Санкт-Петербургская, 2022/23, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Изображение в плоском зеркале находится за зеркалом на таком же расстоянии, что и предмет. Луч может отразиться от одного зеркала, а затем от другого: какие порядки отражений возможны и всегда ли они осуществимы?

Ответ

Изображений три, но одно из них иногда пропадает. Когда человек идёт по горизонтальной поверхности и находится от угла в пяти клетках и ближе, ни один луч не может последовательно попасть на оба зеркала, и третье (синее) изображение не видно. Траектории изображений — на рисунке в решении.

Решение

Изображение в горизонтальном зеркале (красное) образуется отражением лучей от зеркала; изображение в наклонном зеркале (зелёное) — аналогично. Третье изображение (синее) образуется, когда луч сначала отражается от горизонтального зеркала, а затем от наклонного: это как если бы красный человек смотрелся в продолженное наклонное зеркало и видел синего человека.

Если человек идёт по горизонтальной поверхности, луч, отражённый от зеркала, в дальнейшем может попасть на наклонное зеркало (а может и не попасть), но обратное невозможно. Когда человек идёт по наклонному зеркалу, наоборот: лучи, попавшие на наклонное зеркало, могут попасть на горизонтальное, но не наоборот.

Третье изображение пропадает, если человек идёт по горизонтали и находится от угла в пяти клетках и ближе: отражённые от горизонтальной поверхности лучи «идут слишком круто вверх» и даже самый пологий из них не попадает на наклонное зеркало. Когда человек проходит угол, луч, упавший на наклонное зеркало, всегда может попасть на горизонтальное.

Построение траекторий: черную траекторию головы отражаем относительно горизонтального зеркала (красная линия), затем относительно наклонного зеркала (зелёная линия). Синюю получаем, убрав из горизонтального участка траектории пять клеток около угла и отразив её дважды: сначала от горизонтального зеркала, затем от наклонного. Наклонный участок исходной траектории отражаем также дважды: сначала от наклонного зеркала, затем от горизонтального.

Подсказка

Половина пружины имеет вдвое меньшее сопротивление и вдвое большую жёсткость при той же температуре. Сравните, как быстро нагревается каждая из пружин, и запишите условие равновесия груза в обоих опытах.

Подсказка

Отрыв происходит, когда момент сил относительно ребра \(O\) обнуляется. Найдите, как минимальная энергия грузика зависит от его массы: это линейная зависимость \(E = a\,m + b\) с двумя неизвестными константами.

Ответ

\(E_3 = \dfrac{E_2m_2 - E_1m_1}{m_2 - m_1}\).

Решение

Пусть центр масс горки \(M\) расположен на расстоянии \(x\) по горизонтали от точки \(O\) (левее неё, иначе горка опрокинулась бы и без грузиков). Когда суммарный момент сил, действующих на горку, относительно ребра, проходящего через \(O\), равен нулю, точка \(A\) начинает отрываться от стола: \[Mgx = P_i d_i,\] где \(P_i = m_i g\cos\alpha\) — сила, с которой грузик массой \(m_i\) действует на горку (перпендикулярно поверхности), \(d_i\) — её плечо. Из подобия прямоугольных треугольников получаем \(d_i = L\sin^2\alpha + l_i\), где \(L\), \(l_i\) и \(\alpha\) обозначены на рисунке. Поэтому \[Mgx = m_i g\cos\alpha\,(L\sin^2\alpha + l_i).\]

Минимальная энергия соответствует моменту, когда грузик останавливается в высшей точке, а вся его кинетическая энергия переходит в потенциальную: \(E_i = m_i g h_i\), где \(h_i = (L + l_i)\sin\alpha\). Выражая отсюда \(l_i\) через \(x\) и подставляя, получаем \[E_i = m_i\,gL\sin\alpha\cos^2\alpha + Mgx\tan\alpha.\] Параметры горки \(a = gL\sin\alpha\cos^2\alpha\) и \(b = Mgx\tan\alpha\) не зависят от грузиков, поэтому \(E_i = a\,m_i + b\). Константы находим по двум данным парам: \[a = \frac{E_2 - E_1}{m_2 - m_1}, \qquad b = \frac{E_1m_2 - E_2m_1}{m_2 - m_1}.\] Искомая энергия \[E_3 = a\,m_3 + b = \frac{E_2m_2 - E_1m_1}{m_2 - m_1}.\]

Подсказка

Считайте силу реакции саней на собаку во время короткого прыжка импульсной: импульс силы тяжести пренебрежимо мал. Как изменится горизонтальный импульс саней и какой путь они пройдут до остановки?

