Санкт-Петербургская, 2023/24, заключительный этап, 7 класс

Облако кажется неподвижным относительно верхушки флагштока, когда точка облака, верхушка флагштока и голова Миши лежат на одной прямой. Запишите, как относятся скорости облака и Миши к расстояниям до верхушки флагштока.

1-й вариант: \(v \approx 35\) м/с;  2-й вариант: \(v \approx 47\) м/с.

Пусть точка \(A\) — верхушка флагштока, \(M\) — голова Миши, \(B\) — точка облака. Облако кажется неподвижным, если \(A\), \(M\) и \(B\) остаются на одной прямой. Тогда скорости относятся как расстояния до \(A\): \[\frac{v_{\text{обл}}}{v_M} = \frac{AB}{AM} = \frac{h_B - h_A}{h_A - h_M}.\] В 1-м варианте \(h_B = 1000\) м, \(h_A = 10\) м, \(h_M = 1{,}5\) м, отношение \(\dfrac{990}{8{,}5} \approx 116{,}5\), и \(v_{\text{обл}} = 116{,}5 \cdot 0{,}3\) м/с \(\approx 35\) м/с. Во 2-м варианте \(h_B = 2000\) м, отношение \(\approx 234{,}1\), и \(v_{\text{обл}} \approx 47\) м/с.

Масса смеси равна сумме масс использованных жидкостей. Найдите, сколько было взято каждой жидкости, по условию про объём бутылки.

1-й вариант: \(m \approx 0{,}80\) кг;  2-й вариант: \(m \approx 0{,}95\) кг.

Пусть каждой жидкости взято \(V_0\). После смешения второй и третьей жидкостей их объём равен \(0{,}9 \cdot 2V_0\) (во 2-м варианте \(0{,}8 \cdot 2V_0\)). Бутылка заполнена целиком, поэтому \(V_0 + 0{,}9 \cdot 2V_0 = 1\) л, откуда \(V_0 = \dfrac{1}{2{,}8}\) л. Масса смеси \[m = V_0(\rho_1 + \rho_2 + \rho_3) = \frac{2{,}24}{2{,}8}\ \text{кг} = 0{,}80\ \text{кг}.\] Во 2-м варианте \(V_0 = \dfrac{1}{2{,}6}\) л, и \(m = \dfrac{2{,}47}{2{,}6}\ \text{кг} \approx 0{,}95\) кг.

Сколько зубцов на шестерёнке при увеличении радиуса? Как масса одного зубца зависит от толщины заготовки?

1-й вариант: масса увеличится в \(4\) раза, то есть станет \(80\) г; 2-й вариант: в \(9\) раз, то есть \(90\) г.

Размер зубцов не меняется, поэтому масса материала одного зубца пропорциональна толщине заготовки, а она растёт вдвое. Число зубцов пропорционально радиусу и тоже растёт вдвое. Общая масса удаляемого материала увеличивается в \(2 \cdot 2 = 4\) раза. Во 2-м варианте (радиус втрое) — в \(3 \cdot 3 = 9\) раз.

Внутреннее колесо проходит меньший путь, внешнее — больший, а число оборотов колеса пропорционально пути и обратно пропорционально его радиусу. Ширину телеги можно найти из двух измерений.

1-й вариант: радиус отличается на \(16\%\);  2-й вариант: на \(14\%\).

Пусть \(d\) — ширина телеги, \(R_1\) — истинный радиус круга, \(R_2\) — радиус, который показал компьютер (он считает колёса одинаковыми). Число оборотов колеса \(N \sim S/r\), где \(S\) — пройденный путь, \(r\) — радиус колеса. Перебор случаев показывает, что бракованное колесо было внешним, и в 1-м варианте \(d = R_1 - R_2 = 1\) м, а отношение радиусов \[\frac{r_{\text{брак}}}{r_{\text{станд}}} = \frac{R_1 + d/2}{R_2 - d/2} = \frac{14{,}5}{12{,}5} \approx 1{,}16,\] то есть размер колеса отличается на \(16\%\). Во 2-м варианте (\(R_1 = 13\) м, \(R_2 = 14\) м) получаем \(d = 1\) м и отношение \(\approx 0{,}86\), то есть отличие около \(14\%\).

Средняя скорость равна \(v_{\text{ср}} = x/t\). Какую линию на графике образуют точки с одинаковым временем \(t\)?

1-й вариант: судно на расстоянии \(17\) км от точки старта; 2-й вариант: \(41{,}5\) км.

По определению \(v_{\text{ср}} = x/t\), значит, точки с постоянным временем \(t\) лежат на прямой \(v_{\text{ср}} = x/t\), проходящей через начало координат. Для \(t = 1\) ч это прямая \(v_{\text{ср}} = x\); её пересечение с графиком даёт \(x \approx 17\) км. Для \(t = 4\) ч прямая \(v_{\text{ср}} = x/4\) пересекает график при \(x \approx 41{,}5\) км.

Погружайте груз в воду и снимайте зависимость удлинения пружины от глубины погружения. Запишите условия равновесия груза и блока с учётом силы Архимеда.

\(k \approx 2{,}9\) Н/м;  \(m \approx 16\) г (по критериям допустимо \(m\) от \(15\) до \(17\) г).

Условия равновесия груза и блока: \(F_а + T = mg\) и \(2T = F_у + m_{\text{блока}} g\), где \(F_у = k(x + x_0)\), \(F_а = \rho g S h\), \(S\) — площадь основания груза, \(h\) — глубина погружения. Получаем линейную зависимость \[x(h) = -\frac{2\rho g S}{k}\,h + 2mg - m_{\text{блока}} g - k x_0 .\] Измерив \(x(h)\) и построив график, по его угловому коэффициенту \(\alpha \approx -0{,}684\) (в единицах задачи) и \(S = 1\) см\(^2\) находим \(k = -\dfrac{2\rho g S}{\alpha} \approx 2{,}9\) Н/м. Когда груз полностью погружён, пружина висит на блоке, и \(2T = (m_{\text{пружины}} + m_{\text{блока}}) g\). Отсюда \[m = \frac{m_{\text{пружины}} + m_{\text{блока}}}{2} + \rho S h^*,\] где \(h^* = 6\) см — высота груза, и \(m \approx 16{,}2\) г.

Сначала убедитесь, что деформация подчиняется закону Гука: это определяет, при каких нагрузках можно измерять жёсткость. Затем постройте график \(k\) от \(1/N_в\).

\(a \approx 412\) Н/м (по критериям — в диапазоне \(300\)–\(500\) Н/м).

Пружина из короткой проволоки при большой нагрузке разгибается, поэтому жёсткость измеряется при силах, меньших \(0{,}5\) Н, где выполняется закон Гука. Для пружин из длинной проволоки измеряют силу упругости и удлинение, усредняют и получают коэффициенты жёсткости \(k\) при разных числах витков. Точки \(k\) от \(1/N_в\) ложатся на прямую, наклон которой и есть \(a\); по графику \(a \approx 412\) Н/м.