зад 1 Многогранная задача
Алексей — человек многогранный: он любит играть с конструктором, увлекается математикой и физикой. На уроке геометрии Алексей собрал из конструктора Geomag модели правильных многогранников (см. рисунок). В этом конструкторе стержни с магнитами на концах соединяются при помощи металлических шариков. Стержни образуют рёбра многогранников, а шарики — вершины. На уроке физики Алексей решил измерить массы полученных многогранников. Оказалось, что масса тетраэдра, показанного на рисунке а, равна \(61\) г. Масса октаэдра (рис. б) равна \(105\) г. После этого массу куба (рис. в) и икосаэдра (рис. г) Алексей вычислил, не измеряя. Какие значения он получил? Известно, что все стержни имеют одинаковую длину и массу, все шарики также одинаковые. Правильный икосаэдр имеет 12 вершин и 20 граней в форме равносторонних треугольников.
▶ПодсказкаСкрыть
Посчитайте, сколько шариков и стержней в каждом многограннике. Куб и тетраэдр отличаются ровно вдвое, а октаэдр и куб — только числом шариков.
▶ОтветСкрыть
Масса куба \(122\) г, масса икосаэдра \(237\) г.
▶РешениеСкрыть
Тетраэдр: 4 шарика и 6 стержней. Куб: 8 шариков и 12 стержней, то есть ровно вдвое больше, чем у тетраэдра; значит, масса куба \(2 \cdot 61 = 122\) г.
Октаэдр: 6 шариков и 12 стержней. По сравнению с кубом два шарика легче, и разница масс \(122 - 105 = 17\) г. Значит, масса одного шарика \(8{,}5\) г. Тогда 4 шарика тетраэдра весят \(34\) г, а шесть стержней — \(61 - 34 = 27\) г, то есть один стержень весит \(4{,}5\) г.
Икосаэдр: 12 шариков и 30 стержней (с каждым шариком соединены 5 стержней, а каждый стержень имеет два конца). Масса \(12 \cdot 8{,}5 + 30 \cdot 4{,}5 = 237\) г.
зад 2 Встреча на реке
Города А и Б расположены на берегу одной реки. Между городами налажено почтовое сообщение. Два почтальона на моторных лодках одновременно стартуют из городов А и Б и плывут навстречу друг другу. Встретившись, почтальоны быстро обмениваются корреспонденцией, разворачиваются и плывут обратно, каждый в свой город. Доплыв до города, почтальон быстро оставляет почту и забирает новые письма и посылки, которые уже ждут его на пристани. Почтальон из города А заметил, что первый раз он плыл \(t_1 = 26\) мин до встречи, а второй раз он встретил коллегу через \(t_2 = 14\) мин после разворота в А. Известно, что обе моторные лодки движутся с одинаковыми и постоянными относительно воды скоростями. Определите, во сколько раз скорость лодки относительно воды больше скорости течения.
▶ПодсказкаСкрыть
Удобно считать, что почтальоны при встрече не разворачиваются, а продолжают плыть дальше: тогда каждый проплывает путь туда и обратно за одинаковое время.
▶ОтветСкрыть
\(v/u = \dfrac{t_1 + t_2}{t_1 - t_2} = \dfrac{10}{3}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть скорость лодки относительно воды \(v\), скорость течения \(u\) (от А к Б). До первой встречи почтальон из А плывёт по течению со скоростью \(v+u\), почтальон из Б — против течения со скоростью \(v-u\). Затем каждый разворачивается и возвращается. Время от разворота почтальона из А до его возвращения в А равно \(\dfrac{v+u}{v-u}\,t_1\). Расстояние между почтальонами в момент разворота первого равно \(2v\,t_1 - \dfrac{4vu}{v+u}\,t_1\), скорость их сближения \(2v\), поэтому вторая встреча через время \(t_2 = \dfrac{v-u}{v+u}\,t_1\). Отсюда \(v(t_1 - t_2) = u(t_1 + t_2)\) и \[\frac{v}{u} = \frac{t_1 + t_2}{t_1 - t_2} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}.\]
зад 3 Рассеянный водитель
Не слишком внимательный водитель двигался на автомобиле с постоянной скоростью. Вдоль дороги через каждые \(10\) км стоят столбы с указанием расстояния от данного места до начала дороги. Водитель запомнил, что столб с табличкой \(10\) км он проезжал не ранее 12:00, но и не позднее 12:10. Ровно в 13:00 он был не ближе \(60\) км, но и не далее \(70\) км от начала дороги. А мимо столба с табличкой \(130\) км он проехал не ранее 13:40, но и не позднее 13:50. Что можно сказать о скорости движения автомобиля?
