масс, равен \(I_c = \dfrac{2}{5}mR^2\). Расстояние от этой оси до точки касания шарика с желобом равно \(R/\sqrt{2}\). По теореме Гюйгенса—Штейнера момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через точки касания желоба, равен \[I_A = \frac{2}{5}mR^2 + m\,\frac{R^2}{2} = \frac{9}{10}\,mR^2.\] Основное уравнение динамики вращения относительно этой оси даёт \[mg\,\frac{R}{\sqrt{2}}\sin\alpha = I_A\,\frac{a}{R/\sqrt{2}} \quad\Rightarrow\quad a = \frac{5}{9}\,g\sin\alpha.\]

Подсказка

Пока диоды закрыты, ток через амперметр определяется только источником и резистором; после излома кривой работают диоды. Сравните наклоны линейных участков до и после излома.

Решение

Соберём схему, в которой последовательно соединены источник \(\mathcal{E}\), резистор \(R\) и амперметр с защитой. Сопротивление источника мало по сравнению с \(R\). Снимем зависимость показаний амперметра от напряжения на источнике.

При малых напряжениях на амперметре (\(U_a < U_0\), до излома кривой \(\mathcal{E}(I_a)\)) оба диода закрыты: \[\mathcal{E} = I_aR + U_a = I_a(R + R_a) \quad\Rightarrow\quad R_a = \frac{\mathcal{E}}{I_a} - R, \qquad U_a = \mathcal{E} - I_aR.\] Напряжение открытия диодов лежит примерно в диапазоне от \(0{,}4\) до \(2\) В, поэтому участок закрытых диодов нужно выбирать так, чтобы \(\mathcal{E} - I_a\cdot 20\cdot 10^{3}\,\text{Ом} < 0{,}3\) В.

При \(U_a > U_0\) (после излома кривой): \[U_a = I_aR_a = U_0 + I_{\text{д}}R_{\text{д}},\] \[\mathcal{E} = I_aR_a + (I_a + I_{\text{д}})R = I_a\left(R_a + R + \frac{R_aR}{R_{\text{д}}}\right) - \frac{U_0R}{R_{\text{д}}}.\] Аппроксимируя прямой линией участок зависимости \(\mathcal{E}(I_a)\) после излома, \(\mathcal{E} = aI_a + b\), и находя по графику угловой коэффициент \(a\) и свободный член \(b\), получаем \[a = R_a + R + \frac{R_aR}{R_{\text{д}}} \quad\Rightarrow\quad R_{\text{д}} = \frac{R_aR}{a - R_a - R},\] \[b = -\frac{U_0R}{R_{\text{д}}} \quad\Rightarrow\quad U_0 = -\frac{bR_{\text{д}}}{R} = -\frac{bR_a}{a - R_a - R}.\] Чувствительность амперметра к большим токам: полный ток \(I = I_a + I_{\text{д}} \approx I_a\left(1 + \dfrac{a - R_a - R}{R}\right) = I_a\,\dfrac{a - R_a}{R}\), то есть \[k = \frac{I}{I_a} = \frac{a - R_a}{R}.\]