зад 1 Скорость гонца
На Руси отсчёт времени суток начинали от восхода Солнца и делили световой день на 12 часов. При этом длительность часа каждый день оказывалась различной из-за различной длительности светового дня. В летописи сказано, что гонец на лошади проскакал 35 вёрст от Суздаля до Владимира ровно за 2 часа. Подсчитали, что в тот день по современному времени восход Солнца был в 04 часа 15 минут, а закат в 20 часов 15 минут. Также известно, что одна верста равна 1067 метрам. Выразите скорость гонца в единицах системы СИ.
▶ПодсказкаСкрыть
Сколько современных часов длился световой день? Значит, сколько минут в одном «косом» часе?
▶ОтветСкрыть
\(v\approx3{,}9\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Световой день длится \(20\,\text{ч}\,15\,\text{мин}-4\,\text{ч}\,15\,\text{мин}=16\) современных часов, то есть 12 «косых» часов. Значит, один косой час равен \(\dfrac{16}{12}\) часа, то есть 80 минут. Гонец проскакал за 2 косых часа, то есть за 160 минут, или \(9600\) с. Расстояние \(35\cdot1067\) м \(=37\,345\) м. Тогда \[v=\frac{37\,345\ \text{м}}{9600\ \text{с}}\approx3{,}9\ \text{м/с}.\]
зад 2 Кубик из оригами
В одной из техник оригами из квадратных листочков бумаги \(9\times9\) см собирают одинаковые модули, схематически показанные на рисунке а. Затем из таких модулей собирают фигуры. Модуль имеет форму квадратика с двумя уголками-клапанами для соединения с другими модулями.
А) Из шести модулей можно сложить кубик с длиной стороны около 32 мм (рисунок б). Из скольких слоёв бумаги состоит каждая грань кубика? Известно, что число слоёв одинаково для любого места любой грани.
Б) Из модулей собрали фигурку без внутренних перегородок, показанную на рисунке в. Найдите массу фигуры, если известно, что плотность бумаги \(80\) г/м\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните площадь одного листа с площадью грани кубика. Для части Б посчитайте, сколько модулей в фигурке, и найдите суммарную площадь бумаги.
▶ОтветСкрыть
А) 8 слоёв; Б) около \(11{,}7\) г.
▶РешениеСкрыть
А) Кубик складывается из шести модулей, по одному на грань. Грань кубика имеет площадь \(32\times32\) мм\(^2\approx10{,}2\) см\(^2\), а лист — \(81\) см\(^2\). Отношение площадей \(81/10{,}2\approx8\), и так как число слоёв одинаково во всех точках грани, в каждой грани \(8\) слоёв бумаги.
Б) В фигурке 18 квадратных граней, то есть 18 листов \(9\times9\) см. Суммарная площадь \(18\cdot81\) см\(^2=1458\) см\(^2\approx0{,}146\) м\(^2\), масса \(m\approx80\ \text{г/м}^2\cdot0{,}146\ \text{м}^2\approx11{,}7\) г.
зад 3 Груз на пружинах с нагревом
Небольшой груз подвешен между полом и потолком на двух одинаковых пружинах. Известно, что расстояние от пола до потолка \(H=3\) м, а в положении равновесия груз висит на высоте \(h_0=1\) м над полом. Пружины сделаны из материала, у которого упругость зависит от температуры. Когда температура воздуха повысилась, жёсткость пружин уменьшилась в 2 раза. Определите, на сколько и в какую сторону (вверх или вниз) сместится груз. Считайте, что обе пружины до и после нагревания остаются растянутыми.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия груза до и после нагревания через длины пружин; сила тяжести уравновешивается разностью сил упругости.
▶ОтветСкрыть
Груз опустится на \(0{,}5\) м.
▶РешениеСкрыть
Пусть жёсткость каждой пружины \(k\), верхняя пружина имеет длину \(l_1=H-h\), нижняя — \(l_2=h_0\). Равновесие груза: \(k(l_1-l_0)=mg+k(l_2-l_0)\), откуда \(k(l_1-l_2)=mg\). Подставляя длины, \(mg=k(H-2h_0)\).
После нагревания жёсткость равна \(k/2\), высота груза \(h_2\): \(mg=\dfrac{k}{2}(H-2h_2)\). Сравнивая с равенством до нагревания, получаем \(H-2h_2=2(H-2h_0)\), откуда \(h_2=\dfrac{4h_0-H}{2}\). При \(H=3\) м и \(h_0=1\) м \(h_2=0{,}5\) м. Груз опускается на \(h_0-h_2=0{,}5\) м.
