Санкт-Петербургская, 2023/24, заключительный этап, 11 класс

Жёсткость куска ленты обратно пропорциональна его длине: половина ленты в два раза жёстче целой. Запасённая упругая энергия при выстреле переходит в кинетическую энергию снаряда.

\(E_B - E_A = \dfrac{2kY^2}{3}\) (во 2-м варианте: \(k = \dfrac{3\,\Delta E}{2Y^2}\)).

При первом выстреле лента растянута на \(2Y - 2L\) и запасает энергию \[E_A = \frac{k(2Y - 2L)^2}{2} = 2k(Y - L)^2.\] Здесь важно, что половина ленты имеет жёсткость \(2k\): под той же нагрузкой она растягивается вдвое меньше. При втором выстреле лента делится на два куска: длиной \(L/2\) с жёсткостью \(4k\) и длиной \(3L/2\) с жёсткостью \(4k/3\); каждый растянут до длины \(Y\): \[E_B = \frac{4k(Y - L/2)^2}{2} + \frac{4k}{3}\cdot\frac{(Y - 3L/2)^2}{2}.\] Раскрывая скобки и вычитая \(E_A\), получаем \(E_B - E_A = \dfrac{2kY^2}{3}\).

Для двухатомного газа \(U = 5\nu RT/2\). Из условия \(P = \alpha V\) и уравнения состояния выразите \(dV/dT\).

\(C = 3\nu R\).

Для малого процесса \(\delta Q = \Delta U + P\Delta V\), \(\Delta U = \dfrac{5}{2}\nu R\,\Delta T\), поэтому \[C = \frac{5}{2}\nu R + P\frac{\Delta V}{\Delta T}.\] Из \(P = \alpha V\) и \(PV = \nu RT\) получаем \(V = \sqrt{\nu RT/\alpha}\), откуда \(dV/dT = \dfrac{1}{2}\sqrt{\nu R/(\alpha T)}\). Исключая давление \(P = \alpha V = \sqrt{\alpha\nu RT}\), получаем \[C = \frac{5}{2}\nu R + \frac{\nu R}{2} = 3\nu R.\]

Сила Ампера \(F_A = IB_0L\) перпендикулярна и прутку, и полю; её вертикальная составляющая должна компенсировать часть веса, а горизонтальная — сравниться с трением.

Вес уменьшается вдвое при \(\sin\alpha = B_{\text{кр}}/B_0\), где \(B_{\text{кр}} = \dfrac{\rho\rho_{\text{э}}Lg}{2U}\), угол \(\alpha\) к вертикали; условие отсутствия скольжения: \(\mu \ge \operatorname{ctg}\alpha\). При \(B_0 \ge 2B_{\text{кр}}\) есть и второе решение: вес удваивается при \(\sin\beta = 2B_{\text{кр}}/B_0\) с условием \(\mu \ge \tfrac{1}{2}\operatorname{ctg}\beta\). Решения нет при \(B_0 < B_{\text{кр}}\).

Сопротивление прута \(R = \rho_{\text{э}}L/S\), ток \(I = US/(\rho_{\text{э}}L)\), сила Ампера \(F_A = USB_0/\rho_{\text{э}}\), перпендикулярная и прутку, и полю. Вес прута \(mg = \rho LSg\). Уменьшение веса вдвое требует \(F_A\sin\alpha = mg/2\), откуда \(\sin\alpha = B_{\text{кр}}/B_0\) с \(B_{\text{кр}} = \rho\rho_{\text{э}}Lg/(2U)\). Горизонтальная составляющая \(F_A\cos\alpha = \dfrac{mg}{2}\operatorname{ctg}\alpha\) должна быть не больше \(\mu N = \mu mg/2\), то есть \(\mu \ge \operatorname{ctg}\alpha\). Для удвоения веса сила направлена вниз: \(F_A\sin\beta = mg\), \(\sin\beta = 2B_{\text{кр}}/B_0\), и \(N = 2mg\), откуда \(\mu \ge \tfrac{1}{2}\operatorname{ctg}\beta\). Во 2-м варианте (вес втрое) аналогично с \(B_{\text{кр}} = 2\rho\rho_{\text{э}}Lg/(3U)\).

Общая ёмкость двух конденсаторов последовательно равна \(C_0 = C_1C_2/(C_1+C_2)\). Заряды на конденсаторах до и после замыкания ключа различаются на \(C_2U - C_0U\) (или \(C_1U - C_0U\)).

\(C_1 = 110\) мкФ, \(C_2 = 11\) мкФ, \(U = 36\) В (во 2-м варианте: \(C_1 = 42\) мкФ, \(C_2 = 2{,}1\) мкФ, \(U = 36\) В).

