Санкт-Петербургская, 2023/24, отборочный этап, 7 класс

Облако кажется неподвижным относительно флагштока, когда точка облака, верхушка флагштока и голова Миши лежат на одной прямой. Сравните отношения расстояний от Миши с отношением скоростей.

Скорость облака около \(35\) м/с.

Пусть точка \(B\) на облаке, точка \(A\) на верхушке флагштока и голова Миши \(M\) лежат на одной прямой. Тогда скорость облака относительно Земли связана со скоростью Миши соотношением \[\frac{v_\text{обл.}}{v_M} = \frac{AB}{AM}.\] Отношение расстояний выражается через высоты: \[\frac{AB}{AM} = \frac{h_B - h_A}{h_A - h_M} = \frac{1000~\text{м} - 10~\text{м}}{10~\text{м} - 1{,}5~\text{м}} \approx 116{,}5.\] Тогда \(v_\text{обл.} = 116{,}5\cdot0{,}3~\text{м/с} \approx 35\) м/с.

Масса смеси равна сумме масс жидкостей, а объём взятой жидкости каждого сорта неизвестен. Сначала найдите, сколько было взято каждой жидкости, учитывая уменьшение объёма второй и третьей жидкостей.

\(0{,}80\) кг.

Масса смеси равна сумме масс использованных жидкостей, поэтому нужно найти объём \(V_0\), взятый от каждой жидкости. Смесь второй и третьей жидкостей имеет объём \(0{,}9\cdot(V_0 + V_0)\), а после смешивания всех трёх жидкостей бутылка заполнена целиком: \[V_0 + 0{,}9\cdot(V_0 + V_0) = 1~\text{л}, \qquad V_0 = \frac{1}{2{,}8}~\text{л}.\] Массы жидкостей: \(m_1 = V_0\rho_1 = 0{,}25\) кг, \(m_2 = V_0\rho_2 = 0{,}27\) кг, \(m_3 = V_0\rho_3 = 0{,}28\) кг. Итого \[m = m_1 + m_2 + m_3 = 0{,}80~\text{кг}.\]

Сколько зубцов умещается на окружности при увеличении радиуса в два раза? Как меняется объём материала, удаляемого при вырезании одного зубца, если толщина заготовки выросла вдвое?

Масса удаляемого материала увеличится в \(4\) раза.

Размер зубцов не меняется, и при большом количестве зубцов форма зубца и промежутка между зубцами тоже не меняется. Поэтому материал, удаляемый при вырезании одного зубца, пропорционален толщине шестерёнки и увеличивается вдвое. Число зубцов пропорционально радиусу и тоже увеличивается вдвое. Значит, общая масса удаляемого материала возрастает в \(2\cdot2 = 4\) раза.

Внутреннее колесо на круге проходит меньший путь, внешнее — больший. Число оборотов колеса равно пройденному пути, делённому на его радиус. Рассмотрите оба варианта: бракованное колесо внутреннее или внешнее.

Радиус колеса отличается от стандартного на \(16\%\).

Пусть ширина телеги \(d\), радиус круга, по которому реально проехал центр, \(R_1 = 14\) м, а радиус, который вычислил компьютер (в предположении, что колёса одинаковые), \(R_2 = 13\) м. Колёса проходят пути, пропорциональные \(R \mp d/2\), а число оборотов колеса \(N \sim S/r\). Перебор случаев показывает, что в первом случае (бракованное колесо внутреннее) и в варианте, когда компьютер принимает бракованное колесо за внутреннее, получается противоречие или отрицательная ширина телеги (\(d = -1\) м). Остаётся случай, когда бракованное колесо внешнее, а компьютер принял его за внутреннее. Тогда \[d = R_1 - R_2 = 1~\text{м}, \qquad \frac{r_\text{брак.}}{r_\text{станд.}} = \frac{R_1 + d/2}{R_2 - d/2} = \frac{14{,}5}{12{,}5} \approx 1{,}16.\] Радиус колеса отличается от стандартного на \(16\%\).

Средняя скорость равна \(v_\text{ср.} = x/t\). Какие точки графика соответствуют одному и тому же моменту времени? Постройте такую линию на графике.

Судно находилось на расстоянии \(17\) км от точки старта.

По определению средняя скорость равна \(v_\text{ср.} = x/t\). Значит, точки графика, соответствующие одному и тому же моменту времени \(t\), удовлетворяют условию \(v_\text{ср.}\cdot\frac{1}{x} = \text{const}\), то есть лежат на одной линии \(v_\text{ср.} = \dfrac{x}{t}\). Для \(t = 1\) ч эта линия задаётся формулой \(v_\text{ср.} = x\) (в км и км/ч). Её пересечение с графиком даёт искомую точку, которая соответствует положению судна через \(1\) ч: \(x = 17\) км.