Санкт-Петербургская, 2023/24, заключительный этап, 8 класс

Удобно считать скорости в кругах в минуту: пони проходит \(1/12\) круга за минуту. Как меняется время между встречами при движении в одну и в другую сторону?

1-й вариант: раз в \(18\) мин;  2-й вариант: раз в \(6\) мин.

Пусть длина круга \(L\), скорость пони \(v_{\text{пони}}\), скорость принца \(v_{\text{принц}}\). В 1-м варианте \(\dfrac{v_{\text{пони}}}{L} = \dfrac{1}{12}\) мин\(^{-1}\). Встречи, когда принц бежит навстречу, происходят раз в \(9\) мин: \(\dfrac{v_{\text{пони}}}{L} + \dfrac{v_{\text{принц}}}{L} = \dfrac{1}{9}\), откуда \(\dfrac{v_{\text{принц}}}{L} = \dfrac{1}{36}\) мин\(^{-1}\). Если принц бежит в другую сторону, то время между встречами \[t = \frac{L}{v_{\text{пони}} - v_{\text{принц}}} = \frac{1}{\frac{1}{12} - \frac{1}{36}} = 18~\text{мин}.\] Во 2-м варианте \(\dfrac{v_{\text{пони}}}{L} = \dfrac{1}{10}\), встречи раз в \(30\) мин дают \(\dfrac{v_{\text{принц}}}{L} = \dfrac{1}{15}\), и при беге в другую сторону \(t = \dfrac{1}{\frac{1}{10} + \frac{1}{15}} = 6\) мин.

Все три рецепта дают напитки нужной температуры, значит и любая их смесь будет такой же. Смешайте рецепты так, чтобы получить нужный набор ингредиентов.

1-й вариант: \(2\) порции сиропа;  2-й вариант: \(4\) порции молока.

Обозначим кофе \(K\), сироп \(C\), воду \(B\), молоко \(M\). Напитки нужной температуры: \(2K + 3M\), \(K + 2C + 4M\) и \(2K + B + 2M\). Смесь любых из них тоже имеет эту температуру. Смешав второй и третий рецепты, получим \(3K + 2C + B + 6M\), что равно \((K + 2C + B + 3M) + (2K + 3M)\). Значит, напиток \(K + 2C + B + 3M\) имеет нужную температуру, и к составу «кофе + вода + 3 порции молока» нужно добавить \(2\) порции сиропа.

Во 2-м варианте смешаем два вторых рецепта: \(2K + 4C + 8M\), затем добавим третий рецепт: \((2K + 4C + 8M) + (2K + B + 2M) = (4C + B + 4M) + 2(2K + 3M)\). Значит, напиток \(4C + B + 4M\) имеет нужную температуру, и нужно добавить \(4\) порции молока.

Линейка начинает переворачиваться относительно правого края бруска. Запишите правило рычага для двух моментов, когда линейка готова упасть, и вычтите одно уравнение из другого.

1-й вариант: \(m \approx 26{,}5\) г;  2-й вариант: \(m \approx 52{,}5\) г.

В оба критических момента линейка переворачивается относительно правого края бруска. В первый момент правило рычага: \(\left(\dfrac{L}{2} - \dfrac{a}{2}\right) m_{\text{мыши}} = \left(\dfrac{L}{2} + \dfrac{a}{2}\right) m_{\text{песка}} + \dfrac{a}{2} m_{\text{линейки}}\). В третий момент мышь сместилась на \(v\Delta t_1\), а песка стало меньше на \(\mu(\Delta t_1 + \Delta t_2)\): \[\left(\frac{L}{2} - \frac{a}{2} - v\Delta t_1\right) m_{\text{мыши}} = \left(\frac{L}{2} + \frac{a}{2}\right)\bigl(m_{\text{песка}} - \mu(\Delta t_1 + \Delta t_2)\bigr) + \frac{a}{2} m_{\text{линейки}}.\] Вычитая, получаем \(v\Delta t_1\, m_{\text{мыши}} = \dfrac{L + a}{2}\,\mu(\Delta t_1 + \Delta t_2)\), откуда \[m_{\text{мыши}} = \frac{\mu (L + a)}{2v}\left(1 + \frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}\right).\] В 1-м варианте \(m = \dfrac{0{,}2 \cdot 106}{4}\cdot 5 = 26{,}5\) г, во 2-м \(m = \dfrac{0{,}2 \cdot 105}{4}\cdot 10 = 52{,}5\) г.

