Санкт-Петербургская, 2024/25, заключительный этап, 8 класс

Сравните, как меняется уровень воды при заливании равных объёмов: изломы графика соответствуют границам кубиков, а по приросту свободной площади сосуда видно, какого размера кубик стоит на данной высоте.

Два кубика с ребром \(5\) см стоят на дне рядом; на одном из них стоит кубик с ребром \(5\) см; сверху на них — кубик с ребром \(8\) см.

Изломы графика на высотах \(5\), \(10\) и \(18\) см — границы кубиков. Свободная площадь сосуда \(S_{\text{св}} = \Delta V / \Delta h\): на участке от \(0\) до \(5\) см она равна \(250/5 = 50\) см\(^2\), на участке от \(5\) до \(10\) см — \(375/5 = 75\) см\(^2\), на участке от \(10\) до \(18\) см — \(288/8 = 36\) см\(^2\). Площадь сосуда \(100\) см\(^2\) (по свободной площади на нижнем участке и занятым основаниям кубиков). Тогда на высоте до \(5\) см занято \(50\) см\(^2\) — два кубика с ребром \(5\) см рядом; от \(5\) до \(10\) см занято \(25\) см\(^2\) — один кубик с ребром \(5\) см на одном из нижних; от \(10\) до \(18\) см занято \(64\) см\(^2\) — кубик с ребром \(8\) см, его верхняя граница приходится на высоту \(18\) см.

Муравью выгодно перейти на вторую шестерёнку в точке касания. Сравните время поворота шестерёнки на четверть оборота с путём, который должен проползти муравей по хорде.

\(u = \dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}\,v \approx 0{,}9\,v\).

Муравей должен перейти с одной шестерёнки на другую в точке их соприкосновения \(C\). Если за всё время движения муравья от \(A\) до \(B\) шестерёнки повернулись на полоборота, то в точке касания муравей оказывается, когда прошла половина этого времени, а шестерёнки повернулись на четверть оборота. Значит, за это время край шестерёнки проходит дугу \(\pi R/2\) со скоростью \(v\), и время равно \(t = \pi R/(2v)\). За это же время муравей проползает путь по хорде \(AC = \sqrt{2}\,R\). Отсюда скорость муравья \(u = \sqrt{2}\,R / t = \dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}\,v\).

Первые \(10\) минут уровень падает только из-за испарения. Дальше уровень падает и за счёт испарения, и за счёт кристаллизации; их вклады различаются по величине изменения уровня, а связаны теплотой фазовых переходов.

1) \(\rho_{\text{г}} \approx 0{,}36\) кг/м\(^3\);  2) \(\rho_{\text{тв}} \approx 1026\) кг/м\(^3\).

За первые \(10\) минут уровень упал на \(\Delta h_1 = 125\) мм за счёт испарения. Масса испарившегося азота \(m = \rho\,\Delta h_1 S\) равна массе газа, откачанного за \(600\) с: \(\rho_{\text{г}} = \dfrac{\rho\,\Delta h_1 S}{600\,V} = \dfrac{868 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}02}{600 \cdot 0{,}01} \approx 0{,}36\) кг/м\(^3\).

Между \(10\)-й и \(20\)-й минутой уровень упал ещё на \(\Delta h_2 = 148\) мм за счёт кристаллизации (всего \(273\) мм, из них \(125\) мм — испарение). Теплота испарения \(Lm\) идёт на кристаллизацию: \(\lambda\,\Delta M = Lm\), откуда \(\Delta M = \rho\,\Delta h_1 S\,L/\lambda\). Объём жидкости, ушедшей при кристаллизации, равен \(\Delta M/\rho\), а объём образовавшегося твёрдого азота \(\Delta M/\rho_{\text{тв}}\); их разность даёт падение уровня: \(\dfrac{\Delta M}{\rho} - \dfrac{\Delta M}{\rho_{\text{тв}}} = \Delta h_2 S\). Отсюда \(\rho_{\text{тв}} = \dfrac{\rho\,\Delta h_1 L/\lambda}{\Delta h_1 L/\lambda - \Delta h_2} \approx 1026\) кг/м\(^3\).

Булавка пробивает \(8\) слоёв — значит, на её пути \(8\) квадратиков одного размера. Из этого найдите размер маленького квадратика, а затем подсчитайте, сколько модулей в модели.

1) \(a \approx 28{,}6\) см;  2) \(m \approx 686\) г.