▶ПодсказкаСкрыть
Нанесите на график «координата — время» все возможные области положения автомобиля и найдите прямую, проходящую через все три области.
▶ОтветСкрыть
Скорость автомобиля \(72\) км/ч (определяется однозначно).
▶РешениеСкрыть
Отметим на графике «координата — время» возможные положения автомобиля. Через все отмеченные области проходит единственная прямая, она и отвечает движению автомобиля. По графику за 50 минут (с 12:10 до 13:00) автомобиль проехал от столба \(10\) км до \(70\) км, то есть \(60\) км. Тогда скорость \(\dfrac{60\text{ км}}{50\text{ мин}} = 72\) км/ч.
зад 4 Экономичный автомобиль
Расход бензина зависит от скорости движения автомобиля. На графике показана зависимость времени \(t\) движения автомобиля с полным баком бензина от темпа движения \(T\), то есть времени, затрачиваемого на один километр пути. А. Определите, какое расстояние автомобиль может проехать без дозаправки, если будет двигаться с постоянной скоростью \(40\) км/ч. Б. Определите максимальное расстояние, которое автомобиль может проехать без дозаправки. С какой скоростью для этого нужно ехать?
▶ПодсказкаСкрыть
Пройденное расстояние равно \(t/T\). Какая прямая через начало координат даёт наибольшее значение \(t/T\)?
▶ОтветСкрыть
А. \(640\) км. Б. \(960\) км при скорости \(96\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
А. Скорости \(40\) км/ч соответствует темп \(\dfrac{60\text{ мин}}{40\text{ км}} = 1{,}5\) мин/км. По графику при этом темпе автомобиль может ехать \(16\) ч, то есть проедет \(640\) км.
Б. Расстояние \(L = t/T\), поэтому нужно найти точку графика, для которой отношение \(t/T\) максимально. Точки с одинаковым \(t/T\) лежат на прямой, выходящей из начала координат; чем круче такая прямая, тем больше расстояние. Касательная из начала координат к графику проходит через точку \(T = 1\) мин/км, \(t = 16\) ч. Поэтому максимальное расстояние \(960\) км. Точка касания соответствует \(t \approx 10\) ч, а значит, скорость \(\dfrac{960}{10} = 96\) км/ч.
зад 5 Цепочка пружин
Школьники взяли \(N = 11\) одинаковых по размеру шариков массами \(1, 2, \ldots N\) грамм, расположили их в некотором порядке и соединили в цепочку десятью одинаковыми пружинками. Затем эту цепочку подвесили сначала за один конец (шарик) и измерили её длину, затем за другой и измерили величину \(\Delta l\) — то, на сколько изменилась длина цепочки при подвешивании за противоположный конец. Затем цепочку пересобрали (изменили порядок шариков) и, повторив опыт, измерили новое \(\Delta l\). Повторив этот эксперимент много раз и собрав все возможные цепочки, школьники обнаружили, что максимальное изменение длины цепочки \(\Delta l_{max} = 22\) см. Определите по этим данным жёсткость одной пружинки. При вычислениях считайте \(g = 10\) Н/кг.
▶ПодсказкаСкрыть
Растяжение цепочки равно сумме вкладов всех шариков: каждый шарик растягивает пружины, находящиеся над ним. Для максимума \(\Delta l\) тяжёлые шарики должны быть внизу.
▶ОтветСкрыть
\(k = 10\) Н/м.
▶РешениеСкрыть
Шарик сверху не растягивает ни одной пружины, второй сверху растягивает только верхнюю, а нижний шарик растягивает все пружины. Максимальная длина при подвешивании за нижний шарик реализуется, если внизу самый тяжёлый шарик, над ним следующий по массе и т. д. Минимальная длина — у той же цепочки, подвешенной за другой конец. Поэтому \(\Delta l_{max}\) — разность длин этих двух случаев.