Суммарная масса воды не меняется, и жидкость не перетекает между сосудами. Как меняется уровень в каждом сосуде при расширении?

1-й вариант: \(h'_2 = \dfrac{h_2}{h_1}\,h'_1\);  2-й вариант: \(h'_1 = \dfrac{h_1}{h_2}\,h'_2\).

Жидкость не перетекает между сосудами, поэтому каждый сосуд рассматривается отдельно. Для каждого сосуда \(h'_1 S_1 = h_1 S_1 (1 + \alpha\Delta T)\) и \(h'_2 S_2 = h_2 S_2 (1 + \alpha\Delta T)\), то есть уровни меняются в одно и то же число раз: \(\dfrac{h'_1}{h'_2} = \dfrac{h_1}{h_2}\). Отсюда \(h'_2 = \dfrac{h_2}{h_1}h'_1\). Тот же результат получается и из условия равенства давлений на уровне дна с учётом изменения плотности воды. Во 2-м варианте \(h'_1 = \dfrac{h_1}{h_2}\,h'_2\).

Выразите время до прибытия через среднюю скорость и время в пути. Какой вид имеет график при постоянной средней скорости?

1-й вариант: через \(4{,}0\) мин после начала движения;  2-й вариант: через \(5{,}5\) мин.

Пусть \(L\) — длина маршрута, \(x\) — пройденный путь, тогда \(t_{\text{до прибытия}} = \dfrac{L - x}{v_{\text{ср}}} = \dfrac{L}{v_{\text{ср}}} - t\), так как \(v_{\text{ср}} = x/t\). Моменты, когда средняя скорость равна \(v_0\), находятся как точки пересечения графика с прямой \(t_{\text{до прибытия}} = \dfrac{L}{v_0} - t\), у которой наклон равен \(-1\). Чем больше \(v_0\), тем ниже проходит эта прямая. Поэтому максимум средней скорости соответствует самой низкой такой прямой, которая ещё имеет общую точку с графиком. Такая прямая касается графика в точке \(t \approx 4{,}0\) мин в 1-м варианте и \(t \approx 5{,}5\) мин во 2-м.

Подключайте к выходам ящика разные соединения резисторов и измеряйте напряжение. По найденным парам \((U, I)\) постройте нагрузочную прямую ящика и найдите её пересечение с ВАХ лампочки.

\(I \approx 0{,}27\) мА, \(U \approx 0{,}30\) В.

Измерения напряжения на выходах ящика при разных сопротивлениях нагрузки (от \(3{,}3\) до \(30\) кОм, составленных из резисторов по \(10\) кОм) дают токи \(I = U/R\) через нагрузку. Точки \((U, I)\) лежат на прямой, то есть ящик ведёт себя как источник с большим внутренним сопротивлением. Нагрузочная прямая по измерениям: \(I \approx 0{,}333 - 0{,}211\,U\) (мА, В). Её пересечение с ВАХ лампочки даёт рабочий режим: \(I \approx 0{,}27\) мА, \(U \approx 0{,}30\) В.

Диаметры проволоки и пружины можно определить методом рядов: намотайте много витков вплотную и поделите длину на число витков. Линеаризуйте график \(k\) от \(1/N_в\).

По решению организаторов \(G \approx 67\) ГПа; по критериям допустимый диапазон \(45\)–\(80\) ГПа.

Жёсткость пружины измеряют при малых нагрузках, где выполняется закон Гука, и усредняют для пружин с разным числом витков. Точки \(k\) от \(1/N_в\) ложатся на прямую с наклоном \(a = \dfrac{G (D_в)^4}{8 (D_{пр})^3}\), откуда \(G = \dfrac{8\,a\,(D_{пр})^3}{(D_в)^4}\). По измерениям \(a \approx 412\) Н/м, \(D_в \approx 0{,}52\) мм, \(D_{пр} \approx 11{,}4\) мм, и \(G \approx 67\) ГПа. Значение отличается от табличного, так как проволока была покрыта медью, а внутри была железная основа.