Санкт-Петербургская, 2023/24, заключительный этап, 10 класс

Скорость доски в лабораторной системе найдите из закона сохранения горизонтального импульса; скорость кошки относительно пола в начале полёта сложите со скоростью доски.

На расстоянии \(\dfrac{2L}{3}\) от места второго толчка (во 2-м варианте — \(\dfrac{3L}{4}\)).

Для прыжка с пола при скорости \(\vec v = (v_x, v_y)\) и времени полёта \(t\) имеем \(v_x t = L\), \(v_y t - gt^2/2 = 0\), откуда \(v_x v_y = gL/2\). При прыжке с доски то же соотношение справедливо для скорости \(\tilde v\) относительно пола: \(\tilde v_x\tilde v_y = g\tilde L/2\). Скорость кошки относительно доски в начале полёта равна \(\vec v\), поэтому \(\tilde v_x = v_x - u\), \(\tilde v_y = v_y\), где \(u\) — скорость доски относительно пола в противоположную сторону. Из сохранения горизонтального импульса в системе пола \(m(v_x - u) - Mu = 0\), то есть \(u = \dfrac{m v_x}{M + m}\). Деля второе соотношение на первое: \[\tilde L = \frac{\tilde v_x}{v_x}L = \frac{M}{M+m}L = \frac{2}{3}L.\]

В системе стакана на воду действует эффективная сила тяжести \(\vec g^{\,*} = \vec g + \vec a\). Поверхность воды перпендикулярна ей; оставшаяся вода образует треугольник, и её объём не меняется.

При \(a \le \dfrac{8g}{3}\) уровень воды не меняется: \(h = H\); при \(a > \dfrac{8g}{3}\) — \(h = \dfrac{8}{3}\dfrac{g}{a}H\). График — горизонтальный отрезок \(h = H\) при \(a \le 8g/3\) и ветвь гиперболы \(h \propto 1/a\) при \(a > 8g/3\).

Пусть в момент максимального ускорения \(a\) стакан движется вправо с ускорением, а вода смещается влево. В системе стакана на воду действует сила инерции, и поверхность воды перпендикулярна \(\vec g^{\,*} = \vec g + \vec a\): \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{g} = \frac{4H}{x},\] где \(x\) — горизонтальный катет треугольника на поверхности жидкости у стенки. Отсюда \(x = 4Hg/a\). Площадь треугольника оставшейся воды \(2Hx = 8(g/a)H^2\). Когда стакан остановится, вода образует прямоугольник площадью \(3hH\). Приравнивая площади, получаем \[h = \frac{8g}{3a}H.\] Равенство \(h = H\) достигается при \(a = 8g/3\) — это минимальное ускорение, при котором вода выливается. Итак, при \(a \le 8g/3\) уровень \(h = H\), при \(a > 8g/3\) — \(h = \dfrac{8}{3}\dfrac{g}{a}H\).

Вся работа внешней силы в итоге выделяется как теплота: найдите изменение потенциальной энергии системы; при этом жидкость, перетекающая между сосудами, поднимается, а её центр масс меняется.

\(\Delta T = \dfrac{2\rho g x^2 S}{3C}\) (во 2-м варианте — \(\dfrac{10\rho g x^2 S}{C}\)).

Пусть \(m_1\) и \(m_2\) — массы поршней в узком и широком сосудах, \(S_1 = S\), \(S_2 = 3S\). В равновесии \[H = \frac{1}{\rho}\left(\frac{m_1}{S_1} - \frac{m_2}{S_2}\right).\] После отпускания колебания затухают из-за вязкости, и вся работа при сдавливании переходит в тепло: \(\Delta U = C\,\Delta T\). Объём жидкости сохраняется: \(S_1 x = S_2 y\), где \(y\) — смещение большого поршня. Изменение потенциальной энергии складывается из работы против сил тяжести поршней и перемещения массы жидкости \(\rho x S_1\) из одного сосуда в другой: \[\Delta U = -m_1 g x + m_2 g y + \rho x S_1 g\left[H + \frac{y}{2} - \left(-\frac{x}{2}\right)\right].\] С учётом равновесия получаем \[\Delta T = \frac{\rho g x^2 S_1}{2C}\left(1 + \frac{S_1}{S_2}\right) = \frac{2\rho g x^2 S}{3C}.\] Тот же ход рассуждений при \(S_1 = 4S\), \(S_2 = S\) даёт \(10\rho g x^2 S/C\).

Сопротивление бруска \(R = \rho l/S\). При сохранении объёма растяжение в \(\lambda\) раз уменьшает площадь сечения в \(\lambda\) раз. Сравните полные сопротивления двух схем.

Отношение большего удельного сопротивления к меньшему равно \(\dfrac{(\lambda^2 - 2) + \sqrt{(\lambda^2-2)^2 - 4}}{2}\); решение существует только при \(\lambda \ge 2\).