Пусть самый лёгкий шарик имеет массу \(m = 1\) г. Тогда, суммируя вклады шариков в удлинение, получаем для самой длинной цепочки \(\dfrac{N(N+1)(N-1)}{3}\cdot\dfrac{mg}{k} = 440\,\dfrac{mg}{k}\), а для самой короткой \(\dfrac{N^3 - N}{6}\cdot\dfrac{mg}{k} = 220\,\dfrac{mg}{k}\). Отсюда \[\Delta l_{max} = 220\,\frac{mg}{k}, \qquad k = 220\,\frac{mg}{\Delta l_{max}} = 10~\text{Н/м}.\]
зад 6 Сосуд с трубкой
В цилиндрический сосуд налили \(M = 10\) кг воды до уровня \(H = 50\) см. Сверху вода закрыта подвижным поршнем П, который может без трения перемещаться в сосуде вверх-вниз (см. рис.). В поршне имеется отверстие, в котором жёстко закреплена вертикальная трубка. Внутри трубки имеется ещё один поршень К, который может скользить вдоль трубки без трения. Сначала на поршень П поставили груз, и в положении равновесия он опустился на \(x_1 = 1\) см относительно своего первоначального положения. Затем этот же груз переставили на поршень К, который опустился вниз на \(x_2 = 9\) см относительно своего первоначального положения. Определите массу \(m\) груза.
▶ПодсказкаСкрыть
Объём воды не меняется: когда поршень П опускается, поршень К поднимается на такой же объём. Сравните изменение давления воды при двух положениях груза.
▶ОтветСкрыть
\(m = 0{,}6\) кг.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(S\) — площадь поршня П без отверстия, \(s\) — площадь трубки и поршня К; общая площадь сосуда \(S + s\). Из условия \(\rho g H (S + s) = Mg\) получаем \(S + s = \dfrac{M}{\rho H}\).
Когда груз стоит на П, П опускается на \(x_1\), а К поднимается на \(x_1 S/s\), так что давление воды на П растёт на \(\rho g x_1 (S+s)/s\). Сравнивая условия равновесия с грузом и без него, получаем \(\dfrac{mg}{S} = \rho g x_1 \dfrac{S+s}{s}\).
Когда груз стоит на К, давление воды на К растёт на \(\rho g x_2 (S+s)/S\), и это давление уравновешивает вес груза: \(\dfrac{mg}{s} = \rho g x_2 \dfrac{S+s}{S}\).
Сравнивая эти выражения, находим \(\dfrac{S^2}{s^2} = \dfrac{x_2}{x_1} = 9\), то есть \(S = 3s\). Подставляя сумму и отношение площадей в выражение для массы, \[m = \rho x_1 \frac{(S+s)S}{s} = \frac{M x_1}{H}\cdot\frac{S}{s} = 0{,}6~\text{кг}.\]
зад 7 Спирограф
Спирограф — детская игрушка, состоит из пластмассовой пластины с круглым отверстием и набора шестерёнок меньшего диаметра. По краю отверстия расположены зубцы, поэтому шестерёнки могут прокатываться внутри отверстия без проскальзывания. В шестерёнке имеется несколько маленьких отверстий, смещённых относительно центра. Если в отверстие поместить карандаш и вращать шестерёнку так, чтобы она зубцами зацеплялась за зубцы в отверстии, получаем замкнутую кривую, изображённую на рисунке справа. А. Сколько зубцов у шестерёнки, если отверстие имеет 40 зубцов? Б. Сколько оборотов вокруг своей оси делает шестерёнка за время, пока один раз прорисовывает кривую?
▶ПодсказкаСкрыть
Сколько раз шестерёнка должна прокатиться по отверстию, чтобы кривая замкнулась? Сколько раз маленькое отверстие оказывается у края?
▶ОтветСкрыть
А. \(16\) зубцов. Б. \(3\) оборота.
▶РешениеСкрыть
Кривая похожа на пятиконечную звезду; она замыкается после двух обходов шестерёнки по отверстию, а маленькое отверстие за это время 5 раз оказывается у края отверстия. Значит, за два обхода шестерёнка проворачивается 5 раз, и при \(40\) зубцах в отверстии число зубцов шестерёнки \(z = 2 \cdot 40 / 5 = 16\).
Если бы центры были неподвижны, за 2 оборота спирографа шестерёнка сделала бы 5 оборотов вокруг своей оси в том же направлении. Но сам спирограф (вся система) повёрнут на 2 оборота, поэтому относительно неподвижной пластины шестерёнка делает \(5 - 2 = 3\) оборота.
зад 8 Пружина в шприце
Экспериментальный тур, задача 7.1. Список оборудования: шприц с пружиной внутри, электронные весы, деревянная рейка, лист бумаги формата А4, 5 спичек, деревянный брусок. Задание: с помощью выданного оборудования определите коэффициент жёсткости пружины. Шприц разбирать запрещено, ваша линейка в оборудование не входит.
