Санкт-Петербургская, 2023/24, заключительный этап, 9 класс

Путь за \(n\)-ю секунду падения из состояния покоя — это разность путей за \(n\) и за \(n - 1\) секунд.

\(\dfrac{g_b}{g_d} = \dfrac{5}{3}\) (в обоих вариантах).

Тело, падающее из состояния покоя с ускорением \(g\), за \(n\)-ю секунду проходит \(\dfrac{g}{2}\bigl(n^2 - (n-1)^2\bigr)\cdot 1\text{ с}^2 = \dfrac{g}{2}(2n - 1)\cdot 1\text{ с}^2\). В 1-м варианте за вторую секунду на планете \(b\) проходится \(\dfrac{3g_b}{2}\), за третью на планете \(d\) — \(\dfrac{5g_d}{2}\). Приравнивая, получаем \(\dfrac{g_b}{g_d} = \dfrac{5}{3}\). Во 2-м варианте \(\dfrac{g_b}{2} = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5g_d}{2}\), то есть тот же ответ.

Сравните счёт за воду до и после и отдельно посчитайте, сколько электроэнергии нужно, чтобы нагреть \(2\) м\(^3\) воды на \(60\) °C.

Сумма счёта увеличится на \(388\) руб. (в обоих вариантах).

Вода: раньше \(85 + 240 = 325\) руб., теперь холодной воды \(4{,}5\) м\(^3\), и она стоит \(\dfrac{4{,}5}{2{,}5}\cdot 85 = 153\) руб. Экономия \(172\) руб. Нагрев \(2\) м\(^3\) воды на \(60\) °C требует \(Q = 2 \cdot 1000 \cdot 4200 \cdot 60 = 5{,}04\cdot 10^6\) Дж \(= 140\) кВт\(\cdot\)ч. Электроэнергии понадобится \(520 + 140 = 660\) кВт\(\cdot\)ч, и счёт за неё \(\dfrac{660}{520}\cdot 2080 = 2640\) руб., то есть рост на \(560\) руб. Итого \(560 - 172 = 388\) руб. Во 2-м варианте: вода \(\dfrac{4{,}5}{2{,}5}\cdot 100 = 180\) руб. (экономия \(207\) руб.), электроэнергия \(620\) кВт\(\cdot\)ч и \(\dfrac{620}{480}\cdot 2040 = 2635\) руб. (рост \(595\) руб.), итого \(+388\) руб.

Сопротивление \(R = \rho\ell/S\) зависит от того, какая сторона зажата между пластинами. Исключите удельное сопротивление \(\rho\), рассматривая отношения сопротивлений.

\(V = 1125\) см\(^3\) (в обоих вариантах).

Пусть стороны бруска \(a \leqslant b \leqslant c\). При зажатии стороны \(a\), \(b\), \(c\) сопротивления равны \(R_a = \rho\dfrac{a}{bc}\), \(R_b = \rho\dfrac{b}{ac}\), \(R_c = \rho\dfrac{c}{ab}\), причём \(R_a < R_b < R_c\). Отношения \(\dfrac{R_b}{R_a} = \dfrac{b^2}{a^2}\), \(\dfrac{R_c}{R_a} = \dfrac{c^2}{a^2}\) не зависят от \(\rho\). В 1-м варианте \(R_a = 2\) Ом, \(R_b = 12\) Ом, \(R_c = 27\) Ом, \(a = 5\) см, и \[V = abc = a^3\sqrt{\frac{R_b}{R_a}}\sqrt{\frac{R_c}{R_a}} = 125\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{13{,}5} = 1125~\text{см}^3.\] Во 2-м варианте (наибольшая сторона \(c = 15\) см) \(V = c^3\sqrt{\dfrac{R_a}{R_c}}\sqrt{\dfrac{R_b}{R_c}} = 1125\) см\(^3\).

Сила натяжения пропорциональна объёму тела и его перемещению, если тело не переворачивалось. Геометрическая связь: длина нити одинакова в обоих опытах.

\(T = 12\) Н (в обоих вариантах).