зад 4 Спидометр Незнайки
Незнайка собрал автомобиль собственной конструкции. Оказалось, что спидометр автомобиля Незнайка запрограммировал неправильно. Спидометр начинает работать только спустя 10 минут после старта автомобиля и вместо мгновенной скорости показывает среднюю (путевую) скорость за последние 10 минут движения. Кроме того, после остановки автомобиля спидометр продолжает работать ещё 10 минут. Незнайка отправился тестировать свой автомобиль. Его путь проходил по нескольким дорогам с разным качеством покрытия, но на каждой дороге Незнайка двигался с постоянной скоростью. По графику зависимости показаний спидометра от времени определите:
А) Какое расстояние проехал автомобиль за время испытаний?
Б) Постройте график зависимости скорости движения автомобиля от времени.
▶ПодсказкаСкрыть
Показание в момент \(t\) — это путь за 10 минут до \(t\), делённый на 10 минут. Значит, путь за любые 10 минут считается по графику сразу. Анализируйте график с конца.
▶ОтветСкрыть
А) 18 км; Б) \(v=12\) м/с при \(0\)–\(5\) мин, \(v=8\) м/с при \(5\)–\(25\) мин, \(v=16\) м/с при \(25\)–\(30\) мин, далее \(v=0\) (остановка с 30-й минуты).
▶РешениеСкрыть
Показание спидометра в момент \(t\) — средняя скорость за \([t-10;\,t]\) минут, поэтому путь за каждые 10 минут равен показанию в конце интервала, умноженному на 10 минут. За первые 10 минут путь \(10\ \text{м/с}\cdot600\ \text{с}=6000\) м, за вторые — \(4800\) м, за третьи — \(7200\) м. Далее скорость по показаниям равна нулю в 40-й минуте, значит автомобиль стоит с 30-й по 40-ю минуту. Суммарно \(18\) км.
Анализ с конца: с 35 по 40 минуту показания линейно падают, значит скорость на участке 25–30 минут постоянна и в 2 раза больше показания в 35 минут: \(v=16\) м/с. Излом в 25 минут означает смену скорости: из показания в 30 минут получаем скорость на участке 20–25 минут, равную 8 м/с. Постоянное показание 8 м/с с 15 по 25 минуту означает скорость 8 м/с с 5 по 25 минуту. Показание в 10 минут даёт скорость 12 м/с на участке 0–5 минут.
зад 5 Встречи на автомагистрали
Между Санкт-Петербургом и Москвой построили скоростную автомагистраль длиной 720 км. В 8.00 утра из Москвы в Петербург выезжает Вася и всю дорогу движется с постоянной скоростью 80 км/ч без остановок. В 9.30 из Санкт-Петербурга выезжает Петя, который также всю дорогу движется с постоянной скоростью. В тот же день из Санкт-Петербурга в Москву ехал Саша, он по дороге проголодался и сделал одну остановку, а всё остальное время ехал с постоянной скоростью 100 км/ч. Известно, что по дороге каждый из ребят встретил каждого ровно 1 раз. Встречи произошли в 12.00, 12.30 и в 13.00 часов. Саша потратил на дорогу ровно 8 часов, с учётом времени на остановку. В какое время Саша мог приехать в Москву?
▶ПодсказкаСкрыть
Встреча Васи и Пети в 12.30 — единственная возможная для них двоих. Дальше разберите, кто с кем встретился в 12.00 и в 13.00.
▶ОтветСкрыть
Саша мог приехать в Москву в 16.00 или в 17.00.
▶РешениеСкрыть
Вася выехал из Москвы в 8.00, Петя — из Петербурга в 9.30. Их встреча возможна только в 12.30. Тогда в 12.00 и в 13.00 Саша встречает Петю и Васю в каком-то порядке.
Первый вариант: в 12.00 Саша встречает Петю, находящегося в 300 км от Петербурга, а в 13.00 — Васю, находящегося в 320 км от Петербурга. За час с 12 до 13 Саша проехал лишь 20 км, значит, в этот промежуток была остановка. Оставшиеся 700 км при 100 км/ч занимают 7 часов, и с учётом 8 часов в пути остановка не должна быть после 13.00. В 13.00 Саша находился в 400 км от Москвы, поэтому приедет в 17.00.
Второй вариант: в 12.00 Саша встречает Васю в 320 км от Москвы, в 13.00 — Петю в 300 км от Москвы. Аналогично после 13.00 остановок не было, и Саша приедет в 16.00.