▶ПодсказкаСкрыть
Шприц можно использовать как линейку: сравните его деления с размером, отложенным по бумаге. Силу, которую весы не могут измерить напрямую, найдите через правило рычага.
▶ОтветСкрыть
\(k \approx 900\) Н/м.
▶РешениеСкрыть
Размер деления шприца определяем по бумаге: диаметр \(d\) шприца откладываем спичками и сравниваем с делениями; получаем \(d \approx 5{,}55\) делений, а объём \(20\) мл соответствует \(483{,}6\) кубических делений, отсюда одно деление \(\approx 3{,}46\) мм.
Прямо измерять силу весами нельзя — весы зашкаливают. Собирают рычаг: шприц давит на брусок, на другом конце рычага весы показывают вес \(P\). Сила упругости \(F\) по правилу рычага \(F/P = L/S\), где \(L\) и \(S\) — плечи (расстояния между спичками). Усреднив показания при движении шприца вверх и вниз (сила трения поршня меняет знак), получают \(F \approx 21{,}7\) Н при удлинении \(x \approx 24{,}2\) мм. Тогда \(k = F/x \approx 900\) Н/м. Повторные измерения при других удлинениях усредняются.
зад 9 Воздушный шарик
Экспериментальный тур, задача 7.2. Список оборудования: резиновый шарик, переходник, гибкая прозрачная трубочка, стакан с водой, мерная лента, штатив, миллиметровая бумага для построения графиков, скотч по требованию.
С помощью выданного оборудования измерьте зависимость избыточного давления воздуха внутри шарика от радиуса шарика при сдувании шарика в диапазоне от \(11\) см до \(2\) см. Постройте график полученной зависимости.
С помощью полученного графика предскажите поведение системы из двух надутых шариков, герметично соединённых трубочкой с воздухом, если: а) радиус маленького шарика \(5\) см, а большого \(8\) см; б) радиус маленького шарика \(8\) см, а большого \(11\) см.
Используя полученный график, определите силу упругости, возникающую в резине в поперечном сечении шарика при радиусах шарика \(3\) см, \(4\) см, \(6\) см, \(8\) см и \(10\) см.
Примечания. 1) Под избыточным давлением подразумевается разность давления воздуха внутри шарика и атмосферного давления снаружи. 2) Под поперечным сечением шарика подразумевается сечение плоскостью, перпендикулярной оси симметрии шарика и проходящей через его центр. 3) Под радиусом шарика подразумевается радиус этого сечения \(R\). 4) Плотность воды принять равной \(1000\) кг/м\(^3\). 5) Длина окружности \(L = 2\pi R\), площадь круга \(S = \pi R^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Давление измеряется жидкостным манометром: \(p = \rho g h\). Радиус находится из измеренной длины окружности сечения шарика. Для силы упругости рассмотрите верхнюю часть шарика.
▶ОтветСкрыть
2а) маленький шарик уменьшается, большой растёт; 2б) воздух переходит из большого шарика в маленький; 3) \(F_у \approx 2{,}5\) Н (\(3\) см), \(12{,}5\) Н (\(4\) см), \(20\) Н (\(6\) см), \(31\) Н (\(8\) см), \(62\) Н (\(10\) см).
▶РешениеСкрыть
Измерения: жидкостный манометр (стакан с водой, трубочка) даёт избыточное давление \(p = \rho g h\) по разности уровней; радиус \(R = L/(2\pi)\), где \(L\) — длина окружности сечения, измеренная мерной лентой. Стравливая воздух, измеряют \(p(R)\) и строят график.
2) Давление внутри маленького шарика радиусом \(5\) см больше, чем в шарике радиусом \(8\) см: воздух перетекает из маленького в большой, маленький уменьшается, большой растёт, пока давления не сравняются. Для шариков \(8\) см и \(11\) см картина обратная: давление в маленьком меньше, поэтому воздух перетекает из большого в маленький.
3) Рассмотрим цилиндр, вырезанный из верхней части шарика. По вертикали на него действуют сила атмосферы сверху, сила упругости резины снизу и сила давления воздуха изнутри снизу: \(F_д = F_а + F_у\), откуда \(F_у = p\,\pi R^2\) с избыточным давлением \(p\) при нужном \(R\). По графику получаем значения, перечисленные в ответе. Сила упругости растёт с радиусом даже тогда, когда давление внутри шарика уменьшается.
Источник: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по физике, 2025/26, заключительный этап, 7 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.