Если фигура в каждом месте состоит из \(8\) слоёв бумаги, то площадь одного самого маленького квадратика в \(8\) раз меньше площади листочка \(9 \times 9\) см, а его сторона в \(\sqrt{8}\) раз меньше. Сторона большого куба в \(9\) раз больше стороны маленького квадратика: \(a = 9 \cdot \dfrac{9}{\sqrt{8}} \approx 28{,}6\) см.

Чтобы найти массу, посчитаем число модулей. На каждом шаге куб уменьшается в \(3\) раза по всем направлениям, и из \(20\) таких кубов собирается фигура следующего шага. В фигуре первого шага впереди видно \(8\) квадратов передней грани и ещё \(4\) квадрата на заднем ряду кубиков; во втором шаге по аналогии \(8 + 4\) квадрата, каждый из которых содержит \(8\) мелких квадратиков. Всего на видимых гранях \(12 \cdot 8 + 20 \cdot 4 = 176\) квадратиков, которые смотрят вперёд; с учётом симметрии (умножение на \(6\)) получаем \(176 \cdot 6 = 1056\) модулей. Площадь \(1056\) листочков \(9 \times 9\) см составляет около \(8{,}55\) м\(^2\), и масса при плотности \(80\) г/м\(^2\) равна \(\approx 686\) г (по официальному решению).

Рассмотрите положение кота у самого края доски: доска вот-вот начнёт поворачиваться вокруг ребра ящика. Выразите допустимое положение кота через положение центра масс доски.

\(L = a\,\dfrac{M+m}{m}\).

Пусть кот дошёл по доске максимально далеко вправо. Тогда доска вот-вот начнёт поворачиваться вокруг правого края ящика, и этот край — точка опоры. Если центр масс доски находится на расстоянии \(x\) от правого края ящика, то кот может находиться не дальше, чем на расстоянии \(xM/m\) от него (условие равенства моментов). Аналогично для движения влево: если центр масс на расстоянии \(a - x\) от левого края, кот проходит не больше \((a-x)M/m\) от него. Суммарно кот проходит по доске расстояние \(\dfrac{(a-x)M}{m} + a + \dfrac{xM}{m} = \dfrac{a(M+m)}{m}\), которое не зависит от положения доски. Этим путём он может пройти по всей доске только тогда, когда её длина в точности равна \(a(M+m)/m\); при большей длине доска окажется недостаточно опёртой, при меньшей кот сможет пройти по всей доске и при сдвиге.

Когда тело хорошо прогрелось, мощность нагревателя равна мощности теплопотерь, которые пропорциональны площади, а тепловая ёмкость — объёму. Сравните скорости остывания шаров.

1) \(T \approx 48\) °C;  2) \(t_{28} \approx 750\) с;  3) \(T \approx 22{,}3\) °C.

В установившемся режиме мощность нагревателя равна потерям: \(P = \alpha R^2 (T - T_0)\). Нагреватели одинаковые, поэтому \(\alpha R_1^2 (T_1 - T_0) = \alpha R_2^2 (T_2 - T_0)\) при \(R_2 = 1{,}5\,R_1\). По графику \(T_1 \approx 83\) °C, откуда \(T_2 - 20 = \dfrac{63}{2{,}25} = 28\), то есть \(T_2 = 48\) °C.

Масса шара пропорциональна кубу радиуса, потери — квадрату, поэтому большой шар остывает в \(1{,}5\) раза медленнее. По графику маленький шар остывает от \(48\) °C до \(28\) °C примерно за \(500\) с, значит \(t_{28} = 1{,}5 \cdot 500 = 750\) с.

Из уравнения теплового баланса скорость изменения разности температур пропорциональна самой разности. За время \(t_{28}\) разность температур большого шара уменьшается с \(28\) до \(8\) °C, то есть в \(8/28\) раза. За следующий такой же промежуток она уменьшается ещё в \(8/28\) раза, и при \(2t_{28}\) разность равна \(28 \cdot (8/28)^2 \approx 2{,}3\) °C. Итак, \(T \approx 20 + 2{,}3 \approx 22{,}3\) °C.

Давления в точках одного уровня внутри воды равны. Стержень фиксирует связь смещений поршней \(S\) и \(3S\), а объём воды при сдвиге поршней сохраняется.

1) поршень \(3S\) поднимется на \(l/3\), поршень \(5S\) опустится на \(l/6\);  2) поршень \(5S\) опускается со скоростью \(v/3\).