зад 6 Колодец в пирамиде
Исследователи обнаружили внутри египетской пирамиды глубокий колодец в форме цилиндра с вертикальными стенками и площадью дна \(S=1\) м\(^2\). Колодец оказался заполнен несколькими несмешивающимися жидкостями. Для детального исследования в колодец погружают спускаемый аппарат, который имеет форму вертикального цилиндра с площадью основания \(s=0{,}2\) м\(^2\). Измеряют зависимость силы натяжения троса, на котором подвешен спускаемый аппарат, от глубины погружения аппарата в колодец. По графику определить, сколько различных жидкостей содержится в колодце, уровни жидкостей и их плотности. Глубина погружения измеряется по нижней точке спускаемого аппарата. Считайте \(g=10\) Н/кг.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока аппарат не касается жидкости, натяжение равно его весу. Излом графика означает, что аппарат дошёл до границы жидкостей или начал погружаться во вторую жидкость полностью. Изменение силы Архимеда на 1 м погружения даёт плотность.
▶ОтветСкрыть
Два слоя жидкости. Снизу — жидкость плотностью \(1600\) кг/м\(^3\), высота слоя \(3\) м. Сверху — жидкость плотностью \(800\) кг/м\(^3\), высота слоя \(1\) м.
▶РешениеСкрыть
С 0 по 2 м сила натяжения не меняется: аппарат ещё не в жидкости. С 2 до 3 м аппарат погружается в верхнюю жидкость. В 3 м — излом: начинается погружение в нижнюю жидкость. В 4 м — ещё излом: верхняя часть аппарата достигает границы жидкостей и сила меняется медленнее. С 5 до 6 м сила постоянна: аппарат целиком в нижней жидкости. В 6 м аппарат касается дна, натяжение становится нулём.
Итак, в колодце две жидкости: нижняя занимает слой 3 м у дна, верхняя — слой 1 м над ней.
Плотности. При опускании аппарата на 1 м уровень жидкости поднимается на \(\Delta=\dfrac{s\cdot1\,\text{м}}{S-s}=0{,}25\) м, поэтому погружённая длина аппарата растёт на \(1{,}25\) м. Тогда изменение силы Архимеда на этом участке \(\Delta F=\rho g\,s\cdot1{,}25\) м. На участке 2–3 м \(\Delta F=2\) кН, откуда \(\rho_1=\dfrac{2000}{10\cdot0{,}2\cdot1{,}25}=800\) кг/м\(^3\). На участке 3–4 м \(\Delta F=4\) кН, откуда \(\rho_2=\dfrac{4000}{10\cdot0{,}2\cdot1{,}25}=1600\) кг/м\(^3\).
зад 7 Планетарный механизм
Система шестерёнок, изображённая на рисунке, называется планетарным механизмом. Центральная шестерёнка с 20 зубьями называется солнечной. Вокруг неё могут кататься три маленькие планетарные шестерёнки с 10 зубьями каждая. Маленькие шестерёнки зацепляются с большой шестерёнкой с 40 внутренними зубьями, которую называют коронной. Центры маленьких шестерёнок закреплены вместе при помощи водила. Пусть солнечная шестерня закреплена неподвижно, а водило вращают по часовой стрелке со скоростью 20 оборотов в минуту. С какой скоростью и в каком направлении вращается коронная шестерёнка?
▶ПодсказкаСкрыть
Удобно перейти в систему отсчёта, связанную с водилом: в ней шестерёнки вращаются вокруг своих осей, а солнечная шестерня поворачивается на известный угол.
▶ОтветСкрыть
\(30\) об/мин, по часовой стрелке (в ту же сторону, что и водило).
▶РешениеСкрыть
Солнечная шестерня неподвижна, водило вращается со скоростью \(\omega_в=20\) об/мин. Для планетарного механизма (формула Виллиса) \(\dfrac{\omega_к-\omega_в}{\omega_с-\omega_в}=-\dfrac{z_с}{z_к}\), где \(z_с=20\), \(z_к=40\) — числа зубьев солнечной и коронной шестерён. При \(\omega_с=0\) получаем \(\omega_к=\omega_в\Bigl(1+\dfrac{z_с}{z_к}\Bigr)=\dfrac{3}{2}\cdot20=30\) об/мин.
Коронная шестерня вращается в ту же сторону, что и водило, то есть по часовой стрелке.
зад 8 Плотность аспирина
С помощью выданного вам оборудования определите плотность таблетки аспирина. Будьте аккуратны с аспирином, дополнительного вам не выдадут.
Оборудование: две таблетки аспирина, пластилин, мерный стакан, стакан с водой.
