Санкт-Петербургская, 2025/26, отборочный этап, 9 класс

Ответ

\(x_1 = -\dfrac{5m}{6\rho S}\), \(x_2 = \dfrac{m}{3\rho S}\), \(x_3 = \dfrac{m}{18\rho S}\) (знак «\(-\)» означает, что уровень опустился).

Решение

Обозначим начальные уровни жидкости в коленах \(h_1\), \(h_2\) и \(h_3\). Давления на дно во всех коленах одинаковы, следовательно (ускорение свободного падения \(g\) сокращено): \[\rho_3 h_3 + \frac{m_3}{S_3} = \rho_1 h_1 + \frac{m_1}{S_1}, \qquad \rho_3 h_3 + \frac{m_3}{S_3} = \rho_2 h_2 + \frac{m_2}{S_2}.\] Пусть после перестановки грузов уровни жидкости в коленах изменились на \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) соответственно (величины считаются положительными, если уровень сместился вверх, и отрицательными, если вниз). Тогда \[\rho_3 (h_3 + x_3) + \frac{m_3}{S_3} = \rho_1 (h_1 + x_1) + \frac{m_2}{S_1}, \qquad \rho_3 (h_3 + x_3) + \frac{m_3}{S_3} = \rho_2 (h_2 + x_2) + \frac{m_1}{S_2}.\] Если вычесть из этой пары уравнений предыдущую пару, получим \[\rho_3 x_3 = \rho_1 x_1 + \frac{\Delta m}{S_1}, \qquad (1)\] \[\rho_3 x_3 = \rho_2 x_2 - \frac{\Delta m}{S_2}, \qquad (2)\] где \(\Delta m = m_2 - m_1\). Это два уравнения на три неизвестных. В качестве третьего уравнения запишем условие сохранения суммарного объёма жидкостей: \[x_1 S_1 + x_2 S_2 + x_3 S_3 = 0. \qquad (3)\] Чтобы решить систему (1)–(3), домножим уравнение (1) на \(S_1/\rho_1\), уравнение (2) на \(S_2/\rho_2\) и сложим их. С учётом (3) получится \[\left(\frac{\rho_3}{\rho_1} S_1 + \frac{\rho_3}{\rho_2} S_2 + S_3\right) x_3 = \frac{\Delta m\,(\rho_2 - \rho_1)}{\rho_1 \rho_2}.\] Подставим значения величин из условия и выразим \(x_3\): \[x_3 = \frac{m}{18\rho S}.\] Подставив \(x_3\) в (1)–(2), получим \[x_1 = -\frac{5m}{6\rho S}, \qquad x_2 = \frac{m}{3\rho S}.\]

Ответ

\(a = 2\) м/с\(^2\).

Решение

Отметим на рисунке точки \(A_2\) и \(A_3\), в которых машинка была в моменты времени \(t_2\) и \(t_3\) соответственно. Из условия следует, что \(A_2\), \(B\), \(D\) лежат на одной прямой, и \(A_3\), \(C\), \(D\) лежат на одной прямой. Пусть \(t_1 = 1\) с и \(l = a t_1^2 / 2\). Тогда имеем \[|AA_2| = \frac{a t_2^2}{2} = 4l, \qquad |A_2A_3| = \frac{a (t_3^2 - t_2^2)}{2} = 5l.\] Выберем на \(A_2A_3\) точку \(E\) так, чтобы \(CE \parallel BA_2\). По условию \(|AB| = |BC|\), следовательно, по теореме Фалеса \[|AA_2| = |A_2E| = 4l \quad\Rightarrow\quad |EA_3| = l.\] Обозначим \(|A_3C| = x\) и воспользуемся теоремой Фалеса ещё раз: \[|EA_3| : |A_2E| = 1 : 4 \quad\Rightarrow\quad |CD| = 4\,|A_3C| = 4x.\]

Заметим, что \(AC\) — высота в прямоугольном треугольнике \(AA_3D\), следовательно, \[|AC| = \sqrt{|A_3C| \cdot |CD|} = 2x \quad\Rightarrow\quad \tan\angle ADC = \frac{1}{2}.\] Отсюда сразу \[|AA_3| = |AD| \tan\angle ADC = 9~\text{м} \quad\Rightarrow\quad a = \frac{2\,|AA_3|}{t_3^2} = 2~\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\]

Ответ

\(P_1 = 30\) мВт, \(P_2 = 120\) мВт.

Решение

Описанный в условии задачи результат эксперимента возможен, поскольку соединительные провода имеют сопротивление.

Предположим, что к идеальному источнику напряжения \(U_0\) подключён резистор \(R\) при помощи проводов общим сопротивлением \(r\). Согласно закону Ома, сила тока \(I = \dfrac{U_0}{R + r}\), откуда мощность, выделяемая на резисторе, \[P = I^2 R = \frac{U_0^2 R}{(R + r)^2}.\] Метод 1. Используем равенство мощностей при сопротивлениях \(R_1\) и \(R_2\) резисторов: \[\frac{U_0^2 R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{U_0^2 R_2}{(R_2 + r)^2} \;\Leftrightarrow\; R_1 (r^2 + 2R_2 r + R_2^2) = R_2 (r^2 + 2R_1 r + R_1^2) \;\Leftrightarrow\; (R_2 - R_1) r^2 = R_1 R_2 (R_2 - R_1) \;\Leftrightarrow\; r = \sqrt{R_1 R_2}.\] Здесь использовано, что \(R_1 \neq R_2\). Получаем, что сопротивление двух последовательно соединённых проводов равно \(\sqrt{R_1 R_2}\). Таким образом, сопротивление провода \(\sqrt{R_1 R_2}/2\).

