зад 1 Вишнёвый торт
Восьмиклассница Катя испекла вишнёвый торт. Треть массы торта составляет бисквит с плотностью \(\rho_1=600\) кг/м\(^3\), на треть объёма торт состоит из сливочного крема с плотностью \(\rho_2=1350\) кг/м\(^3\). Оставшаяся часть торта — вишнёвый джем, плотность которого \(\rho\) равна средней плотности торта. Помогите Кате определить плотность вишнёвого джема.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите среднюю плотность торта как отношение массы к объёму и составьте такое же отношение для джема. Приравнивание даст связь плотностей бисквита и крема.
▶ОтветСкрыть
\(\rho=\sqrt{\rho_1\rho_2}=900\) кг/м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Пусть масса торта \(m\), объём \(V\). Бисквит имеет массу \(m/3\) и объём \(\dfrac{m}{3\rho_1}\), крем — объём \(V/3\) и массу \(\dfrac{V}{3}\rho_2\). Тогда у джема масса \(m_д=\dfrac{2m}{3}-\dfrac{V\rho_2}{3}\), объём \(V_д=\dfrac{2V}{3}-\dfrac{m}{3\rho_1}\).
Условие \(\dfrac{m_д}{V_д}=\dfrac{m}{V}\) даёт \(\dfrac{m^2}{V^2}=\rho_1\rho_2\), откуда \(\rho=\sqrt{\rho_1\rho_2}=\sqrt{600\cdot1350}\ \text{кг/м}^3=900\) кг/м\(^3\).
зад 2 Андрей и Даша едут за свеклой
Мама решила приготовить на обед борщ, но дома не оказалось свеклы. Тогда мама попросила сына Андрея сходить пешком в магазин. Через \(t=10\) минут мама поняла, что у неё нет ещё и лаврового листа. Тогда она попросила дочку Дашу съездить в магазин на велосипеде. Андрей и Даша всю дорогу до магазина и обратно двигались с постоянными скоростями, Даша в 3 раза быстрее Андрея. По дороге ребята встречались два раза, причём расстояние от места первой встречи до дома оказалось равно расстоянию от места второй встречи до магазина. На сколько времени Даша вернулась домой раньше Андрея? Считайте, что в магазине ребята почти не задерживаются.
▶ПодсказкаСкрыть
Обозначьте расстояние до магазина \(S\), расстояние от места первой встречи до магазина \(L\). Запишите равенство времён до первой и до второй встречи. Случаи, когда первая встреча происходит на пути туда и когда на пути обратно, разбираются отдельно.
▶ОтветСкрыть
Даша вернётся раньше на 2 минуты (при одном расположении встреч) или на 50 минут (при другом).
▶РешениеСкрыть
Пусть скорость Андрея \(v\), Даши \(3v\), расстояние до магазина \(S\), \(L\) — расстояние от места первой встречи до магазина. Тогда вторая встреча происходит на расстоянии \(L\) от дома. Для первого случая (обе встречи на пути Андрея туда или обратно) получаем систему уравнений: \[\frac{S+L}{v}=\frac{S-L}{3v}+t,\qquad \frac{2S-L}{v}=\frac{2S-L}{3v}+t.\] Вычитая, получаем \(S=3L\); тогда \(\dfrac{S}{v}=\dfrac{9}{10}t\), то есть Андрей тратит на одну дорогу \(9\) минут, на всю дорогу — \(18\) минут. Даша тратит на всю дорогу \(6\) минут и выехала на \(10\) минут позже, поэтому она вернётся на \(2\) минуты раньше Андрея.
Во втором случае Андрей идёт в одну сторону \(45\) минут, всю дорогу — \(90\) минут. Даша проезжает её за \(30\) минут, выехав на \(10\) минут позже, и приезжает на \(50\) минут раньше Андрея.
