Санкт-Петербургская, 2024/25, заключительный этап, 11 класс

Выпишите баланс сил (трение равно половине натяжения нити, так как нить перекинута через блоки) и правило моментов. Потребуйте, чтобы точка приложения реакции стола лежала на горизонтальной стороне уголка.

\(T \le \dfrac{4mg}{3}\), при этом \(\mu \ge 0{,}4\). Если натянуть пружину сильнее, а коэффициент трения достаточно большой, проскальзывания не будет, но уголок перевернётся вокруг прямого угла по часовой стрелке.

Сила натяжения пружины \(T\) вдвое больше силы натяжения нити (это следует из равновесия подвижного блока). Силы трения \(F_{\text{тр}}\) и реакции стола \(N\) приложены к горизонтальной стороне уголка на расстоянии \(x_0\) от прямого угла \(O\). Баланс сил: \[F_{\text{тр}} = \frac{T}{2}, \qquad T + N = 3mg .\] Правило моментов относительно \(O\) (горизонтальная сторона длиной \(d\)): \[Td + Nx_0 = mg\,d + \frac{T}{4}\,d , \qquad x_0 = \frac{(4mg - 3T)\,d}{4N}.\] Условия равновесия: проскальзывания нет, \(\dfrac{T}{2} \le \mu N\), т.е. \(\mu \ge \dfrac{T}{2(3mg-T)}\); уголок не отрывается, \(N>0\), т.е. \(T<3mg\); точка приложения лежит на стороне, \(0 \le x_0 \le d\), что даёт \(T \le \dfrac{4mg}{3}\) (самое жёсткое условие). При \(T = \dfrac{4mg}{3}\) получаем \(\mu \ge \dfrac{4mg/3}{2\cdot 5mg/3} = 0{,}4\).

Если натянуть пружину сильнее, то \(x_0 < 0\): суммарный момент сил поворачивает уголок по часовой стрелке, и он опрокидывается вокруг прямого угла \(O\), даже если проскальзывания нет.

Теплоёмкость \(C = \delta Q/dT\) бесконечна там, где газ идёт изотермически. Выразите \(C\) через \(d\ln V/d\ln T\): при постоянном давлении \(C = \frac{5}{2}\nu R\).

Теплоёмкость максимальна (равна \(+\infty\)) в точке A — там газ получает тепло изотермически. Давление минимально в точке B и максимально в точке B\('\). На дуге CC\('\) газ получает теплоту, на дуге C\('\)C — отдаёт.

По первому началу \(\delta Q = dU + \delta A\), \(dU = \frac{3}{2}\nu R\,dT\), \(\delta A = P\,dV\). Используя \(PV = \nu RT\), получаем \[C = \frac{\delta Q}{dT} = \frac{3}{2}\nu R + \nu R\,\frac{d\ln V}{d\ln T}.\] Теплоёмкость бесконечна там, где \(dT = 0\) — в точках экстремума температуры, т.е. в окрестностях точек максимума и минимума \(\ln T\) на окружности; максимальна она в точке A, где \(V\) растёт и газ получает тепло, и \(C\to+\infty\). В точке A′ газ отдаёт тепло, и \(C\to-\infty\).

Давление экстремально там, где \(d\ln V/d\ln T = 1\) и теплоёмкость равна \(C_p = \frac{5}{2}\nu R\) (точки B и B\('\)).

Теплоёмкость равна нулю там, где \(\dfrac{d\ln V}{d\ln T} = -\dfrac{3}{2}\) (адиабатический участок): точки C и C\('\). На дуге CC\('\) газ получает тепло, на дуге C\('\)C — отдаёт.

Разложите поле каждого куска на вертикальную и горизонтальную составляющие и используйте симметрию расположения кусков.

Если Крош сначала съел кусок с зарядом \(2Q\), то \(E_3 = \dfrac{\sqrt{E_1^2 - 3E_2^2}}{2}\). Если сначала съел кусок с зарядом \(Q\), то \(E_3 = \sqrt{\dfrac{3E_2^2 - E_1^2}{11}}\).

Для одного куска с зарядом \(Q\) в точке наблюдения обозначим вертикальную составляющую напряжённости \(E_в\), горизонтальную — \(E_г\); у куска \(2Q\) — \(2E_в\) и \(2E_г\). Для целой пиццы вертикальные компоненты складываются в \(4E_в\), горизонтальные от кусков \(Q\) компенсируют друг друга, остаётся \(2E_г\): \[\vec E_1 = 4\vec E_в + 2\vec E_г, \qquad E_1^2 = 16E_в^2 + 4E_г^2 .\] Возможны два случая.

1) Съеден кусок \(2Q\). Остаётся вертикальная компонента \(2E_в\), горизонтальные компенсируются: \(E_2 = 2E_в\). Тогда \(E_в^2 = E_2^2/4\), \(E_г^2 = (E_1^2 - 4E_2^2)/4\), и при съедении соседнего куска \(Q\) остаётся \[E_3 = \sqrt{E_в^2 + E_г^2} = \frac{\sqrt{E_1^2 - 3E_2^2}}{2}.\]

2) Съеден кусок \(Q\). Вертикальные компоненты дают \(3E_в\), горизонтальные от кусков \(2Q\) и \(Q\) взаимно перпендикулярны и дают \(\sqrt{5}\,E_г\): \(E_2^2 = 9E_в^2 + 5E_г^2\). Из системы \(E_1^2 = 16E_в^2 + 4E_г^2\), \(E_2^2 = 9E_в^2 + 5E_г^2\) находим \(E_в^2 = \dfrac{5E_1^2}{44} - \dfrac{E_2^2}{11}\), \(E_г^2 = \dfrac{4E_2^2}{11} - \dfrac{9E_1^2}{44}\). Съедение соседнего куска \(2Q\) оставляет \[E_3 = \sqrt{E_в^2 + E_г^2} = \sqrt{\frac{3E_2^2 - E_1^2}{11}} .\]

Формула тонкой линзы \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}\) с учётом знака \(f\) (для мнимого изображения \(f<0\)). Наклон уменьшает расстояние от источника до плоскости линзы в \(\cos\theta\) раз.