Метод 2. Посмотрим на равенство как на уравнение относительно сопротивления резистора \(R\): \[R^2 + R\left(2r - \frac{U_0^2}{P}\right) + r^2 = 0.\] По теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно \(r^2\). Применив результат к первым двум экспериментам, получаем, что сопротивление двух последовательно соединённых проводов равно \(\sqrt{R_1 R_2}\). Таким образом, сопротивление провода \(\sqrt{R_1 R_2}/2\).

В третьем эксперименте Миша подключил к источнику резисторы \(R_1\), \(R_2\), используя три провода общим сопротивлением \(3\sqrt{R_1 R_2}/2\). Сила тока, текущего в цепи, \[I' = \frac{U_0}{R_1 + R_2 + 3\sqrt{R_1 R_2}/2}.\] Поэтому на резисторах выделяются мощности \[P_1 = I'^2 R_1 = \frac{U_0^2 R_1}{\left(R_1 + R_2 + 3\sqrt{R_1 R_2}/2\right)^2} = 30~\text{мВт}, \quad P_2 = I'^2 R_2 = \frac{U_0^2 R_2}{\left(R_1 + R_2 + 3\sqrt{R_1 R_2}/2\right)^2} = 120~\text{мВт}.\]

Ответ

1) \(\alpha_1 = 0{,}560\) Вт/\(^{\circ}\)C, \(\alpha_2 \approx 0{,}486\) Вт/\(^{\circ}\)C; 2) \(v_3 \approx 0{,}0317\) \(^{\circ}\)C/с.

Решение

1. Сначала определим, как связана скорость изменения температуры термокружки с коэффициентом теплоотдачи \(\alpha\). Закон сохранения энергии: \[\begin{cases} \Delta Q + P_{\text{пот}} \Delta\tau = 0, \\ P_{\text{пот}} = \alpha (t - t_0), \\ \Delta Q = C \Delta t, \end{cases}\] где \(\Delta t\) — изменение температуры жидкости за промежуток времени \(\Delta\tau\), \(C = \sum m_i c_i\) — полная теплоёмкость содержимого термокружки. Отсюда \(\alpha\) выражается через скорость изменения температуры \(v(t) = \Delta t / \Delta\tau\): \[\alpha = C\,\frac{-v(t)}{t - t_0} = C \left|\frac{v(t)}{t - t_0}\right|.\] Подставляя \(C_1 = m_1 c_1\) для чая и \(C_2 = m_2 c_2\) для молока, вычисляем коэффициенты теплоотдачи напитков: \[\alpha_1 = 0{,}560~\frac{\text{Вт}}{^{\circ}\text{C}}, \qquad \alpha_2 \approx 0{,}486~\frac{\text{Вт}}{^{\circ}\text{C}}.\]

2. Из линейности коэффициента теплоотдачи для смеси напитков имеем \[\alpha_3 = \frac{m_1 \alpha_1 + m_2 \alpha_2}{m_1 + m_2} \approx 0{,}545~\frac{\text{Вт}}{^{\circ}\text{C}}.\] Уравнение теплового баланса для определения температуры смеси напитков: \[m_1 c_1 (t_3 - t_1) + m_2 c_2 (t_3 - t_2) = 0 \quad\Rightarrow\quad t_3 = \frac{m_1 c_1 t_1 + m_2 c_2 t_2}{C_3} \approx 84{,}0~^{\circ}\text{C},\] где \(C_3 = m_1 c_1 + m_2 c_2\) — теплоёмкость смеси напитков.

Искомая скорость остывания: \[v_3(t_3) = \alpha_3 \frac{t_3 - t_0}{C_3} \approx 0{,}0317~^{\circ}\text{C}/\text{с}.\]

Ответ

1) \(v = 87\) км/ч;  2) \(v = 82{,}5\) км/ч.

Решение

Пусть \(n\) — общая концентрация автомобилей, то есть их среднее количество на единицу длины дороги. Перейдём в систему отсчёта физиков. За промежуток времени \(\Delta t\) они встретят \(n\,|u|\,p(u)\,\Delta t\) автомобилей, движущихся с относительной скоростью \(u\), если их доля в общем числе автомобилей из потока — \(p(u)\). Это выражение верно для любой категории автомобилей: и для движущихся быстрее, и для едущих медленнее физиков.

Соответственно, равенство числа обгоняющих и обгоняемых автомобилей можно записать в виде: \[\sum_{u>0} n\,|u|\,p(u)\,\Delta t = \sum_{u<0} n\,|u|\,p(u)\,\Delta t, \qquad (4)\] или, что то же самое, \[\sum n\,u\,p(u)\,\Delta t = 0 \quad\Rightarrow\quad \sum_i u_i p_i = 0. \qquad (5)\] Поскольку \(u = v_i - v\) (\(v\) — скорость физиков, \(v_i\) — скорость \(i\)-го вида автомобилистов), правая часть (5) примет вид: \[\sum_i v_i p_i - v \sum_i p_i = \sum_i v_i p_i - v = 0.\] Отсюда \(v = 0{,}3 \cdot 100~\text{км/ч} + 0{,}5 \cdot 90~\text{км/ч} + 0{,}2 \cdot 60~\text{км/ч} = 87~\text{км/ч}\).

Для ответа на второй вопрос вместо условия (4) запишем \[\sum_{u>0} n\,|u|\,p(u)\,\Delta t = 2 \sum_{u<0} n\,|u|\,p(u)\,\Delta t.\] Раз обгоняющих стало вдвое больше, чем обгоняемых, скорость физиков уменьшилась. А значит, все родители и путешественники точно обгоняют Глюка и Бага. Тогда, выражая скорость физиков, получаем \[v = \frac{v_1 p_1 + v_2 p_2 + 2 v_3 p_3}{p_1 + p_2 + 2 p_3} = 82{,}5~\text{км/ч}.\]