зад 3 Три поросёнка
Три поросёнка, Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф построили себе одинаковые деревянные домики. Для обогрева домиков они используют одинаковые электронагреватели мощностью \(P=1\) кВт каждый. Когда температура воздуха на улице опустилась до \(T_0=0^\circ\)C, температура внутри домиков установилась на уровне \(T=14^\circ\)C при постоянно включённых обогревателях. Поросятам стало слишком холодно. Тогда Ниф-Ниф поменял деревянные окна на стеклопакеты, и в его домике установилась температура \(T_1=20^\circ\)C. Нуф-Нуф утеплил стены своего домика и у него температура воздуха повысилась до \(T_2=17{,}5^\circ\)C. Наф-Наф решил экономить электроэнергию. Поэтому он поставил стеклопакеты и утеплил стены домика. Нагреватель какой мощности он может использовать, чтобы в его домике установилась температура \(T_3=21^\circ\)C?
Указание. Считайте, что температура внутри домика одинакова. Нагреватели работают непрерывно и других источников тепла в домиках нет. Потери тепла в окружающую среду происходят только за счёт теплообмена. Мощность теплопотерь пропорциональна разности температур в домике и на улице.
▶ПодсказкаСкрыть
Мощность теплопотерь \(\alpha(T-T_0)\) при установившейся температуре равна мощности нагревателя. Стеклопакеты и утепление дают вклад в коэффициент \(\alpha\), и эти вклады складываются.
▶ОтветСкрыть
\(P_3=750\) Вт.
▶РешениеСкрыть
В установившемся режиме мощность нагревателя равна мощности теплопотерь: \(P=\alpha(T-T_0)\). Коэффициент теплообмена \(\alpha\) складывается из вкладов окон, стен и остальных частей домика; вклады окон и стен не влияют друг на друга, кроме как через температуру.
У Ниф-Нифа (стеклопакеты): \(P=(\alpha-\alpha_1)(T_1-T_0)\), откуда \(\alpha_1=\alpha\dfrac{T_1-T}{T_1-T_0}=0{,}3\,\alpha\).
У Нуф-Нуфа (утеплённые стены): \(\alpha_2=\alpha\dfrac{T_2-T}{T_2-T_0}=0{,}2\,\alpha\).
У Наф-Нафа оба вклада: коэффициент \(\alpha-\alpha_1-\alpha_2=0{,}5\,\alpha\). Нужная мощность \[P_3=0{,}5\,\alpha(T_3-T_0)=0{,}5\,\frac{P}{T-T_0}\,(T_3-T_0)=0{,}5\cdot\frac{1000\cdot21}{14}\ \text{Вт}=750\ \text{Вт}.\]
зад 4 Две гири и блок
Две гири одинаковой массы \(m=100\) г подвешены на нити, перекинутой через идеальный блок. Гири имеют форму цилиндров с одинаковой высотой, но разной площадью основания. В начальный момент гири висят на одной высоте, над большим сосудом с водой. В сосуд доливают воду так, что уровень воды увеличивается с постоянной скоростью. На графике показана зависимость от времени высоты нижней грани над дном сосуда для одной из гирь с площадью основания \(s=30\) см\(^2\).
А) Определите отношение плотностей материалов, из которых сделаны гири.
Б) Определите высоту гирь.
В) Постройте график зависимости силы натяжения нити от времени в диапазоне от 0 до 10 минут.
Указание. Считайте, что вода из сосуда не выливается, гири в блок не упираются. Плотность воды \(\rho=1000\) кг/м\(^3\). Считайте \(g=10\) Н/кг.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока гиря висит в воздухе, натяжение равно её весу. Излом графика высоты говорит о том, что вторая, более плотная, гиря полностью ушла под воду.
▶ОтветСкрыть
А) \(3\!:\!1\) (более плотная гиря к менее плотной); Б) \(H=3\) см; В) график: \(1\) Н на \(0\)–\(1\) мин, линейное падение до \(0{,}7\) Н к \(3\)-й минуте, \(0{,}7\) Н до \(7\)-й минуты, линейное падение до \(0{,}1\) Н к \(9\)-й минуте, далее \(0{,}1\) Н.
▶РешениеСкрыть
Высота гири над дном растёт, значит, на графике показана гиря большего объёма, то есть меньшей плотности. Уровень воды поднимается со скоростью \(1\) см/мин. С 1 по 3 минуту в сосуд налили \(2\) см воды, а гиря поднялась на \(1\) см: она погружена на \(1\) см. Вторая гиря опустилась на \(1\) см и погружена на \(3\) см. Отсюда высота гирь \(H=3\) см, а отношение плотностей равно \(3\!:\!1\) (объёмы \(s_1H\) и \(s_2H\) обратно пропорциональны плотностям при одинаковой массе).
