Санкт-Петербургская, 2022/23, отборочный этап, 8 класс

Выразите скорости пони и принца в долях круга в минуту. При беге навстречу скорости складываются, при беге в одну сторону вычитаются.

Пони и принц будут встречаться раз в \(18\) мин.

Пусть \(L\) — длина круга, \(v_1\) — скорость пони, \(v_2\) — скорость принца. Пони обегает круг за \(12\) мин, поэтому \(\dfrac{v_1}{L}=\dfrac{1}{12\text{ мин}}\). Когда принц бежал навстречу пони, встречи были раз в \(9\) мин: \[\frac{v_1}{L}+\frac{v_2}{L}=\frac{1}{9\text{ мин}}, \qquad \frac{v_2}{L}=\frac{1}{9}-\frac{1}{12}=\frac{1}{36}\ \text{мин}^{-1}.\] Если принц побежит в другом направлении (в ту же сторону, что и пони), время между встречами \[t=\frac{L}{v_1-v_2}=\frac{1}{\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{36}}=18\text{ мин}.\]

Любой напиток, смешанный из напитков правильной температуры, тоже будет правильной температуры. Попробуйте получить из трёх рецептов напиток с нужным составом.

Надо добавить \(2\) порции сиропа.

Обозначим кофе, сироп, воду и молоко буквами \(K\), \(C\), \(B\), \(M\). Все три напитка из книги рецептов имеют правильную температуру: \[2K+3M,\qquad K+2C+4M,\qquad 2K+B+2M .\] Смешав второй и третий напитки, получим \(3K+2C+B+6M\). Вычтем из него первый рецепт \(2K+3M\) (смешивание в любом порядке сохраняет правильную температуру): \[K+2C+B+3M .\] Этот напиток содержит одну порцию кофе, одну воды, три порции молока и две порции сиропа. Значит, к напитку из условия (кофе, вода, \(3\) порции молока) надо добавить \(2\) порции сиропа.

Запишите правило рычага относительно правого края бруска в два момента: в начале и в конце стоянки мыши. Разность уравнений не содержит массы песка и линейки.

Масса мыши \(26{,}5\) г.

Линейка начинает вращаться относительно правого края бруска. Правило рычага в первый критический момент: \[\Bigl(\frac{L}{2}-\frac{a}{2}\Bigr)m_{\text{мыши}}= \Bigl(\frac{L}{2}+\frac{a}{2}\Bigr)m_{\text{песка}}+\frac{a}{2}\,m_{\text{линейки}} .\] В момент второго падения мышь продвинулась на \(v\Delta t_1\) к бруску, а песка стало меньше на \(\mu(\Delta t_1+\Delta t_2)\): \[\Bigl(\frac{L}{2}-\frac{a}{2}-v\Delta t_1\Bigr)m_{\text{мыши}}= \Bigl(\frac{L}{2}+\frac{a}{2}\Bigr)\bigl(m_{\text{песка}}-\mu(\Delta t_1+\Delta t_2)\bigr)+\frac{a}{2}\,m_{\text{линейки}} .\] Вычитая второе уравнение из первого, получим \(v\Delta t_1\,m_{\text{мыши}}= \dfrac{L+a}{2}\,\mu(\Delta t_1+\Delta t_2)\), откуда \[m_{\text{мыши}}=\frac{\mu(L+a)}{2v}\Bigl(1+\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}\Bigr) =\frac{0{,}2\cdot 106}{2\cdot 2}\cdot 5\ \text{г}\approx 26{,}5\ \text{г}.\]

Подумайте, что одинаково для обоих сосудов при нагревании: давление на уровне дна и масса жидкости, которая не перетекает между сосудами.

\(h'_2=\dfrac{h_2}{h_1}\,h'_1\).

Сосуды сообщающиеся, поэтому давления на уровне дна в обоих сосудах равны. Жидкость при нагревании не переливается из одного сосуда в другой (полная масса не меняется), поэтому каждый сосуд можно рассматривать отдельно. Для каждого сосуда \(\Delta V = V\alpha\Delta T\) даёт \[h'_1 S_1 = h_1 S_1(1+\alpha\Delta T),\qquad h'_2 S_2 = h_2 S_2(1+\alpha\Delta T),\] то есть уровни изменились в одинаковое число раз: \(\dfrac{h'_1}{h_1}=\dfrac{h'_2}{h_2}\). Отсюда \(h'_2=\dfrac{h_2}{h_1}\,h'_1\).

Выразите время до прибытия через среднюю скорость и время в пути. Получится прямая с наклоном \(-1\); ищите самую низкую такую прямую, касающуюся графика.

Средняя скорость была максимальна через \(4{,}0\) мин после начала движения.

Пусть \(L\) — полный путь, \(x\) — пройденный путь, \(v_{\text{ср}}=x/t\). Время до прибытия \[t_{\text{до}}=\frac{L-x}{v_{\text{ср}}}=\frac{L}{v_{\text{ср}}}-t .\] Значит, моменты, когда средняя скорость равна \(v_0\), находятся как пересечения графика с прямой \(t_{\text{до}}=\dfrac{L}{v_0}-t\) с наклоном \(-1\). Чем больше \(v_0\), тем меньше \(L/v_0\), поэтому максимум средней скорости соответствует самой «низкой» прямой с наклоном \(-1\), имеющей общую точку с графиком. Такая прямая касается графика около \(4{,}0\) мин.