Для тела, которое не переворачивалось, при перемещении на \(\Delta h\) изменение силы Архимеда для его малых частей, у которых плотность растёт линейно с глубиной, даёт натяжение, пропорциональное объёму тела и перемещению: \(T \sim \alpha\,\Delta h\,V g\). Пусть \(x_1\), \(y_1\) — перемещения тел в первом опыте, \(x_2\), \(y_2\) — во втором (при перевёрнутом нижнем теле). Длина нити одинакова в обоих опытах, поэтому \(x_1 + y_1 = x_2 + y_2\). Из этого и соотношений для натяжений (1-й вариант: объём верхнего тела \(V\), нижнего \(2V\)) получаем \[T_2 = \frac{2}{3}\cdot\frac{x_1 + y_1}{x_1}\,T_1 = \frac{2}{3}\cdot\frac{18}{10}\cdot 10~\text{Н} = 12~\text{Н}.\] Во 2-м варианте \(T_2 = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x_1 + y_1}{x_1}\,T_1 = \dfrac{1}{3}\cdot 4\cdot 9~\text{Н} = 12~\text{Н}\).

Масса и площадь листа не меняются, поэтому \(\rho h = \rho_0 h_0\). Сумма толщин листов в стопке — это интеграл по давлению, и его можно найти как площадь под графиком.

\(N = 135\) листов (в обоих вариантах).

Масса и площадь листа не меняются при сжатии, поэтому \(\rho h = \rho_0 h_0\), где \(\rho_0 = 2\) г/см\(^3\) и \(h_0 = 1\) см (во 2-м варианте \(\rho_0 = 1\) г/см\(^3\)). Верхний лист ничем не сжат; второй лист сжат весом первого, \(\Delta p = \rho_0 h_0 g = 200\) Па (во 2-м варианте \(100\) Па), третий — \(2\Delta p\) и т. д. Высота стопки \(H = \sum_{n=0}^{N-1} h(n\,\Delta p)\). Так как \(\Delta p\) мало, умножим на \(\Delta p\): \(H\,\Delta p = \sum h(n\,\Delta p)\,\Delta p\), то есть \(H\Delta p\) равно площади под графиком \(h(p)\) от \(0\) до \(p_N\). В 1-м варианте \(H\Delta p = 200\) Па\(\cdot\)м \(= 20\) кПа\(\cdot\)см; эта площадь достигается при \(p_N \approx 27\) кПа, и \(N = \dfrac{27\text{ кПа}}{200\text{ Па}} = 135\). Во 2-м варианте \(H\Delta p = 10\) кПа\(\cdot\)см, \(p_N = 13{,}5\) кПа и \(N = \dfrac{13{,}5\text{ кПа}}{100\text{ Па}} = 135\).

Свет дважды преломляется на стенках кюветы. В параксиальном приближении углы малы, и связь \(a\) и \(b\) получается из закона преломления и теоремы синусов.

\(n \approx 1{,}47\) (по официальному решению).

В параксиальном приближении закон преломления на обеих поверхностях кюветы и теорема синусов дают связь расстояний \(a\) и \(b\) от центра кюветы до источника и изображения. По экспериментальной зависимости \(b(a)\) находится показатель преломления раствора \(n \approx 1{,}47\). Фокусное расстояние \(F\) отсчитывается от заднего края линзы и определяется по той же формуле, а также прямым измерением.

Участок между щупами и остальная часть кольца включены параллельно. Запишите сопротивление как функцию \(x\) и постройте график \(R/x\) от \(x\).

По критериям: удельное сопротивление \(\rho \approx 4\) Ом\(\cdot\)мм\(^2\)/м (допустимо \(4\pm 1\)), полная длина \(l\) — в пределах \(50\)–\(70\) см.

Участок длиной \(x\) и дополнительная часть \(l - x\) включены параллельно, поэтому \[R(x) = \frac{\rho}{S}\cdot\frac{x(l-x)}{l}, \qquad \frac{R(x)}{x} = \frac{\rho}{S} - \frac{\rho}{S\,l}\,x .\] График \(R/x\) от \(x\) линеен: отрезок на оси ординат даёт \(\rho/S\), а наклон равен \(-\rho/(S\,l)\), откуда \(l\) находится как отношение отрезка к модулю наклона. Площадь сечения \(S\) — по диаметру проволоки \(0{,}1\) мм, отсюда \(\rho\).