Сила натяжения: в первую минуту гиря висит в воздухе, \(T=mg=1\) Н. Затем она погружается; в момент \(3\) мин \(T=mg-\rho gHs=1-0{,}3=0{,}7\) Н, то есть архимедова сила \(0{,}3\) Н.
С 3 по 7 минуту архимедова сила постоянна, и \(T=0{,}7\) Н. С 7 по 9 минуту вторая гиря касается дна, первая гиря погружается полностью, сила Архимеда растёт до \(\rho gHs=0{,}9\) Н и \(T=0{,}1\) Н. Дальше \(T=0{,}1\) Н.
зад 5 Мышка и сыр на доске
Массивная доска установлена на двух опорах, которые расположены симметрично относительно середины доски на расстоянии \(L=1\) м друг от друга. В одну из опор встроен тензодатчик, который измеряет силу давления доски на опору. На одном из концов доски сидит голодная мышка массой \(m=50\) г, на другом конце доски лежит кусочек сыра. Мышка добегает до сыра, быстро хватает его и бежит в обратную сторону с той же скоростью. На графике приведена зависимость показаний тензодатчика от времени. Определите скорость мышки и массу доски. Считайте \(g=10\) Н/кг.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока мышка бежит от одного конца к другому, момент сил относительно опоры меняется линейно по времени. Расстояние от мышки до опоры за 25 секунд проходит всю доску.
▶ОтветСкрыть
Скорость мышки \(8\) см/с, масса доски \(900\) г.
▶РешениеСкрыть
Пусть длина доски \(S\), масса доски \(M\), масса сыра \(\mu\), скорость мышки \(v\). Пока мышка бежит к сыру, показания тензодатчика растут: датчик стоит на дальней от мышки опоре. Условие равновесия доски относительно опоры без датчика даёт \[mg\Bigl(\frac{S-L}{2}-vt\Bigr)+F(t)L=Mg\frac{L}{2}+\mu g\,\frac{S+L}{2}.\] Изменение за время \(\Delta t\): \(-mgv\,\Delta t+\Delta F\,L=0\), откуда \(v=\dfrac{L}{mg}\dfrac{\Delta F}{\Delta t}\). За \(25\) с, пока мышка бежит от одного конца к другому, сила изменилась на \(1\) Н: \(v=\dfrac{1\cdot1}{0{,}05\cdot10}\cdot\dfrac{1}{25}=8\) см/с. Длина доски \(S=vt=8\ \text{см/с}\cdot25\ \text{с}=200\) см.
Когда мышка схватила сыр и побежала назад, сила изменилась на \(2\) Н. Значит, масса сыра \(\mu=m=50\) г. В момент \(37{,}5\) с мышка с сыром в середине доски, и нагрузки на опоры одинаковы. Тогда \(\dfrac{(m+\mu)g}{2}+\dfrac{Mg}{2}=5\) Н, откуда \(M=\dfrac{2\cdot5\ \text{Н}}{g}-m-\mu=900\) г.
зад 6 Пирамида из резисторов
В сером ящике собрана схема из шести резисторов в виде треугольной пирамиды. К соответствующим вершинам пирамиды подключены четыре провода, выходящие из серого ящика. Обозначения проводов соответствуют обозначению вершин на схеме. Известно, что сопротивление резистора 1 \(R_1=300\) кОм. Резистор 1 находится между вершинами \(A\) и \(B\).
С помощью выданного вам вольтметра (мультиметра в режиме вольтметра) и источника напряжения определите сопротивления оставшихся резисторов. Вскрывать серый ящик и соединять друг с другом выходы серого ящика запрещено. Мультиметр разрешено использовать только в режиме вольтметра. Сопротивление источника мало по сравнению с сопротивлениями резисторов в сером ящике.
Оборудование: серый ящик, источник напряжения, мультиметр в режиме вольтметра.
▶ПодсказкаСкрыть
Подключите источник к двум выходам и измерьте напряжения между всеми выходами. Какой резистор имеет нулевое напряжение и потому не влияет на цепь?
