Санкт-Петербургская, 2024/25, отборочный этап, 8 класс

Масса проволоки растёт пропорционально размеру абажура, а масса ткани — пропорционально его площади. Запишите массу абажура как сумму двух слагаемых для двух размеров.

\(375\) г.

Масса абажура складывается из массы проволочного каркаса \(m_1\) и массы ткани \(m_2\): \(m_1 + m_2 = 75\) г. При увеличении размеров абажура масса проволоки растёт пропорционально размеру, а масса ткани — пропорционально площади, то есть квадрату размера. Для абажура размером \(20\) см получаем \(2m_1 + 4m_2 = 200\) г. Решая систему, находим \(m_1 = 50\) г, \(m_2 = 25\) г. Масса абажура размером \(30\) см равна \(3m_1 + 9m_2 = 375\) г.

Где должен находиться центр масс бревна, чтобы оно не падало? Какой наибольший кусок можно отпилить за один раз?

\(4\) распила.

Центр масс однородного бревна находится в его середине. Чтобы бревно оставалось в равновесии, центр масс должен находиться между опорами козел. Поэтому за один раз можно отпилить кусок бревна не длиннее удвоенного расстояния между опорами: \(2 \cdot 0{,}8 = 1{,}6\) м. Значит, бревно минимально нужно распилить на \(5\) частей, для чего придётся сделать \(4\) распила.

Докажем, что \(4\) распилов достаточно. Первым распилом смещаем центр масс к одной из опор, отпиливая кусок длиной \(80\) см. Дальше можно пилить так, чтобы центр масс смещался к другой опоре, отпиливая куски по \(1{,}6\) м. После \(4\) распилов остаётся кусок бревна длиной не более \(1{,}4\) м.

Найдите жёсткость пружины по растяжению груза в воздухе. Затем найдите силу, с которой груз и масло давят на большой поршень, и выразите высоту столба воды через давление.

\(16\) см.

Жёсткость пружины найдём из растяжения груза в воздухе: \(m_г g = k\Delta l_2\), где \(\Delta l_2 = 5\) см, откуда \(k = 2000\) Н/м. Объём груза \(V_г = m_г/\rho_г = 0{,}005\) м\(^3\). На груз, погружённый в масло, действуют сила реакции опоры \(N\), сила Архимеда \(\rho_м g V_г\), сила упругости \(k\Delta l_1\) (с \(\Delta l_1 = 2\) см) и сила тяжести: \[N = m_г g - k\Delta l_1 - \rho_м g V_г = 100~\text{Н}\,(1 - 0{,}4 - 0{,}4) = 20~\text{Н}.\] Сила, с которой груз и масло давят на большой поршень: \[P_1 = N + \rho_м g (V_м + V_г) = 20~\text{Н} + 800\cdot 10\cdot(0{,}006 + 0{,}005)~\text{Н} = 108~\text{Н}.\] Так как вода несжимаема, \(S_1 h_1 = S_2 h_2\), где \(h_1\) и \(h_2\) — смещения поршней. Отсюда \(h_2 = 4h_1 = 4h\), а разность уровней поршней \(H = h_1 + h_2 = 5h\). Давление на большой поршень уравновешивает столб воды высотой \(H\): \(\rho_в g \cdot 5h = P_1/S_1\), где \(S_1 = 4S_2 = 540\) см\(^2\). Отсюда \[h = \frac{P_1}{\rho_в g \cdot 5 S_1} = \frac{108}{1000 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0{,}054}~\text{м} = 0{,}04~\text{м} = 4~\text{см}.\] Малый поршень поднимется на \(h_2 = 4h = 16\) см.

Освещённое пятно движется по трассе со скоростью \(L/t_1\). Относительно автомобиля пятно за время \(t_2\) проходит полный круг длиной \(L\). Рассмотрите, как направлены скорости пятна и автомобиля, и запишите соответствующие уравнения.

\(v = 90\) км/ч (если след луча обгоняет автомобиль) или \(v = 450\) км/ч (если автомобиль обгоняет след луча); случай встречного движения невозможен.

Пусть скорость автомобиля \(v\), а освещённое пятно движется вдоль трассы со скоростью \(u = L/t_1\). Относительная скорость пятна и автомобиля может равняться одному из выражений: \(u + v\) (движутся навстречу), \(u - v\) (след обгоняет автомобиль) или \(v - u\) (автомобиль обгоняет след). За время \(t_2\) пятно относительно автомобиля проходит полный круг длиной \(L\), поэтому \(v_{\text{отн}} = L/t_2\). Получаем три уравнения: \[\frac{L}{t_2} = \frac{L}{t_1} + v, \qquad \frac{L}{t_2} = \frac{L}{t_1} - v, \qquad \frac{L}{t_2} = v - \frac{L}{t_1}.\] Первое уравнение даёт отрицательную скорость, поэтому эта ситуация невозможна. Второе даёт \(v = 1{,}5\) км/мин \(= 90\) км/ч, третье — \(v = 7{,}5\) км/мин \(= 450\) км/ч.

Какое количество теплоты отдаёт вода при остывании и сколько льда при этом тает? Объём лунки равен объёму воды в стакане, а объём растаявшего льда связан с пористостью снега.

\(\varepsilon = 0{,}3\).

Запишем уравнение теплового баланса: \(c_в m_в (t - t_0) = \lambda m_л\), где \(m_в\) — масса воды в стакане, \(m_л\) — масса растаявшего льда. Так как толщиной стенок стакана можно пренебречь, объём воды в стакане равен объёму лунки \(V\): \(c_в \rho_в V (t - t_0) = \lambda \rho_л V_л\), где \(V_л\) — объём растаявшего льда. Пористость снега равна \[\varepsilon = \frac{V - V_л}{V} = 1 - \frac{V_л}{V}.\] Подставив \(V_л/V = c_в \rho_в (t - t_0)/(\lambda \rho_л)\), получим \[\varepsilon = 1 - \frac{4200 \cdot 1 \cdot 51}{340\,000 \cdot 0{,}9} = 1 - 0{,}7 = 0{,}3.\]