Ответ

Пусть \(K = \mu u\sin\alpha + u\cos\alpha - v_0\), \(v = v_0 - \dfrac{m}{M}K\) — скорость саней сразу после прыжка. Если \(v > 0\), то \(S = \dfrac{v^2}{2\mu g}\) — путь саней до остановки, \(L = \dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}\) — дальность прыжка собаки: при \(S \ge L\) сани доедут до собаки, при \(S < L\) остановятся на расстоянии \(L - S\) от неё. Если \(\mu \ge \dfrac{u\cos\alpha - v_0}{u\sin\alpha}\), то сани остаются на месте прыжка и расстояние равно \(L\). Для остальных случаев (скорость саней меняет знак) — итоговое расстояние \(L + S'\), см. решение.

Решение

Перед прыжком горизонтальный импульс собаки равен \(mv_0\). Сразу после прыжка её импульс \(mu\) направлен под углом \(\alpha\) к горизонту. Во время прыжка на собаку действуют сила тяжести и сила реакции \(\vec F\) со стороны саней; для удобства \(\vec F\) разложена на составляющие \(F_x\) и \(F_y\). Линия действия силы считается неизменной за время прыжка, а сила тяжести пренебрежимо мала по сравнению с импульсом силы реакции. Второй закон Ньютона в импульсной форме даёт \[F_x\,\Delta t = m(u\cos\alpha - v_0), \qquad F_y\,\Delta t = mu\sin\alpha.\] Сила реакции со стороны земли на сани \(N = Mg + F_y\), сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu N\). Горизонтальный импульс саней меняется за время прыжка на \[\Delta P_x = -(\mu F_y + F_x)\,\Delta t = -m\left(\mu u\sin\alpha + u\cos\alpha - v_0\right)\] (слагаемым \(\mu Mg\) по сравнению с бесконечно большими слагаемыми пренебрегаем). Отсюда скорость саней сразу после прыжка \[v = v_0 + \frac{\Delta P_x}{M} = v_0 - \frac{m}{M}\left(\mu u\sin\alpha + u\cos\alpha - v_0\right).\] Предположим, что \(v > 0\). После прыжка \(N = Mg\), \(F_{\text{тр}} = \mu Mg\), и сани замедляются с ускорением \(\mu g\). Путь до остановки \[S = \frac{v^2}{2\mu g}.\] Дальность полёта собаки \[L = \frac{u^2\sin 2\alpha}{g}.\] Если \(S \ge L\), то сани доедут до собаки; иначе они остановятся на расстоянии \(L - S\) от неё.

Если \(\mu \ge \dfrac{u\cos\alpha - v_0}{u\sin\alpha}\), то сила трения покоя может удержать сани, и после обращения их скорости в нуль собака завершает прыжок, отталкиваясь от неподвижных саней: тогда сани останутся на месте прыжка, и искомое расстояние равно \(L\).

Если же скорость саней в ходе прыжка меняет знак, то после её обращения в нуль сила трения меняет направление; в этом случае, по официальному решению, после прыжка скорость саней \[v' = -\frac{\mu u\sin\alpha - u\cos\alpha + v_0}{\mu u\sin\alpha + u\cos\alpha - v_0}\left(v_0 - \frac{m}{M}\left(\mu u\sin\alpha + u\cos\alpha - v_0\right)\right),\] путь саней до остановки \(S' = \dfrac{v'^2}{2\mu g}\), и итоговое расстояние между собакой и санями равно \(L + S'\).

Подсказка

Сопротивление проволоки пропорционально её длине. Если добавить два больших квадрата с внешней стороны, схема станет подобной исходной и вдвое большей. Используйте симметрию относительно оси \(CC'\).

Ответ

\(R_* = \dfrac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}\,R \approx 0{,}66\,R\).

Решение

Сопротивление участка проволоки пропорционально его длине. Поскольку сопротивление одного большого квадрата между \(A\) и \(B\) равно \(R\), сопротивление его ребра также равно \(R\). Обозначим искомое сопротивление бесконечной схемы \(R_*\).

Если к схеме Любы добавить два больших квадрата с внешней стороны, схема станет подобна исходной и вдвое больше по размеру; её сопротивление равно \(2R_*\). Из симметрии ясно, что точки на оси \(CC'\) эквипотенциальны, поэтому проволоку в узлах \(C\) и \(C'\) можно «расцепить»: заштрихованный квадрат с большим числом сопротивлений заменяем на резистор \(R_*\), представленный двумя последовательными резисторами \(R_*/2\).

