Санкт-Петербургская, 2025/26, отборочный этап, 8 класс

Ответ

\(\dfrac{\left(1-\rho/\rho_{\text{ст}}\right)6V}{12h} < S < \dfrac{\left(1-\rho/\rho_{\text{ст}}\right)7V}{12h}\).

Решение

Если стакан плавает, то уровень воды в сосуде после переливания остаётся постоянным. Обоснование: остаётся постоянной сила давления на дно сосуда, равная суммарной силе тяжести всей воды и пустого стакана: \[\rho g H S = Mg + mg \quad\Rightarrow\quad H = \text{const}. \qquad (1)\] Значит, после 6-го переливания стакан утонул.

Из условия плавания тел объём погружённой части пустого стакана больше \(\dfrac{6V}{12}\) и меньше \(\dfrac{7V}{12}\). Масса стекла: \[\frac{6\rho V}{12} < m < \frac{7\rho V}{12}. \qquad (2)\] Пока стакан плавал, он вытеснял объём \(\dfrac{m}{\rho}\). Утонувший стакан вытесняет объём \(\dfrac{m}{\rho_{\text{ст}}}\). Поэтому \[hS = \frac{m}{\rho} - \frac{m}{\rho_{\text{ст}}}, \quad\text{откуда}\quad S = \frac{m}{h}\left(\frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho_{\text{ст}}}\right). \qquad (3)\] С учётом неравенства (2) получаем ответ: \[\frac{\left(1-\rho/\rho_{\text{ст}}\right)6V}{12h} < S < \frac{\left(1-\rho/\rho_{\text{ст}}\right)7V}{12h}.\]

Ответ

\(255\) рублей.

Решение

Из условия видно, что в этом царстве цена серебра за 1 см\(^3\) равна \(\text{Ц}_1 = \dfrac{30}{12} = 2{,}5\) руб/см\(^3\), а цена золота \(\text{Ц}_2 = \dfrac{300}{12} = 25\) руб/см\(^3\).

Пусть в монете было \(x\) см\(^3\) серебра, тогда \((12 - x)\) см\(^3\) золота. Полная масса монеты: \[m = \rho_1 x + \rho_2 (12 - x) \qquad (1)\] или \(214 = 10{,}5\,x + 19{,}3\,(12 - x)\). Из этого уравнения \(x = 2\) см\(^3\).

Стоимость монеты: \[\text{Ст} = \text{Ц}_1 x + \text{Ц}_2 (12 - x) \qquad (2)\] \[\text{Ст} = 2{,}5 \cdot 2 + 25 \cdot (12 - 2) = 255 \text{ (рублей)}.\]

Ответ

а) \(v_{\text{ср}} = 0{,}5\) м/мин;  б) \(v_{\text{ср.min}} = \dfrac{1}{3}\) м/мин.

Решение

а) Так как \(dt = \dfrac{dl}{v}\), то время, за которое тело переместилось на расстояние, определяется как площадь фигуры под графиком \(\dfrac{1}{v}\) от \(l\). Величина одной клетки на графике равна \(0{,}5\ \dfrac{\text{мин}}{\text{м}} \cdot 0{,}5\) м \(= 0{,}25\) мин. Поэтому \(t_{\text{общ}} = 48\) клеток \(= 12\) мин. Ответ: \[v_{\text{ср}} = \frac{l}{t_{\text{общ}}} = \frac{6}{12} = 0{,}5\ \frac{\text{м}}{\text{мин}}.\]

б) Первые 2 м пути обратная мгновенная скорость монотонно возрастала, а значит, сама мгновенная скорость монотонно убывала. Это означает, что и средняя скорость убывала. Средняя скорость к этому моменту времени \(\dfrac{2\text{ м}}{5\text{ мин}} = 0{,}4\ \dfrac{\text{м}}{\text{мин}}\). Это больше, чем скорость на втором участке графика \(\dfrac{1}{4}\ \dfrac{\text{м}}{\text{мин}} = 0{,}25\ \dfrac{\text{м}}{\text{мин}}\). Следовательно, к моменту, когда путь равен 3 м, средняя скорость ещё уменьшится и будет равна \(\dfrac{3\text{ м}}{9\text{ мин}} = \dfrac{1}{3}\ \dfrac{\text{м}}{\text{мин}}\). На третьем участке графика скорость равна \(1\ \dfrac{\text{м}}{\text{мин}}\), а это значит, что средняя скорость на нём будет расти. Таким образом, минимальная средняя скорость достигается после преодоления 3 м пути и равна \[v_{\text{ср.min}} = \frac{l}{t} = \frac{1}{3}\ \frac{\text{м}}{\text{мин}}.\] В дальнейшем средняя скорость будет только расти.

