Санкт-Петербургская, 2024/25, заключительный этап, 9 класс

Для встречи до моста нужно, чтобы лодка Евгения успела пересечь реку относительно берега за время, пока Прасковья доплывает до моста; учтите снос течением. В системе лодки Евгения конфеты летят как брошенное под углом тело, поэтому высоту полёта находите по вертикальной составляющей скорости в этой системе.

1) \(v_{\min} = \left(1 + \dfrac{d}{L}\right)u \approx 1{,}28\) м/с;  2) \(h_{\max} \approx 4{,}6\) м.

Минимальная скорость лодок, при которой герои встречаются до моста, определяется условием, что время встречи меньше времени, за которое Прасковья пересекает реку и доплывает до Благовещенского моста с учётом течения: \(v_{\min} = \left(1 + \dfrac{d}{L}\right)u \approx 1{,}28\) м/с.

При \(v = 3{,}0\) м/с в системе лодки Евгения конфеты брошены под углом \(\alpha = 45^\circ\) с начальной скоростью \(v'\), которая по официальному решению равна \(13{,}4\) м/с. Высота полёта определяется вертикальной составляющей: \(h_{\max} = \dfrac{v'^2 \sin^2\alpha}{2g} = \dfrac{v'^2}{4g} \approx 4{,}6\) м.

При упругом соударении равных гладких шайб скорости после удара взаимно перпендикулярны. Ищите минимум расстояния между центрами по тому, как распределяется начальная скорость между шайбами.

\(r_{\min} = \sqrt{2}\left(R + \dfrac{v^2}{4\mu g}\right) \approx 9\) м (точнее \(8{,}98\) м).

Для равных гладких шайб при упругом нецентральном ударе сохраняются импульс и энергия; скорости после удара \(v_1\) и \(v_2\) взаимно перпендикулярны, \(v^2 = v_1^2 + v_2^2\). Пути торможения \(L_1 = \dfrac{v_1^2}{2\mu g}\) и \(L_2 = \dfrac{v_2^2}{2\mu g}\), так что \(L_1 + L_2 = \dfrac{v^2}{2\mu g}\) — постоянная величина. Конечное расстояние между центрами \(r = \sqrt{L_1^2 + (L_2 + 2R)^2}\) минимально при \(L_2 = \dfrac{v^2}{4\mu g} - R\), и тогда \(r_{\min} = \sqrt{2}\left(R + \dfrac{v^2}{4\mu g}\right) = \sqrt{2}\left(0{,}1 + 6{,}25\right) \approx 8{,}98\) м.

Используйте симметрию пятиугольника: при подключении к \(a\) и \(c\) токи и потенциалы рёбер связаны. Для пары \(x\), \(y\) сложите сопротивления пластин последовательно и параллельно, учитывая толщину третьей пластины.

1) \(R_{ab} = \dfrac{2R\,(U_0 - U_1)}{U_0}\);  2) \(R_{xy} = \dfrac{R\,(4U_0 - 3U_1)}{U_0}\).

Ток через пластину при подключении \(U_0\) к \(a\) и \(c\) равен \(I = U_0/R\). Идеальный вольтметр показывает напряжение \(U_1\) между \(a\) и \(c\) при подключении. Из соотношений потенциалов по симметрии пластины разность потенциалов между \(a\) и \(b\) при том же токе равна \(2(U_0 - U_1)\), отсюда \(R_{ab} = \dfrac{2(U_0 - U_1)}{I} = \dfrac{2R\,(U_0 - U_1)}{U_0}\).

Для схемы из трёх пластин: сопротивление средней пластины \(R\) и сопротивления двух верхних пластин \(R_1\) и \(R_1/2\) (третья пластина — в два раза толще) складываются так, что \(R_{xy} = R + R_1 + \dfrac{R_1}{2} = R\,\dfrac{4U_0 - 3U_1}{U_0}\).

Луч, вошедший через \(AC\), отражается от каждого зеркала и снова выходит через \(AC\). Посчитайте интенсивность вышедших лучей как функцию точки входа и отдельно разберите, при каких \(I_0\) часть пучка не выходит совсем.

\(\eta = 0\) при \(I_0 < 2\beta\); \(\eta = \dfrac{(I_0 - 2\beta)^2}{4\beta I_0}\) при \(2\beta < I_0 < 2{,}5\beta\); \(\eta = \dfrac{1}{4} - \dfrac{9\beta}{16 I_0}\) при \(I_0 > 2{,}5\beta\).

Интенсивность вышедшего через \(AC\) луча, вошедшего в точке на расстоянии \(x\) от \(A\), зависит от пути внутри среды и двух отражений от зеркал, каждое из которых ослабляет луч вдвое. Для лучей, вошедших у \(A\) и у середины \(AC\), интенсивности вышедших лучей равны \(I(0) = \dfrac{1}{4}(I_0 - 2\beta)\) и \(I(a/2) = \dfrac{1}{4}(I_0 - 2{,}5\beta)\). Отсюда: при \(I_0 < 2\beta\) все лучи гаснут; при \(2\beta < I_0 < 2{,}5\beta\) часть лучей, вошедших вблизи \(A\), выходит, и суммарная энергия вычисляется интегрированием; при \(I_0 > 2{,}5\beta\) выходят лучи из всей апертуры.

