Санкт-Петербургская, 2023/24, отборочный этап, 8 класс

Когда бегут навстречу, скорости складываются, когда в одну сторону — вычитаются. Выразите скорости через длину круга и время одного оборота.

Раз в \(18\) мин.

Пусть \(L\) — длина круга, \(v_\text{пони}\) и \(v_\text{принц}\) — скорости. Пони обегает круг за \(12\) мин, поэтому \(\dfrac{v_\text{пони}}{L}=\dfrac{1}{12\text{~мин}}\). Сначала принц бежал навстречу пони, и они встречались каждые \(9\) мин: \(\dfrac{v_\text{пони}}{L}+\dfrac{v_\text{принц}}{L}=\dfrac{1}{9\text{~мин}}\). Отсюда \(\dfrac{v_\text{принц}}{L}=\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{36\text{~мин}}\). Когда принц побежал в другую сторону, то есть в ту же, что и пони, время между встречами равно \(t=\dfrac{L}{v_\text{пони}-v_\text{принц}}\), и \(\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{18}\), то есть \(t=18\) мин. В официальном комментарии отмечено, что если в первом случае принц бежал в ту же сторону, что и пони, ответ получится \(3\) мин \(36\) с.

Температура смеси — средневзвешенная по массам составляющих. Подумайте, какие рецепты можно комбинировать, чтобы получить нужный состав.

Нужно добавить \(2\) порции сиропа.

Обозначим кофе через К, сироп через С, воду через В, молоко через М. Напитки правильной температуры получаются смешиванием в пропорциях \(2К+3М\), \(К+2С+4М\), \(2К+В+2М\). Все три напитка имеют температуру \(70\,^\circ\text{C}\), значит и их смесь, смешанная в любом порядке, имеет правильную температуру. Из второго и третьего рецептов получаем \(3К+2С+В+6М\), или \((К+2С+В+3М)+(2К+3М)\). Поскольку \(2К+3М\) — правильный напиток, то напиток \(К+2С+В+3М\) имеет правильную температуру. Значит, к новому напитку \(К+В+3М\) нужно добавить \(2\) порции сиропа.

Пишите правило рычага относительно правого края бруска для двух моментов: в начале и в конце паузы. Разность уравнений исключит массу линейки и массу песка в начале.

Масса мыши \(26{,}5\) г.

Сначала мышь и мешок с песком уравновешивают друг друга. Масса песка со временем уменьшается, поэтому, если бы мышь не начала бежать, линейка перевернулась бы по часовой стрелке. Правило рычага относительно правого края бруска: \[\left(\frac{L}{2}-\frac{a}{2}\right)m_\text{мыши}=\left(\frac{L}{2}+\frac{a}{2}\right)m_\text{песок}+\frac{a}{2}m_\text{линейки}.\] Мышь остановилась, когда линейка снова начала переворачиваться, и далее линейка начинала вращаться против часовой стрелки. В критический момент, когда линейка снова начала переворачиваться по часовой стрелке, масса песка уменьшилась на \(\mu(\Delta t_1+\Delta t_2)\), а мышь продвинулась на \(v\Delta t_1\): \[\left(\frac{L}{2}-\frac{a}{2}-v\Delta t_1\right)m_\text{мыши}=\left(\frac{L}{2}+\frac{a}{2}\right)\bigl(m_\text{песок}-\mu(\Delta t_1+\Delta t_2)\bigr)+\frac{a}{2}m_\text{линейки}.\] Вычитая из первого уравнения второе, получаем \(v\Delta t_1\,m_\text{мыши}=\left(\frac{L}{2}+\frac{a}{2}\right)\mu(\Delta t_1+\Delta t_2)\), откуда \[m_\text{мыши}=\frac{\mu(L+a)}{2v}\left(1+\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}\right)=0{,}2\,\frac{\text{г}}{\text{с}}\cdot\frac{100\,\text{см}+6\,\text{см}}{2\cdot 2\,\text{см/с}}\cdot\left(1+\frac{60\,\text{с}}{15\,\text{с}}\right)\approx 26{,}5\text{~г}.\]

Давления на уровне дна в обоих сосудах одинаковы. Подумайте, перетекает ли жидкость между сосудами при нагревании, и как меняется уровень в каждом сосуде.

\(h_2'=\dfrac{h_2}{h_1}\,h_1'\).

Сосуды сообщающиеся, поэтому давления на уровне дна в левом и правом сосуде равны. Суммарная масса жидкости не меняется, значит, жидкость не перетекает между сосудами, и их можно рассматривать отдельно. Для каждого сосуда \(\Delta V = V\alpha\Delta T\): \[h_1'S_1=h_1S_1(1+\alpha\Delta T),\qquad h_2'S_2=h_2S_2(1+\alpha\Delta T),\] откуда \(h_1'=h_1(1+\alpha\Delta T)\), \(h_2'=h_2(1+\alpha\Delta T)\), и \(\dfrac{h_2'}{h_1'}=\dfrac{h_2}{h_1}\). Значит, \(h_2'=\dfrac{h_2}{h_1}\,h_1'\). Второе решение, через давление столба жидкости, в официальном тексте приводит к тому же ответу.

Выразите время до прибытия через полное время в пути \(t\) и среднюю скорость. Получится прямая с наклоном \(-1\): ищите наиболее «низкую» такую прямую, касающуюся графика.

Через \(4{,}0\) мин после начала движения.

Обозначим длину маршрута \(L\). Когда автомобиль проехал путь \(x\), время до прибытия \(t_\text{до прибытия}=\dfrac{L-x}{v_\text{ср}}=\dfrac{L}{v_\text{ср}}-\dfrac{x}{v_\text{ср}}\). Поскольку \(v_\text{ср}=\dfrac{x}{t}\), получаем \(t_\text{до прибытия}=\dfrac{L}{v_\text{ср}}-t\). Моменты, когда средняя скорость равна \(v_0\), определяются пересечениями графика с прямой \(t_\text{до прибытия}=\dfrac{L}{v_0}-t\), имеющей единичный наклон. Чем больше \(v_0\), тем меньше \(L/v_0\), поэтому нужно провести самую «низкую» прямую с единичным наклоном, имеющую общую точку с графиком. Такая прямая даёт момент, когда средняя скорость максимальна: через \(4{,}0\) мин после начала движения.