Если бы не жёсткая связь между поршнями, вода из трубки вылилась бы в нижний сосуд. Значит, стержень мешает поршню площадью \(S\) подниматься, и он растянут. Давления на концах трубки связаны гидростатикой: \(p_3 - p_1 = \rho g l\), откуда сила в стержне \(F = \dfrac{3}{2}\rho g l S\), и давление под поршнем \(3S\) равно \(p_0 - \rho g l/2\). Поэтому поршень \(5S\) находится на \(l/2\) ниже поршня \(3S\) в положении равновесия.

Пусть поршень \(3S\) поднялся на \(x\), тогда из правого сосуда в трубку перетекает объём \(3Sx\), а поршень \(S\) поднимается на \(x\), так что объём воды в левом сосуде уменьшился на \(2Sx\). В левом сосуде эффективная площадь сечения поршня \(5S\) равна \(4S\) (трубка остаётся в поршне), поэтому он опускается на \(x/2\). Разность уровней поршней \(3x/2 = l/2\), откуда \(x = l/3\): поршень \(3S\) поднялся на \(l/3\), поршень \(5S\) опустился на \(l/6\).

При доливании воды уровень над поршнем \(5S\) растёт на \(h\), и давление под ним становится \(p_0 + \rho g h\). Разность уровней поршней становится \(l/2 + h\); поршень \(3S\) поднимается на \(2/3\) этой величины, а поршень \(5S\) опускается на \(l/6 + h/3\). Скорость поршня \(5S\) равна \(v/3\).

В обратном включении диоды закрыты, и ящик ведёт себя как последовательная цепочка резисторов. В прямом включении при большом напряжении оба диода открыты и на каждом падает \(U_0\).

\(R_1 = R_2 \approx 5{,}2\) кОм, \(R_3 \approx 17{,}6\) кОм, \(U_0 \approx 0{,}45\) В.

Снимаем ВАХ ящика в обратном и прямом включении. В обратном включении диоды закрыты, и сопротивление ящика равно сумме сопротивлений: \(R_1 + R_2 + R_3 \approx 28\) кОм (обратный наклон прямой). В прямом включении участок ВАХ при больших напряжениях \(U_v\) линеен; через ящик течёт ток \(I_a = \left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}\right)U_v - \left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{2}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}\right)U_0\). Угловой коэффициент даёт сумму обратных сопротивлений \(\approx 0{,}44\) мСм. Вместе с \(R_1 = R_2\) получаем \(R_1 = R_2 \approx 5{,}2\) кОм, \(R_3 \approx 17{,}6\) кОм. Напряжение открытия находим по пересечению линейного участка с осью напряжений: \(U_0 \approx 0{,}45\) В.

Вес погружённой трубочки равен весу вытесненной воды. Излом графика зависимости показаний весов от глубины погружения даёт границы цилиндров, а наклон участков — площади сечений.

Два цилиндра; высоты \(H_1 \approx 3{,}4\) см и \(H_2 \approx 1{,}9\) см; радиус цилиндров \(R \approx 0{,}8\) см; толщина стенок \(d \approx 0{,}17\) см (\(1{,}7\) мм).

Трубочку подвешивают на нити к весам и погружают в воду на глубину \(h\). Сила Архимеда равна весу вытесненной воды, поэтому показания весов растут на \(m = \rho\,(V_0 + Sh)\), где \(V_0\) — объём изначально погружённой части, \(S\) — площадь сечения трубочки. Наклон зависимости \(m(h)\) на линейном участке равен \(k = \rho S\).

По графику видно пять линейных участков; второй и четвёртый соответствуют области с цилиндрами, так как имеют наибольший наклон. По пересечению прямых находим границы цилиндров: \(H_1 \approx 3{,}4\) см, \(H_2 \approx 1{,}9\) см. Площадь сечения трубочки без цилиндров \(S_3 = k_3/\rho \approx 2{,}1\) см\(^2\), на участках с цилиндрами суммарная площадь \(S_2 = k_2/\rho \approx 3{,}9\) см\(^2\). Площадь сечения одного цилиндра \(\approx 1{,}8\) см\(^2\), откуда \(R = \sqrt{1{,}8/\pi} \approx 0{,}8\) см. Для толщины стенок: площадь кольца сечения трубочки \(S_1 = d\,l\), где \(l \approx 12{,}5\) см — длина окружности трубочки, измеренная намоткой нити на миллиметровку. Отсюда \(d = S_3/l \approx 0{,}17\) см.