Все точки на оси \(CC'\) эквипотенциальны, поэтому можно рассмотреть половину схемы, умножив её сопротивления на \(2\). Точки \(D\) и \(D'\) имеют одинаковые потенциалы и объединяются в один узел; пары параллельных резисторов заменяем эквивалентными. Получаем сопротивление \[R + \frac{R(R + \sqrt{2}R_*)}{(1 + 2\sqrt{2})R + (1 + \sqrt{2})\sqrt{2}R_*}.\] Приравнивая его к \(2R_*\), получаем квадратное уравнение \[2(\sqrt{2} + 1)R_*^2 + \sqrt{2}\,RR_* - (\sqrt{2} + 1)R = 0.\] Его положительный корень \[R_* = \frac{\sqrt{9 + 6\sqrt{2}} - 1}{2(\sqrt{2} + 1)}\,R = \frac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}\,R \approx 0{,}66\,R.\]

Подсказка

Постройте схему теплопередачи: тепло, которое выделяет ток, частично уходит от холодной стороны к горячей, частично — через стенки в воздух. Теплоёмкость найдите в калориметре с водой.

Ответ

\(P_{01} = IU - P_{02}\), \(\eta = \dfrac{P_{01}}{IU}\), \(R = \dfrac{T_2 - T_1}{P_{01} - \alpha S(T_2 - T_0)}\), где \(P_{02} = \alpha S(T_1 + T_2 - 2T_0)\), а \(\alpha S\) и \(C\) находятся из измерений остывания и калориметра.

Решение

Обозначим \(P_{01}\) полезную мощность перекачки тепла от более холодной стороны элемента с температурой \(T_1\) к более горячей с температурой \(T_2\), \(P_{02}\) — паразитную мощность, разогревающую элемент, \(P_3\) — тепловой поток через элемент от горячей стороны к холодной, \(P_1\) и \(P_2\) — тепловые потоки от стенок элемента к окружающей среде с температурой \(T_0\), обусловленные конвекцией.

По закону Ньютона—Рихмана \[P_1 = \alpha S(T_1 - T_0), \qquad P_2 = \alpha S(T_2 - T_0).\] Баланс мощностей: \[P_1 = P_3 + P_{02} - P_{01}, \qquad P_{01} = P_3 + P_2, \qquad P_3R = T_2 - T_1.\] Исключая \(P_3\), получаем \(P_{02} = P_1 + P_2 = \alpha S(T_1 + T_2 - 2T_0)\).

При выключенном нагретом элементе \(C\,\dfrac{dT_1 + dT_2}{2} = \alpha S(T_1 + T_2 - 2T_0)\,dt\). Теплоёмкость находим, поместив нагретый элемент в калориметр с водой: \(C = \dfrac{c_{\text{в}}m_{\text{в}}(T_{\text{вк}} - T_{\text{в0}})}{\dfrac{T_1 + T_2}{2} - T_{\text{вк}}}\). Тогда \[\alpha S = \frac{C\,(dT_1 + dT_2)}{2(T_1 + T_2 - 2T_0)\,dt}.\] Можно также найти \(\alpha S\) по логарифмированию зависимости полусуммы температур от времени и углового коэффициента.

Полезная мощность \(P_{01} = IU - P_{02}\), КПД \(\eta = \dfrac{P_{01}}{IU}\). Подставляя \(P_3 = P_{01} - P_2\) в соотношение \(P_3R = T_2 - T_1\), получаем \[R = \frac{T_2 - T_1}{P_{01} - \alpha S(T_2 - T_0)}.\]

Подсказка

Весы недостаточно точны, поэтому испарение удобнее оценивать по тепловому балансу калориметра: сравните остывание открытой воды и воды под слоем масла.

Решение

Непосредственное измерение зависимости массы от температуры не является оптимальным из-за недостаточной точности весов и чувствительности их показаний к нагреву. Из кофейной чашки и бумажного стаканчика сделаем калориметр и рассмотрим два случая: поверхность воды открыта и с неё происходит испарение, и поверхность воды закрыта слоем масла, который существенно замедляет испарение.

Уравнение теплового баланса для открытой поверхности с испарением (закон Ньютона—Рихмана): \[cm\,\Delta T_1 + L\,\Delta m = -\alpha\,(T_1 - T_0)\,\Delta t.\] Для закрытой поверхности без испарения: \[cm\,\Delta T_2 = -\alpha\,(T_2 - T_0)\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad \alpha = -\frac{cm\,\Delta T_2}{(T_2 - T_0)\,\Delta t}.\] Вычитая одно уравнение из другого, получаем \[\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{1}{L}\left(\alpha\,(T_2 - T_1) + cm\,\frac{\Delta(T_2 - T_1)}{\Delta t}\right).\] Измерив температуру окружающей среды, зависимости \(T_2(t)\) и \(T_1(t)\) и найдя \(\alpha\), строим зависимость \(\Delta m/\Delta t\) от \(T_1\): это и есть искомая скорость испарения.