▶ОтветСкрыть
\(R_2=600\) кОм, \(R_3=900\) кОм, \(R_4=200\) кОм, \(R_5=600\) кОм, \(R_6=300\) кОм.
▶РешениеСкрыть
Подключим источник к выходам \(A\) и \(C\) и измерим напряжения между всеми выходами. Напряжение между \(B\) и \(D\) равно нулю, значит, через резистор 4 тока нет и его можно исключить. Остаётся схема, где резисторы 1 и 2 соединены последовательно. По закону последовательного соединения \(\dfrac{U_{AB}}{U_{BC}}=\dfrac{R_1}{R_2}\), откуда \(R_2=\dfrac{R_1}{U_{AB}}U_{BC}=600\) кОм.
Остальные сопротивления находят так же, подключая источник к другим парам выходов: \(R_3=900\) кОм (через \(R_2\), подключение к \(AB\)), \(R_4=200\) кОм (через \(R_1\), подключение к \(AD\)), \(R_5=600\) кОм (через \(R_3\), подключение к \(AB\)), \(R_6=300\) кОм (через \(R_1\), подключение к \(BD\)).
зад 7 Тает лёд
Можно показать, что при таянии кубика льда, подвешенного в воздухе, масса нерастаявшего льда \(m\) зависит от времени таяния \(\tau\) следующим образом: \[\sqrt[3]{m}=-\frac{2\alpha(t_в-t_л)}{\lambda\sqrt[3]{\rho^2}}\cdot\tau+\sqrt[3]{m_0},\] где \(\alpha\) — коэффициент теплоотдачи, \(t_в\) — температура окружающего воздуха, \(t_л=0\,^\circ\)C — температура тающего льда, \(\rho=900\) кг/м\(^3\) — плотность льда, \(\lambda=333\) кДж/кг — удельная теплота плавления льда, \(m_0\) — начальная масса льда.
С помощью выданного оборудования соберите установку для измерения массы льда. Установка должна как можно точнее измерять массу льда, и при этом вода, стекающая с кубика льда, не должна попадать на весы. С помощью этой установки и секундомера измерьте зависимость массы льда от времени его таяния. Обратите внимание, что при долгой работе весы могут отключаться. При повторном включении весов не забывайте проводить тарирование ненагруженной установки заново.
Постройте график зависимости корня кубического из массы льда от времени таяния льда. По угловому коэффициенту построенного графика определите коэффициент теплоотдачи. Температуру окружающего воздуха можно определить по термометру в кабинете.
Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, линейка, электронные весы, короткий круглый карандаш, кубик льда на ниточке, салфетки для удаления избытка воды с кубика льда, ведро для стекающей воды, лист миллиметровки, термометр.
▶ПодсказкаСкрыть
Тепловой поток в воздух пропорционален площади поверхности льда и разности температур. Для кубика площадь пропорциональна \(m^{2/3}\), поэтому \(\dfrac{d\,m^{1/3}}{dt}\) постоянна.
▶РешениеСкрыть
Мощность теплопередачи \(P=\alpha S(t_в-t_л)\), где \(\alpha\) — коэффициент теплоотдачи (мощность, поглощаемая единицей площади льда при разности температур \(1\) К), \(S\) — площадь поверхности льда. Для кубика \(m=\rho a^3\), \(S=6a^2=6\bigl(\dfrac{m}{\rho}\bigr)^{2/3}\). Из баланса \(\lambda\,\dfrac{dm}{dt}=-\alpha S(t_в-t_л)\) получаем \[\frac{d\,m^{1/3}}{dt}=-\frac{2\alpha(t_в-t_л)}{\lambda\rho^{2/3}}=\text{const},\] где \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда. Значит, \(\sqrt[3]{m}\) линейно убывает со временем, а по наклону графика \(\sqrt[3]{m}(t)\) находится \(\alpha=-\dfrac{k\,\lambda\,\rho^{2/3}}{2(t_в-t_л)}\).
По результатам официальной обработки наклон графика \(\sqrt[3]{m}(\tau)\) близок к \(-2\cdot10^{-5}\) кг\(^{1/3}\)/с.
Источник: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по физике, 2022/23, заключительный этап, 8 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.