Санкт-Петербургская, 2025/26, отборочный этап, 7 класс

Сравните объёмы жемчужин разного диаметра и, считая плотность одинаковой, массы. Затем сравните, сколько жемчужин помещается на нитке одинаковой длины.

\(120\,000\) рублей.

Большая жемчужина диаметром \(10\) мм имеет объём в \(2^3 = 8\) раз больше, чем маленькая диаметром \(5\) мм. Плотность жемчужин разного размера одинакова, поэтому масса большой жемчужины в \(8\) раз больше массы маленькой. Кроме того, большая жемчужина стоит в \(2\) раза дороже за грамм, значит, одна большая жемчужина стоит в \(16\) раз дороже маленькой.

Нитка одинаковой длины из больших жемчужин содержит в \(2\) раза меньше жемчужин, чем нитка из маленьких. Поэтому нитка из жемчужин диаметром \(10\) мм стоит в \(8\) раз дороже нитки из жемчужин диаметром \(5\) мм: \(8 \cdot 15000 = 120000\) рублей.

Выразите площадь парка через шаги и через квадратные аршины. Сравните результаты, чтобы найти длину шага, а затем переведите длину в метры через размер дюйма.

1) \(1\) шаг равен \(1\) аршину; 2) длина парка приблизительно \(498\) м.

Выразим площадь парка в квадратных шагах: \(700 \cdot 432 = 302400\) квадратных шагов.

Переведём площадь парка в квадратные аршины. В одной квадратной сажени \(3 \cdot 3 = 9\) квадратных аршинов, поэтому площадь парка равна \(14 \cdot 2400 \cdot 9 = 302400\) квадратных аршинов. Численно площадь парка в квадратных шагах равна площади в квадратных аршинах, значит, длина одного шага равна \(1\) аршину.

Далее переведём длину парка в метры. \(1\) аршин \(= 28\) дюймов \(= 28 \cdot 2{,}54\) см \(\approx 71\) см. Тогда длина парка (вдоль длинной стороны) равна \(700 \cdot 0{,}71 = 497\) м; без округления при переводе аршинов в сантиметры получаем примерно \(498\) м.

Обозначьте весь путь через \(S\), а всё время через \(t\). Выразите время движения по городу и время в заторе через \(t\) и \(S\), а путь по трассе запишите как сумму путей на свободных участках и в заторе.

\(56\) км/ч.

Обозначим весь путь через \(S\), а всё время движения через \(t\). По городу автомобиль проехал \(\dfrac{1}{3}S\), значит, время движения по городу равно \(\dfrac{S}{3v_1}\). Так как \(\dfrac{1}{4}\) всего времени автомобиль двигался в заторе, то время движения по трассе вне затора равно \(\dfrac{3}{4}t - \dfrac{S}{3v_1}\), а время в заторе — \(\dfrac{1}{4}t\).

По трассе автомобиль проехал \(\dfrac{2}{3}S\): \[\left(\frac{3}{4}t - \frac{S}{3v_1}\right)v_2 + \frac{1}{4}t\,v_3 = \frac{2}{3}S.\] Перегруппируем слагаемые и домножим на \(12v_1\): \[(9v_1v_2 + 3v_1v_3)\,t = (8v_1 + 4v_2)\,S.\] Средняя скорость на всём пути: \[v_{\text{ср}} = \frac{S}{t} = \frac{9v_1v_2 + 3v_1v_3}{8v_1 + 4v_2} = 51~\text{км/ч}.\]

Сначала найдите, сколько всего монет получится: суммарная стоимость переплавленного металла делится на номинал монеты. Затем рассмотрите объёмы золота и серебра в одной монете, учитывая, что толщина монеты одинакова.

1) \(14\) г; 2) \(\approx 0{,}12\) площади монеты.

Пусть переплавлено \(n\) золотых дублонов и \(n\) серебряных пиастров. Их суммарная стоимость равна \(5n\) пиастров. Так как номинал новой монеты \(2\) пиастра, всего получится \(\dfrac{5n}{2}\) монет. Суммарная масса переплавленных монет \(nm_1 + nm_2\) равна суммарной массе новых монет, поэтому масса одной новой монеты \[\frac{2(nm_1 + nm_2)}{5n} = \frac{2(m_1 + m_2)}{5} = 14~\text{г}.\]

Монета имеет форму цилиндра постоянной толщины, поэтому отношение площади золотой середины к площади всей монеты равно отношению объёма золота к объёму монеты. Объём золота \(\dfrac{nm_1}{\rho_1}\), объём серебра \(\dfrac{nm_2}{\rho_2}\). Доля золота в объёме монеты \[\frac{m_1/\rho_1}{m_1/\rho_1 + m_2/\rho_2} = \frac{m_1\rho_2}{m_1\rho_2 + m_2\rho_1} = \frac{7 \cdot 10{,}5}{7 \cdot 10{,}5 + 28 \cdot 19{,}6} \approx 0{,}12.\]

Отношение скоростей равно отношению наклонов графика в данной точке. Линия, соответствующая условию про среднюю скорость за первый час, пересекает график в точке, где путь обоих автомобилей известен из графика.

1) \(\dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\); 2) \(v_1 = 75\) км/ч, \(v_2 = 30\) км/ч.

Отношение скоростей равно наклону зависимости на графике. На первом участке автомобиль Б проехал \(50\) км, а автомобиль А за то же время — \(30\) км; отношение скорости автомобиля Б к скорости А равно \(\dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\). На втором участке автомобиль Б проехал \(40\) км, а автомобиль А — \(60\) км; отношение скоростей \(\dfrac{2}{3} \approx 0{,}67\). Наибольшее отношение скорости автомобиля Б к скорости А достигается на первом участке и равно \(1{,}67\).

Средняя скорость за \(1\) ч равна отношению всего пути ко всему времени движения, значит, путь автомобиля Б к этому моменту в \(\dfrac{4}{3}\) раза больше пути автомобиля А. Проведём на графике линию \(s_{\text{Б}} = \dfrac{4}{3}s_{\text{А}}\); она пересекает график в точке \(s_{\text{А}} = 45\) км и \(s_{\text{Б}} = 60\) км. Значит, за \(1\) ч автомобиль А проехал \(45\) км и его скорость \(v_{\text{А}} = 45\) км/ч. Скорость автомобиля Б на первом участке \[v_1 = \frac{5}{3}v_{\text{А}} = 75~\text{км/ч},\] на втором участке \[v_2 = \frac{2}{3}v_{\text{А}} = 30~\text{км/ч}.\]