Санкт-Петербургская, 2023/24, отборочный этап, 9 класс

Путь за \(n\)-ю секунду равен разности путей за \(n\) и за \(n-1\) секунду.

\(g_b/g_d=5/3\).

Тело, падающее из состояния покоя с ускорением \(g\), за \(n\)-ю секунду проходит \(\dfrac{g}{2}(n\,\text{с})^2-\dfrac{g}{2}((n-1)\,\text{с})^2=\dfrac{g}{2}(2n-1)\cdot 1\,\text{с}^2\). Пусть ускорения на планетах \(b\) и \(d\) равны \(g_b\) и \(g_d\). По условию \(\dfrac{g_b}{2}\cdot 3=\dfrac{g_d}{2}\cdot 5\), откуда \(\dfrac{g_b}{g_d}=\dfrac{5}{3}\).

Сравните, сколько стоит вода без горячей и с горячей, и сколько энергии нужно на нагрев холодной воды до \(70\,^\circ\text{C}\). Переведите джоули в киловатт-часы.

Сумма счёта увеличится на \(388\) руб.

Раньше за воду платили \(85\) руб.\(+\,240\) руб.\(=325\) руб. Теперь потребление холодной воды составит \(2{,}5\,\text{м}^3+2\,\text{м}^3\), и платить за неё будут \(\dfrac{2{,}5+2}{2{,}5}\cdot 85\) руб.\(=153\) руб. Разница за воду: \(\Delta_\text{вода}=153-325=-172\) руб. Чтобы нагреть \(2\) м\(^3\) холодной воды с \(10\,^\circ\text{C}\) до \(70\,^\circ\text{C}\), нужна энергия \(V\rho c(T_\text{г}-T_\text{х})=2\cdot 1000\cdot 4200\cdot 60\text{~Дж}=5{,}04\cdot 10^6\) Дж\(=140\) кВт\(\cdot\)ч. Теперь за электроэнергию будут платить \(\dfrac{520+140}{520}\cdot 2080\) руб.\(=2640\) руб., то есть на \(\Delta_\text{эл}=560\) руб. больше. Итоговое изменение: \(\Delta=560-172=388\) руб.

Сопротивление зависит от того, какая грань бруска стала длиной. Удельное сопротивление в отношениях сокращается.

\(V=1125\) см\(^3\).

Сопротивление проводника \(R=\dfrac{\rho\ell}{S}\). Когда брусок зажат между пластинами, перпендикулярная пластинам сторона играет роль длины, а две другие образуют площадь сечения. Обозначим стороны бруска \(a=5\) см, \(b\) и \(c\) в порядке возрастания. Тогда возможные значения сопротивления \(R_a=\dfrac{\rho a}{bc}\), \(R_b=\dfrac{\rho b}{ac}\), \(R_c=\dfrac{\rho c}{ab}\), причём \(R_a<R_b<R_c\), значит \(R_a=2\) Ом, \(R_b=12\) Ом, \(R_c=27\) Ом. Удельное сопротивление \(\rho\) неизвестно, поэтому исключаем его из отношений: \(\dfrac{R_b}{R_a}=\dfrac{b^2}{a^2}\), \(\dfrac{R_c}{R_a}=\dfrac{c^2}{a^2}\). Тогда объём \[V=abc=a^3\,\frac{b}{a}\,\frac{c}{a}=a^3\sqrt{\frac{R_b}{R_a}}\sqrt{\frac{R_c}{R_a}}=(5\text{~см})^3\sqrt{6}\sqrt{13{,}5}=1125\text{~см}^3.\]

Сила Архимеда при подъёме тела меняется пропорционально плотности, которая растёт линейно с глубиной. Длина нити в обоих опытах одна и та же.

\(T=12\) Н.

Для верхнего тела до разрезания нити \(mg+T=F_\text{Арх}\), после разрезания \(mg=F'_\text{Арх}\), откуда \(F_\text{Арх}-F'_\text{Арх}=T\). Плотность жидкости линейно зависит от глубины, \(\rho(h)=\alpha(h-h_0)\), поэтому изменение силы Архимеда для малой части тела пропорционально её перемещению, и для тела, которое не переворачивалось, сила натяжения пропорциональна объёму тела и перемещению после разрезания нити: \(T=\alpha\,\Delta h\,Vg\). Обозначим перемещения в первом опыте и во втором опыте (нижнее тело перевёрнуто) через \(x_1\), \(y_1\) и \(x_2\), \(y_2\); длина нити одна и та же, поэтому \(x_1+y_1=x_2+y_2\). Объём верхнего тела \(V\), нижнего \(2V\). Из преобразований с учётом этих соотношений получается \[T_2=\frac{2}{3}\cdot\frac{x_1+y_1}{x_1}\,T_1=\frac{2}{3}\cdot\frac{10\text{~см}+8\text{~см}}{10\text{~см}}\cdot 10\text{~Н}=12\text{~Н}.\]

Масса и площадь листа не меняются, поэтому плотность листа обратно пропорциональна его толщине. Суммируйте вклады листов по давлению, а не по номерам.

\(135\) листов.

Масса и площадь листа при сжатии не меняются, поэтому плотность \(\rho\) связана с толщиной \(h\) соотношением \(\rho h=\rho_0h_0\), где \(\rho_0=2\) г/см\(^3\), \(h_0=1\) см. Верхний лист ничем не сжат и имеет толщину \(h_0\). Второй лист сжат весом первого: \(\Delta p=\rho_0h_0g=2000\cdot 0{,}01\cdot 10=200\) Па. Лист с номером \(n\) сжат давлением \((n-1)\Delta p\) и имеет толщину \(h\bigl((n-1)\Delta p\bigr)\), где \(h(p)\) — зависимость из графика. Для стопки высотой \(H=1\) м \[\sum_{n=0}^{N-1}h(n\,\Delta p)=H.\] Так как \(\Delta p\) мало, умножим сумму на \(\Delta p\) и заменим её площадью под графиком \(h(p)\): \(H\,\Delta p=200\) Па\(\cdot\)м\(=20\) кПа\(\cdot\)см. По графику эта площадь набирается на давлении \(27\) кПа на правом конце (участки графика дают площади \(16\) и \(4\) кПа\(\cdot\)см). Это давление создаёт вся стопка, \(N\,\Delta p=27\) кПа, откуда \[N=\frac{27\text{~кПа}}{200\text{~Па}}=135.\]