\(\theta_1 = \arccos\dfrac{54}{55} \approx 11^\circ\) (мнимое изображение); \(\theta_2 = \arccos\dfrac{9}{11} \approx 35^\circ\) (действительное изображение).

Пусть \(d\) — расстояние от источника до плоскости линзы, \(f\) — до изображения (для мнимого изображения \(f<0\)). Формула тонкой линзы: \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}\).

1) Мнимое изображение, \(f = -11F\): \(d = \dfrac{11}{12}F\) (\(d<F\), согласовано с мнимым изображением). После поворота \(d' = d\cos\theta_1 < F\), поэтому изображение остаётся мнимым, \(f' = -9F\), и \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d'} - \dfrac{1}{9F}\), откуда \(d' = \dfrac{9}{10}F\). Тогда \(\cos\theta_1 = \dfrac{d'}{d} = \dfrac{54}{55}\).

2) Действительное изображение, \(f = +11F\): \(d = \dfrac{11}{10}F\) (\(d > F\)). После поворота возможны два случая. Если изображение осталось действительным, \(f' = +9F\), то \(d' = \dfrac{9}{8}F > d\), что невозможно, так как при повороте \(d'\) может только уменьшиться. Значит, изображение стало мнимым: \(f' = -9F\), \(d' = \dfrac{9}{10}F\) и \(\cos\theta_2 = \dfrac{d'}{d} = \dfrac{9}{11}\).

Второй закон Ньютона для перемычки и закон Кирхгофа для цепи с конденсатором: сравните выражения для \(dV\) и \(dQ\).

\(V_{\text{уст}} = \dfrac{V_0\, m}{m + B^2 L^2 C}\).

При движении перемычки со скоростью \(V\) возникает ЭДС \(\mathcal{E} = BLV\), по перемычке течёт ток \(I\), на неё действует сила Ампера \(F = IBL\), тормозящая движение: \[m\frac{dV}{dt} = -IBL = -BL\frac{dQ}{dt}.\] Отсюда \(V(t) = V_0 - \dfrac{BL}{m}\,Q(t)\), так как при \(t = 0\) заряд \(Q = 0\).

Закон Кирхгофа: \(BLV = \dfrac{Q}{C} + IR\). Подставляем \(V(t)\) и переходим к установившемуся режиму, когда ток \(I = 0\) и заряд конденсатора \(Q_к\) постоянен: \[BL\left(V_0 - \frac{BL}{m}Q_к\right) = \frac{Q_к}{C} \quad\Rightarrow\quad Q_к = \frac{BLV_0}{\dfrac{B^2L^2}{m} + \dfrac{1}{C}} .\] Установившаяся скорость \[V_{\text{к}} = V_0 - \frac{BL}{m}Q_к = \frac{V_0\, m}{m + B^2L^2C}.\]

Период малых колебаний стрелки: \(T = 2\pi\sqrt{I_0/(p_m B)}\), а поле диполя на расстоянии \(r\) пропорционально \(r^{-3}\). Прологарифмируйте зависимость \(T(r)\).

Параллельная ориентация: \(T \propto r^{C}\) с \(C \approx 1{,}2\) (аппроксимация \(\ln T\) от \(\ln r\) даёт \(A \approx -2{,}26\)). Перпендикулярная: \(C \approx 1\), \(A \approx -2{,}20\).

Момент инерции стрелки \(I_0\) найден с учётом её формы ромба. Колебания стрелки в поле диполя описываются уравнением \(I_0\ddot\varphi = -p_m B \sin\varphi\); для малых колебаний период \[T = 2\pi\sqrt{\frac{I_0}{p_m B}}, \qquad B \propto \frac{p_{m0}}{r^3}.\] Отсюда \(T \propto r^{3/2}\) в обоих случаях (по теории). Экспериментально получается \(C \approx 1{,}2\) (параллельно) и \(C \approx 1\) (перпендикулярно); расхождение объясняется полем Земли и неоднородностью поля диполя в пределах стрелки.

Скорость струи найдите по времени истечения известного объёма жидкости; силу — по показаниям весов, умноженным на \(g\).

Эксперимент подтверждает \(k = 1\), то есть \(F = \rho S v^2\). Формула Торричелли и уравнение Бернулли здесь неприменимы: удар струи о стенку не является абсолютно упругим, а второй закон Ньютона в форме \(\dfrac{d(mv)}{dt}\) с переменной массой некорректен.

Эксперимент. Шприц с трубкой и стакан с крышкой закрепляем так, чтобы струя била в вертикальную поверхность, стакан приклеен к весам двусторонним скотчем. Скорость струи определяем по времени истечения выбранного объёма жидкости; формулу Торричелли здесь нельзя использовать из-за заметного трения в трубке. Силу давления определяем как показания весов, умноженные на \(g\). Результаты (с погрешностью) сравниваем с \(F = \rho S v^2\) и с другими формулами; эксперимент подтверждает \(k = 1\).

Объяснение. Вывод через второй закон Ньютона в форме \(\dfrac{d(mv)}{dt}\) с переменной массой некорректен: слагаемое \(v\,\dfrac{dm}{dt}\) не инвариантно при переходе в другую инерциальную систему. Корректный вывод — для элемента жидкости постоянной массы. Уравнение Бернулли для удара струи также неприменимо, поскольку удар не упругий.