Санкт-Петербургская, 2024/25, отборочный этап, 7 класс

Сначала найдите, какую площадь трактор вспахивает за один час, и сколько часов нужно на всё поле. Затем переведите объём керосина в килограммы. Все величины удобно перевести в систему СИ.

\(m \approx 56{,}5\) т керосина.

За \(1\) ч трактор вспахивает прямоугольник длиной \(2\) мили и шириной \(30\) дюймов, то есть \(3200\) м на \(76{,}2\) см. Его площадь примерно равна \(2440\) м\(^2\), или \(0{,}244\) Га. Тогда для вспашки всего поля нужно \(650/0{,}244 \approx 2670\) ч работы трактора. За \(12\) ч трактор расходует \(318\) л керосина, то есть \(26{,}5\) л в час. За \(2670\) ч получаем примерно \(70700\) л, или \(70{,}7\) м\(^3\). Умножив объём на плотность, находим массу \(\approx 56{,}5\) т керосина.

Как меняется площадь поверхности тела при увеличении всех его линейных размеров в \(k\) раз?

\(36\) л.

Площадь поверхности пропорциональна квадрату линейного размера, поэтому площадь дома в \(6^2 = 36\) раз больше площади будки. Значит, для покраски дома в \(2\) слоя потребуется в \(2 \cdot 36\) раз больше краски, чем для покраски будки в \(1\) слой. Итого для дома потребуется \(36\) л краски.

Средняя скорость с начала поездки равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Запишите это условие дважды, для двух моментов времени, и выразите пути через скорости и времена.

\(135\) км.

Обозначим \(S_1 = 10\) км, тогда время по городу \(t_1 = S_1/v_1 = 1/4\) ч. Путь по магистрали \(S_2 = v_2 t_2\). Средняя скорость в момент съезда с магистрали \(u_1 = (S_1 + S_2)/(t_1 + t_2)\). Отсюда \(S_1 + S_2 = v_1 t_1 + v_2 t_2 = u_1 (t_1 + t_2)\), и время движения по магистрали \[t_2 = \frac{u_1 - v_1}{v_2 - u_1}\, t_1 = 3t_1 = 45~\text{мин}.\] Путь по обычной дороге \(S_3 = v_3 t_3\). Средняя скорость в конце поездки \(u_2 = (S_1 + S_2 + S_3)/(t_1 + t_2 + t_3)\), откуда \[t_3 = \frac{v_1 + 3v_2 - 4u_2}{u_2 - v_3}\, t_1 = 2t_1 = 30~\text{мин}.\] Зная времена движения, находим расстояние от дома до дачи: \(v_1 t_1 + v_2 t_2 + v_3 t_3 = 135\) км.

Сравните, сколько времени уходит на первые \(4\) см подъёма уровня и на следующие \(4\) см. Что меняется в сечении сосуда, занятом кубиками, при переходе от одного участка к другому?

\(76\) с.

Первые \(4\) см (10 с) и вторые \(4\) см (18 с) отличаются тем, что на первых \(4\) см часть площади сечения сосуда занимает кубик со стороной \(4\) см. Тогда разница в \(8\) с связана с заполнением объёма, равного объёму кубика со стороной \(4\) см, то есть \(64\) см\(^3\). Отсюда скорость заливания воды составляет \(8\) см\(^3\)/с. При заливании воды выше \(8\) см площадь, занятая кубиками, уменьшается на \(8^2 - 6^2 = 28\) см\(^2\). Значит, на каждый сантиметр уровня воды будет тратиться на \(3{,}5\) с больше времени. Ещё на \(4\) см уровень поднимется через \(18 + 14 = 32\) с, а на \(6\) см — через \(48\) с. Суммарно кубик с ребром \(6\) см окажется целиком под водой через \(76\) с.

Сколько килограммов снега приходится на квадратный метр поверхности при таких осадках? Чему равна масса слоя снега, если плотность меняется с глубиной, и как эта масса связана с площадью под графиком?

\(90\) см.

За зиму на единицу площади поверхности Земли выпала масса снега, равная массе воды слоем \(210\) мм. То есть на каждый квадратный метр приходится \(210\) кг снега. Найдём массу снега в верхнем слое толщиной \(60\) см. Если плотность умножить на высоту слоя, получим массу, приходящуюся на единицу площади поверхности. Для плотности, зависящей от глубины, нужно посчитать площадь под графиком. Тогда масса \(60\) см снега равна \(120\) кг на \(1\) м\(^2\). Оставшиеся \(90\) кг снега имеют плотность \(300\) кг/м\(^3\) и занимают слой толщиной \(30\) см. Тогда суммарная толщина снежного покрова равна \(90\) см.