Сопротивления исходных кубиков \(R_1 = \rho_1/a\), \(R_2 = \rho_2/a\). В левой схеме кубики соединены последовательно: \(R_I = (\rho_1 + \rho_2)/a\). При сохранении объёма растяжение в \(\lambda\) раз уменьшает сечение в \(\lambda\) раз, поэтому \(R_1' = \lambda^2\rho_1/a\), \(R_2' = \lambda^2\rho_2/a\). В правой схеме они соединены параллельно: \(R_{II} = \dfrac{\lambda^2\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)a}\). Приравнивая, получаем \(x = \rho_1/\rho_2\) и квадратное уравнение \[x^2 + (2 - \lambda^2)x + 1 = 0,\] корни \(x_\pm = \dfrac{(\lambda^2-2) \pm\sqrt{(\lambda^2-2)^2-4}}{2}\) с \(x_+x_- = 1\). Оба корня описывают одну ситуацию (большее и меньшее сопротивление). Решение существует при \(\lambda \ge 2\); при \(\lambda = 2\) \(\rho_1 = \rho_2\).

Скорость уменьшения высоты льда постоянна, так как \(\Delta h/\Delta t = \alpha/(\lambda\rho)\). Луч преломляется на сферической поверхности льда; найдите точку на столе для начального момента, а затем учтите, что стол поднимается равномерно.

При \(t \in [0,\ \sqrt{3}\,T_0/2]\) координата точки линейна по времени: \(x(t) = x_0 + \dfrac{t\,(R/2 - x_0)}{\sqrt{3}\,T_0/2}\), где \(x_0 = \dfrac{2R}{\sqrt{12n^2-3}+1}\); при \(t > \sqrt{3}\,T_0/2\) — \(x(t) = R/2\).

Тепловой баланс за малое время: \(\alpha S\,\Delta t = \lambda\rho S\,\Delta h\), поэтому \(\Delta h/\Delta t = \alpha/(\lambda\rho)\) постоянна: высота льда убывает равномерно. Для \(\sin\alpha = 1/2\) (угол падения \(30^\circ\)) по закону Снеллиуса \(\sin\beta = \dfrac{1}{2n}\), \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\). Из геометрии точка падения на столе находится на расстоянии \[x_0 = \frac{2R}{\sqrt{12n^2-3}+1}\] от центра \(O\) (в ходе вычисления \(\gamma = \alpha - \beta\) и \(\operatorname{tg}\gamma\)). Представим, что не лёд опускается, а стол равномерно поднимается, «съедая» лёд слой за слоем: точка пересечения луча со столом поднимается равномерно, поэтому \(x(t)\) линейна, пока лёд растаивает. Точка достигает \(R/2\), когда растаял нижний слой толщиной \(R\sqrt3/2\), то есть при \(t = \sqrt3\,T_0/2\); дальше \(x = R/2\).

Поток \(\vec E\) через замкнутый контур вокруг электрода равен \(q/\varepsilon_0\). Суммируйте потенциалы по контуру шаблона, чтобы получить поток, а затем — заряд на единицу длины.

По теореме Гаусса для поверхности вокруг электрода поток напряжённости по контуру шаблона даёт \[\tau = \frac{q}{h} = -\frac{\varepsilon\varepsilon_0\,\Delta l}{\Delta r}\sum_i \Delta\varphi_i = \frac{\varepsilon\varepsilon_0\,\Delta l}{\Delta r}\left(\sum_i\varphi_{i,\text{внут}} - \sum_i\varphi_{i,\text{внеш}}\right),\] где \(\varphi_{i,\text{внут}}\) — потенциалы на внутреннем контуре (углы учитываются дважды), а \(\varphi_{i,\text{внеш}}\) — потенциалы на внешнем контуре без угловых точек. Погонная ёмкость \(C_n = \tau/U\), где \(U\) — напряжение между электродами.

Напряжённость в точке посередине между электродами (на расстоянии \(l/2\) от каждого) равна \(E = \dfrac{2\tau}{\pi\varepsilon_0 l}\), поэтому \(\tau = \dfrac{\pi\varepsilon_0 l}{2}\,E\) и \(C_n = \tau/U\).

По геометрии установки (радиус электрода \(R\), расстояние \(l\)) напряжение \(U = 4k\tau\ln(l/R)\), где \(E = 2k\tau/r\), и погонная ёмкость \(C_n = \dfrac{\pi\varepsilon_0}{\ln(l/R)}\). Сопоставьте три результата.

Стоячая волна на пружине: \(l = m\lambda/2\). Снимите зависимость периода от длины для \(m = 1, 2, 3\) и постройте \(\ln T\) от \(\ln l\) — наклон даёт показатель \(b\).

Закрепляем один конец пружины струбциной на краю стола, создаём рукой вынужденные колебания в поперечном направлении, подбирая частоту так, чтобы сформировалась стоячая волна с \(m\) пучностями, и снимаем её на видео. Зависимость \(T(l)\) снимается для \(m = 1, 2, 3\); строятся графики \(\ln T\) от \(\ln l\).

Теоретическая зависимость (в комментарии организаторов, для проверки): \(kl = m\pi\), для стержня \(v_\phi = \sqrt[4]{ER^2/\rho}\sqrt{\omega}\), где \(R\) — радиус инерции сечения. Для тонкой пружины получается \[T = \frac{l^{3/2}}{m^2}\sqrt{\frac{8\mu}{E\pi^3R_0^4}},\] где \(\mu\) — масса пружины, \(R_0\) — радиус пружины. Отсюда теоретические показатели \(a = -2\), \(b = 3/2\). Экспериментальные значения \(A\), \(a\), \(b\) определяются по графикам. ПРОВЕРИТЬ: в комментарии организаторов число пучностей обозначено той же буквой \(m\), что и масса пружины.