▶ПодсказкаСкрыть
Объём таблетки измеряйте вытеснением воды в мерном стакане, завёрнутой в пластилин. Массу — по глубине погружения пластилиновой лодочки без таблетки и с таблеткой.
▶РешениеСкрыть
Таблетка не должна контактировать с водой: измеряем плотность сухой таблетки.
1. Объём таблетки. Измеряем начальный объём воды \(V_{нач11}\), затем утапливаем таблетку, завёрнутую в пластилин, и измеряем объём \(V_{1пл,т}\). Затем вынимаем таблетку, измеряем объём пластилина \(V_{1пл}\) и начальный объём воды \(V_{нач12}\). Тогда \[V_т=(V_{нач11}-V_{1пл,т})-(V_{нач12}-V_{1пл}).\qquad(1)\]
2. Масса таблетки. Делаем из пластилина лодочку (воронку с низким центром масс, чтобы не кренилась). Начальный объём воды \(V_2\); объём воды с погружённой частью пустой лодочки \(V_{2+пч,пл}\), откуда погружённый объём \(V_{пч,пл}=V_{2+пч,пл}-V_2\). Условие плавания: \(\rho_{воды}gV_{пч,пл}=M_лg\), то есть \(M_л=\rho_{воды}V_{пч,пл}\) (2, 3).
Кладём таблетку в лодочку (аккуратно, не зачерпывая воду), измеряем погружённый объём \(V_{пч,т}=V_{2+пч,т}-V_2\). Условие плавания: \(\rho_{воды}gV_{пч,т}=M_лg+m_тg\), откуда \(m_т=\rho_{воды}V_{пч,т}-M_л\) (4, 5).
3. Плотность: \(\rho_{аспирина}=\dfrac{m_т}{V_т}\) (6).
зад 9 Колебания грузика на пружинке
Вертикальные колебания грузика на пружинке — это вертикальное движение грузика, подвешенного на пружинке, периодически повторяющееся через равные промежутки времени. При этом время одного полного колебания \(T\) — это минимальное время, через которое повторяется движение грузика. Колебания будут малыми, если отклонения грузика от положения равновесия будут много меньше (в 10 и более раз) длины пружинки.
Известно, что при малых вертикальных колебаниях квадрат времени \(T\) одного полного колебания грузика на пружинке зависит от массы \(m\) грузика следующим образом: \(T^2=\dfrac{4\pi^2m}{k}\), где \(k\) — коэффициент жёсткости пружины.
Исследуйте эту зависимость, изменяя массу груза, прикрепляемую к пружине. В качестве груза используйте закрытую пробирку с водой. Массу груза можно менять, доливая в пробирку воду известного объёма. Следите за тем, чтобы колебания были малыми и вертикальными.
Как можно более точно снимите зависимость времени одного полного колебания грузика от массы воды \(m_в\), залитой в пробирку.
Постройте на миллиметровке график зависимости квадрата времени одного полного колебания от массы воды, залитой в пробирку.
С помощью полученного графика определите массу пустой пробирки и коэффициент жёсткости пружины.
Проведя ещё один эксперимент, определите массу выданной вам конфетки. После завершения всех измерений конфетку можно съесть.
Оборудование: пружинка, закреплённая на штативе, пробирка, стакан с водой, секундомер, конфета, два листа миллиметровой бумаги (один запасной). Плотность воды \(\rho=1000\) кг/м\(^3\). Число \(\pi\).
▶ПодсказкаСкрыть
Время колебания лучше измерять методом рядов: засекайте время \(N\) колебаний и делите на \(N\). График \(T^2(m_в)\) должен быть прямой: его свободный член даёт массу пробирки, наклон — коэффициент жёсткости.
▶РешениеСкрыть
Период \(T=t/N\), где \(t\) — время \(N\) полных колебаний (метод рядов; при \(N\ge7\) баллы выше). Масса воды \(m_в=\rho V\), где \(V\) — объём залитой воды.
Из \(T^2=\dfrac{4\pi^2}{k}(m_п+m_в)\) график \(T^2(m_в)\) — прямая. Точка пересечения с осью \(T^2\) даёт \(m_п\), наклон \(\dfrac{4\pi^2}{k}\). Точные значения зависят от измерений.
Массу конфетки определяем, поместив её в пробирку вместо воды и измерив период; по графику находим массу пробирки с конфеткой \(M\), тогда \(m_к=M-m_п\). По официальному решению \(m_к\approx13\) г.
Источник: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по физике, 2022/23, заключительный этап, 7 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.