Ответ

а) \(V_{\min} = \dfrac{a^3}{2}\);  б) \(V_{\max} = \dfrac{3}{2}\,a^3\);  в) см. график в решении.

Решение

а) Из условия плавания тел \(F_{\text{А}} = F_{\text{тяж}}\), \(\rho_0 g V_{\text{погр}} = \rho g V_{\text{куба}}\). Так как \(\rho_0 = 2\rho\), то \(V_{\text{погр}} = V_{\text{куба}}/2\). Куб будет плавать, наполовину погрузившись в воду. Следовательно, как только вода достигнет половины высоты кубика, кубик начнёт всплывать. Минимальный объём налитой воды \(V_{\min} = \dfrac{a^3}{2}\).

б) Тогда максимальный объём воды, который можно добавить в ванночку, \(V_{\max} = \dfrac{3}{2}\,a^3\).

в) Запишем правило моментов относительно точки \(O\) до того, как кубик всплывёт, для системы: рычаг, сосуд с водой, кубик.

\[N \cdot 2a = \frac{1}{2}\rho_0 a^3 g \cdot \frac{1}{2} a + \rho_0 g V \cdot \frac{3}{2} a,\] \[N(V) = \frac{1}{2}\rho_0 a^3 g \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\frac{V}{a^3}\right). \qquad (1)\] При \(V = 0\) \(N = \dfrac{1}{8}\rho_0 a^3 g\). При \(V = \dfrac{a^3}{2}\) \(N = \dfrac{1}{2}\rho_0 a^3 g\).

Запишем правило моментов относительно точки \(O\), после того как кубик всплыл:

\[N \cdot 2a = F_{\text{давл.}}\, a, \qquad N = \frac{F_{\text{давл.}}}{2},\] \[F_{\text{давл.}} = \rho_0 g h (2a \cdot a) = \rho_0 g \left(V + \frac{a^3}{2}\right),\] \[N(V) = \frac{\rho_0 g V}{2} + \frac{\rho_0 g a^3}{4}. \qquad (2)\] При \(V_{\max} = \dfrac{3}{2}a^3\) \(N = \rho_0 g a^3\).

Уравнение (1) можно было получить из других соображений. Запишем правило моментов относительно точки \(O\): \(N \cdot 2a = N_1 \dfrac{a}{2} + F_{\text{давл.}}\, a\), где \(N_1 = m_{\text{куба}} g - F_{\text{А}}\). Подставляя, получаем тот же результат для \(N(V)\) (до всплытия): \(N = \dfrac{1}{2}\rho_0 a^3 g \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\dfrac{V}{a^3}\right)\).

Искомый график (сила реакции опоры в единицах \(\rho_0 g a^3\) как функция объёма налитой воды в единицах \(a^3\)): при \(V = 0\) значение \(\dfrac{1}{8}\), в точке \(V = \dfrac{a^3}{2}\) значение \(\dfrac{1}{2}\) (излом), в точке \(V = \dfrac{3}{2}a^3\) значение \(1\).

Ответ

\(T = T_0 + \dfrac{c_2\, m\, (T_1 - T_2)}{c_1\, \rho\, h\, L^2}\).

Решение

Когда стержень только коснулся листа, верх картона с этого края приобрёл ту же температуру, что и начальная температура стержня. Поскольку картон очень плохо проводит тепло, температура из-за теплообмена в слое картона не успела выровняться при прокатывании стержня, значит, \(T_1\) и есть начальная температура стержня при контакте, а соответственно \(T_2\) — конечная. Итак, стержень отдал тепло \(c_2 m (T_1 - T_2)\), и столько же в итоге получил картон. Записываем уравнение теплового баланса для итогового однородно нагретого состояния листа картона: \[c_2 m (T_1 - T_2) = c_1 M (T - T_0) = c_1 \rho h L^2 (T - T_0), \qquad (1)\] где \(M = \rho h L^2\) — масса картона. Откуда \[T = T_0 + \frac{c_2\, m\, (T_1 - T_2)}{c_1\, \rho\, h\, L^2}.\]