Энергия, уходящая через \(AC\), отнесённая к энергии падающего света \(I_0 a\), даёт ответ в трёх случаях, перечисленных выше.

Сверхпроводник без тока отдаёт тепло только гелию и получает тепло от нагревателя. Запишите баланс мощностей для обоих тел в установившемся режиме и используйте график сопротивления нагревателя; сверхпроводник при температуре выше критической имеет сопротивление \(5\) кОм.

1) \(T_{\text{СП}} \approx -259{,}4\) °C;  2) \(T_{\text{СП}} \approx -255{,}8\) °C.

Для тела без тока баланс мощностей: \(\beta(T - T_{\text{СП}}) = \gamma(T_{\text{СП}} - T_0)\), откуда \(T_{\text{СП}} = \dfrac{\beta T + \gamma T_0}{\beta + \gamma}\). Для нагревателя \(I_0^2 R(T) = \alpha(T - T_0) + \beta(T - T_{\text{СП}})\). Подставив \(T_{\text{СП}}\), получаем \(R(T) = \dfrac{\alpha + \beta\gamma/(\beta+\gamma)}{I_0^2}(T - T_0)\) — прямую, которую пересекают точки графика.

Первый случай: по графику \(T \approx -257\) °C, отсюда \(T_{\text{СП}} \approx -259{,}4\) °C.

Второй случай: сверхпроводник тоже нагревается током \(I_0\) и имеет сопротивление \(R_{\text{СП}} = 5\) кОм выше критической температуры. Баланс сверхпроводника: \(\beta(T - T_{\text{СП}}) + I_0^2 R_{\text{СП}} = \gamma(T_{\text{СП}} - T_0)\), откуда \(T_{\text{СП}} = \dfrac{\beta T + \gamma T_0 + I_0^2 R_{\text{СП}}}{\beta+\gamma}\). Совместное решение с балансом нагревателя даёт \(T \approx -254\) °C и \(T_{\text{СП}} \approx -255{,}8\) °C.

Шарик отскакивает от ножки, которая в этот момент движется с некоторой скоростью. Ищите максимальные отклонения шарика после отскоков: они соответствуют моментам максимальной скорости ножки.

\(A = \dfrac{v_0}{\omega} = \dfrac{v_0}{2\pi\nu}\), где \(v_0 = \dfrac{x_{\max}}{2}\sqrt{\dfrac{g}{l}}\); \(x_{\max}\) — максимальное отклонение шарика, \(l\) — длина нити, \(\nu\) — частота камертона.

При отскоке лёгкого шарика от массивной ножки, движущейся со скоростью \(v\), скорость шарика в лабораторной системе становится равной \(2v\). При подъёме шарика на высоту \(\Delta h\) он отклоняется от вертикали на \(x\); из закона сохранения энергии \(mg\,\Delta h = 2mv^2\), откуда \(2v^2 = g\,\dfrac{x^2}{2l}\) и \(v = \dfrac{x}{2}\sqrt{\dfrac{g}{l}}\).

Так как момент удара случаен по фазе колебаний, для скорости ножки \(v_0\) берут максимальные отклонения шарика при отскоке (усреднение нескольких наибольших значений по многим опытам). Колебания ножки \(\xi = A\sin\omega t\) дают \(v = A\omega\cos\omega t\), поэтому \(A = \dfrac{v_0}{\omega} = \dfrac{v_0}{2\pi\nu}\).

Батарея видна при измерении напряжения вольтметром без нагрузки. Разный наклон ВАХ при разной полярности говорит о диоде; сопротивления находите по наклону участков ВАХ при больших напряжениях.

Батарея \(\mathcal{E} \approx 1{,}5\) В и диод \(D\) (выпрямительный, \(U_0 \approx 0{,}5\) В) в ветви параллельно с ветвью батареи и резистором \(R_3 \approx 150\) Ом; последовательно с входом — резистор \(R_4 \approx 220\) Ом.

Подключая чёрный ящик к мультиметру в режиме вольтметра, видим батарею с ЭДС \(\approx 1{,}5\) В. Вольт-амперная характеристика имеет разный угол наклона при положительном и отрицательном напряжении, значит, в цепи есть диод. Из возможных схем условию удовлетворяет только вторая: батарея с резистором \(R_3\) образует ветвь, параллельную диоду \(D\), а резистор \(R_4\) включён последовательно с входом.

Сопротивления находим по наклонам участков ВАХ: \(R_4 = \dfrac{\Delta U_+}{\Delta I_+} \approx 220\) Ом, \(R_3 + R_4 = \dfrac{\Delta U_-}{\Delta I_-} \approx 370\) Ом, откуда \(R_3 \approx 150\) Ом. Напряжение открытия диода \(U_0 \approx 0{,}5\) В определяется по току \(I_{\text{и}}\) в точке излома графика из соотношения \(\mathcal{E} - I_{\text{и}} R_3 = U_0\).