Санкт-Петербургская, 2022/23, отборочный этап, 9 класс

Путь за \(n\)-ю секунду падения из состояния покоя равен \(\dfrac{g}{2}\bigl(2n-1\bigr)\cdot 1\) с\(^2\).

\(\dfrac{g_b}{g_d}=\dfrac{5}{3}\).

Тело, падающее из состояния покоя с ускорением \(g\), за \(n\)-ю секунду проходит \[\frac{g}{2}(n\text{ с})^2-\frac{g}{2}\bigl((n-1)\text{ с}\bigr)^2 =\frac{g}{2}(2n-1)\cdot 1\text{ с}^2 .\] Для шарика Боба (вторая секунда) и шарика Дилана (третья секунда): \[\frac{g_b}{2}\cdot 3 = \frac{g_d}{2}\cdot 5 ,\] откуда \(\dfrac{g_b}{g_d}=\dfrac{5}{3}\).

Сравните, как изменится плата за воду по тарифу и сколько электроэнергии нужно, чтобы нагреть \(2\) м\(^3\) холодной воды до \(70\) \(^\circ\)C.

Общая сумма счёта увеличится на \(388\) руб.

Плата за воду: раньше \(85+240=325\) руб. Теперь холодной воды потребуется \(2{,}5+2{,}0=4{,}5\) м\(^3\), а её тариф \(85/2{,}5=34\) руб/м\(^3\), поэтому плата \(4{,}5\cdot 34=153\) руб. Экономия на воде \(\Delta_{\text{вода}}=153-325=-172\) руб.

Нагрев \(2\) м\(^3\) воды с \(10\) \(^\circ\)C до \(70\) \(^\circ\)C требует энергии \[Q = V\rho c\,\Delta T = 2\cdot 1000\cdot 4200\cdot 60\ \text{Дж} = 5{,}04\cdot 10^{8}\ \text{Дж} = 140\ \text{кВт}\cdot\text{ч} .\]

Электроэнергии стало \(520+140=660\) кВт\(\cdot\)ч, плата \(660\cdot 4=2640\) руб., то есть перерасход \(\Delta_{\text{эл}}=2640-2080=560\) руб. Итого \(\Delta=560-172=388\) руб.

Сопротивление \(R=\rho\ell/S\): длина — размер бруска между пластинами, площадь — две другие стороны. Отношения сопротивлений не содержат \(\rho\).

\(V=1125\) см\(^3\).

Пусть стороны бруска \(a<b<c\), \(a=5\) см. Сопротивления при зажиме вдоль каждой стороны: \(R_a=\dfrac{\rho a}{bc}\), \(R_b=\dfrac{\rho b}{ac}\), \(R_c=\dfrac{\rho c}{ab}\), причём \(R_a<R_b<R_c\), значит \(R_a=2\) Ом, \(R_b=12\) Ом, \(R_c=27\) Ом. Исключая \(\rho\): \[\frac{R_b}{R_a}=\frac{b^2}{a^2},\qquad \frac{R_c}{R_a}=\frac{c^2}{a^2} .\] Тогда объём \[V=abc=a^3\sqrt{\frac{R_b}{R_a}}\sqrt{\frac{R_c}{R_a}} =(5\text{ см})^3\sqrt{6}\sqrt{13{,}5}=1125\text{ см}^3 .\]

Сила Архимеда на тело, которое не переворачивается, меняется пропорционально его смещению и объёму, если плотность линейна по глубине. Что одинаково в двух опытах благодаря нити?

\(T=12\) Н.

Для тела, которое не переворачивается, при смещении \(\Delta h\) изменение силы Архимеда пропорционально объёму и смещению. Поскольку плотность линейна по глубине, для всего тела сила натяжения при таком смещении \[T=\alpha\,\Delta h\,V g ,\] где \(V\) — объём тела, а \(\alpha\) — коэффициент линейного роста плотности. Пусть объём верхнего тела \(V\), нижнего \(2V\), перемещения в опыте \(x_1\) (верхнее) и \(y_1\) (нижнее), а в гипотетическом опыте с сразу перевёрнутым нижним телом — \(x_2\) и \(y_2\). Длина нити не меняется: \(x_1+y_1=x_2+y_2\). Тогда \[\alpha x_1 V g=T_1,\qquad \alpha x_2 V g=T_2,\qquad \alpha y_2\cdot 2V g=T_2 ,\] откуда \[2T_2+T_2=2(x_1+y_1)\,\alpha V g\cdot\frac{T_1}{\alpha x_1 V g} \quad\Rightarrow\quad T_2=\frac{2}{3}\,\frac{x_1+y_1}{x_1}\,T_1=\frac{2}{3}\cdot\frac{10+8}{10}\cdot 10\ \text{Н}=12\ \text{Н}.\]

Давление, которое испытывает каждый лист, складывается из веса листов над ним. Сумма толщин листов сводится к площади под графиком \(h(p)\).

В одной стопке \(135\) листов.

Масса и площадь листа не меняются, поэтому \(\rho h=\rho_0 h_0\), где \(\rho_0=2\) г/см\(^3\), \(h_0=1\) см. Верхний лист не сжат; каждый следующий лист сжат весом всех листов над ним. Вес одного листа даёт приращение давления \[\Delta p=\rho_0 h_0 g = 2000\cdot 0{,}01\cdot 10\ \text{Па}=200\ \text{Па}.\] Лист номер \(n+1\) находится под давлением \(n\,\Delta p\) и имеет толщину \(h(n\Delta p)\). Высота стопки из \(N\) листов \[\sum_{n=0}^{N-1}h(n\Delta p)=H=1\text{ м}.\] Так как \(\Delta p\) мало, сумма заменяется площадью под графиком \(h(p)\) на промежутке от \(0\) до \(N\Delta p\): \[H\,\Delta p=\sum_{n=0}^{N-1}h(n\Delta p)\,\Delta p .\] Площадь \(H\,\Delta p=200\text{ Па}\cdot\text{м}=20\) кПа\(\cdot\)см. По графику площадь от \(0\) до \(20\) кПа равна \(16\) кПа\(\cdot\)см, а от \(20\) до \(27\) кПа — \(4\) кПа\(\cdot\)см. Значит, давление у нижнего листа \(27\) кПа, и число листов \[N=\frac{27\text{ кПа}}{200\text{ Па}}=135 .\]