Пусть \(U\) — напряжение источника. Из схемы \(C_0 = \dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}\). До замыкания ключа заряд \(q = C_0U\). При замыкании левого ключа левый конденсатор разряжается, и через сопротивление протекает \(Q_{\text{чип}} = C_2U - C_0U\); при замыкании правого — \(Q_{\text{дип}} = C_1U - C_0U\). Из условия \(Q_{\text{дип}}/Q_{\text{чип}} = 100\) получаем \[\frac{C_1 - C_0}{C_2 - C_0} = 100 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 10\,C_2 .\] Подставляя в формулу для \(C_0\): \(10\ \text{мкФ} = \dfrac{10C_2^2}{11C_2}\), откуда \(C_2 = 11\) мкФ, \(C_1 = 110\) мкФ. Напряжение: \(U = Q_{\text{чип}}/(C_2 - C_0) = 36\) В.

Скорость уменьшения высоты льда постоянна: тепловой баланс даёт \(\Delta h/\Delta t = \alpha/(\lambda\rho)\). Для начального положения найдите точку на столе по закону преломления, а затем представьте, что стол поднимается.

При \(t \in [0,\ \sqrt3\,T_0/2]\): \(x(t) = x_0 + \dfrac{t\,(R/2 - x_0)}{\sqrt3\,T_0/2}\), где \(x_0 = \dfrac{2R}{\sqrt{12n^2-3}+1}\); при \(t > \sqrt3\,T_0/2\): \(x(t) = R/2\). График — отрезок прямой, переходящий в горизонтальный участок.

Тепловой баланс за малое время: \(\alpha S\,\Delta t = \lambda\rho S\,\Delta h\), поэтому высота льда убывает равномерно. В начальный момент луч падает под углом \(\alpha = 30^\circ\) (\(\sin\alpha = 1/2\)). По закону Снеллиуса \(\sin\beta = \dfrac{1}{2n}\), \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{1}{\sqrt{4n^2-1}}\). Из геометрии точка падения на столе находится на расстоянии \[x_0 = \frac{2R}{\sqrt{12n^2-3}+1}\] от центра \(O\). Представляя, что стол поднимается равномерно и «съедает» лёд слой за слоем, получаем, что точка пересечения луча со столом поднимается равномерно: \(x(t)\) линейна. Точка достигает \(R/2\), когда растаял слой толщиной \(R\sqrt3/2\), то есть при \(t = \sqrt3\,T_0/2\).

Уравнения вращательного и поступательного движения относительно центра масс блока дают ускорение \(a_1\); подберите число скрепок, при котором блок почти неподвижен (\(a_1 = 0\)), и измерьте время спуска.

Пусть \(m_2\) — масса груза на втором конце нити, \(R\) — внешний радиус двойного блока. Уравнения динамики относительно центра масс, связь ускорений \(a_1 r = -a_2(R - r)\) и \(\beta = a_1/r\) дают \[a_1 = g\,\frac{m_1 r + m_2 r - m_2 R}{r\,\bigl(m_1(1+k) + m_2\bigr)}\qquad (1)\] (решение и относительно мгновенной оси вращения даёт тот же результат). Отсюда \[k = \frac{g\left(r + \dfrac{m_2}{m_1}(r - R)\right) - \left(1 + \dfrac{m_2}{m_1}\right)a_1 r}{a_1 r}.\] Эксперимент: при \(a_1 = 0\) блок неподвижен, \(m_1 = m_{20}\left(\dfrac{R}{r} - 1\right)\), где \(m_{20}\) — масса груза в этом опыте. Измерив время \(t\) спуска на высоту \(h\) при \(a_1 = 2h/t^2\), получаем \[k = g\left(1 - \frac{m_2}{m_{20}}\right)\frac{t^2}{2h} - \left(1 + \frac{m_2 r}{m_{20}(R-r)}\right)\qquad (2)\] По критериям организаторов значение \(k\) после усреднения попадает в диапазон \([10; 15]\).

Ток в растворе: \(I = eSZ n\,(b_+ + b_-)\,U/l\), где \(n\) — концентрация ионов. Сопротивление раствора измеряется кондуктометром, откалиброванным по эталонной жидкости.

Плотность тока \(j = qnv\), и для раствора с концентрацией ионов \(n\) и зарядом \(Z e\) сумма подвижностей катионов и анионов находится из измерений сопротивления: \(R = \dfrac{l}{eZ n (b_+ + b_-)S}\), откуда \(b_+ + b_- = \dfrac{l}{eZ\,n\,S\,R}\). Концентрация \(n\) вычисляется из массовой доли соли, плотности раствора и молярных масс (\(M_{\text{NaCl}} = 58{,}4\) г/моль). Кондуктометр калибруют по эталонной жидкости: \(\vartheta/\vartheta_0 = R/R_0\), где \(\vartheta_0\) — показания кондуктометра на эталонной жидкости, \(R_0\) — её сопротивление по мультиметру, \(R\) — сопротивление раствора. Измерения: сопротивление раствора от массовой доли (при комнатной температуре) и от температуры для ненасыщенного и насыщенного раствора; по графикам получают эмпирические зависимости \(b(\omega)\) и \(b(T)\). ПРОВЕРИТЬ: формулы из текста официального решения восстановлены частично, полный вид см. в файле решения.