зад 1 Пиратский конструктор
В конструкторе Geomag можно собирать различные геометрические фигуры из металлических шариков (вершины фигур) и стержней с магнитами на концах (рёбра фигур). Все стержни имеют одинаковую длину и массу, все шарики также одинаковые. Восьмиклассник Вова собирает из такого конструктора правильные многогранники. Сначала Вова собрал куб (рис. а) и измерил, что его масса равна \(122\) г. Затем он собрал октаэдр (рис. б), масса которого оказалась равна \(105\) г. Наконец, Вова собрал из конструктора икосаэдр, показанный на рисунке в. Правильный икосаэдр имеет 12 вершин и 20 граней в форме равносторонних треугольников. А. Чему равна масса икосаэдра, собранного Вовой? Б. Пираты сделали копию конструктора из тех же материалов, но для экономии сделали шарики в 2 раза меньшего радиуса, а стержни такой же длины, но уменьшили их радиус в 2 раза. Какую массу будет иметь икосаэдр из пиратской копии конструктора?
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните куб и октаэдр: у них одинаковое число стержней и разное число шариков. Масса шарика пропорциональна объёму, масса стержня — объёму стержня.
▶ОтветСкрыть
А. \(237\) г. Б. \(46{,}5\) г.
▶РешениеСкрыть
Куб: 8 шариков и 12 стержней; октаэдр: 6 шариков и 12 стержней. Разность масс \(122 - 105 = 17\) г приходится на два шарика, значит, шарик весит \(8{,}5\) г. Восемь шариков куба весят \(68\) г, на 12 стержней остаётся \(54\) г, один стержень — \(4{,}5\) г.
Икосаэдр: 12 шариков и 30 стержней (с каждой вершиной соединены 5 стержней), масса \(12 \cdot 8{,}5 + 30 \cdot 4{,}5 = 237\) г.
Пиратская копия: масса шарика пропорциональна объёму, то есть уменьшается в \(2^3 = 8\) раз. Стержни той же длины, но вдвое меньшего радиуса, их сечение, а значит масса, уменьшаются в \(2^2 = 4\) раза. Масса икосаэдра: \(\dfrac{12 \cdot 8{,}5}{8} + \dfrac{30 \cdot 4{,}5}{4} = 12{,}75 + 33{,}75 = 46{,}5\) г.
зад 2 Прогулка в Стране чудес
В один чудесный день Алиса, Мартовский заяц, Шляпник и Чеширский кот прогуливались по длинной прямой дороге между Кроличьей норой и замком Красной королевы. Каждый шёл со своей постоянной скоростью, все время в одном направлении. Оказалось, что каждый из персонажей во время прогулки встретил каждого, но вместе никакие трое не встречались. Также известно, что все встречи происходили ровно в целое число часов и где-то на дороге, не в начале и не в конце пути. Алиса вышла из Кроличьей норы ровно в полдень и пришла в замок Красной королевы ровно в 16 часов. Также известно, что скорость Мартовского зайца была в точности равна скорости Алисы.
А. Сколько времени Шляпник потратил на дорогу? Б. В какое время могла произойти встреча Шляпника и Чеширского кота?
▶ПодсказкаСкрыть
Если Мартовский заяц с Алисой шли с одинаковой скоростью и встретились, то заяц шёл навстречу. Перебирайте возможный час встречи Алисы и зайца и проверяйте условия задачи по графикам «положение — время».
▶ОтветСкрыть
А. \(12\) ч. Б. В \(13\) или \(15\) часов.
▶РешениеСкрыть
Алиса и заяц шли с одинаковой скоростью и всё же встретились, значит, заяц шёл навстречу Алисе. Все встречи в целые часы, поэтому их встреча возможна в 13, 14 или 15 часов. Рассматриваем каждый вариант на графиках «положение — время».
Если встреча Алисы и зайца в 13 часов, то тот, кто встретил зайца в 12:00, должен встретить Алису в 15:00; тот, кто встретил зайца в 11:00, — Алису в 14:00. Тогда Шляпник и Чеширский кот за 3 часа проходят путь, который Алиса проходит за 1 час, их скорости в 3 раза меньше, чем у Алисы. Шляпник тратит на дорогу \(12\) ч, и его встреча с Чеширским котом происходит в \(13\):00.
Аналогично разбирается случай встречи Алисы и зайца в 15 часов: Шляпник также тратит \(12\) ч и встречает Чеширского кота в \(15\):00.
Если встреча Алисы и зайца в 14 часов, то встреча Шляпника с Алисой и зайцем возможна лишь в 13:00 и 15:00; но тогда он либо встречает их одновременно в одной точке (стоит на месте), либо в разных точках одновременно, что невозможно. Значит, этот вариант противоречит условию.
Ответ: Шляпник потратил на дорогу \(12\) ч; встреча Шляпника и Чеширского кота могла произойти в \(13\) или \(15\) часов.
зад 3 В воде не тонет
В глубоком бассейне для подготовки дайверов есть боковой коридор. Форма такого бассейна схематически показана на рисунке справа. Бассейн отделан очень гладкой плиткой. К плитке на потолке бокового коридора, расположенном на глубине \(h = 2\) м относительно поверхности воды, поднесли бронзовую статуэтку с хорошо отполированным основанием и сильно прижали основание статуэтки к плитке. В результате статуэтка «прилипла» к плитке. Определите, при какой массе статуэтки возможна описанная ситуация. Плотность бронзы, из которой сделана статуэтка, равна \(\rho_1 = 8000\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), площадь основания статуэтки \(S = 100\) см\(^2\), атмосферное давление \(p_0 = 100\) кПа, \(g = 10\) Н/кг.
▶ПодсказкаСкрыть
Под основанием, плотно прижатым к плитке, воды нет. Сравните вес статуэтки с силой, которую вода создаёт на остальные части статуэтки.
▶ОтветСкрыть
\(m \leqslant 137\) кг.
▶РешениеСкрыть
Основание, отполированное и плотно прижатое к гладкой плитке, воды под собой не имеет, поэтому давление воды на основание не учитывается. Сила, с которой вода действует на статуэтку (по официальному решению), равна \(\dfrac{\rho g m}{\rho_1} + (p_0 + \rho g h)S\): первое слагаемое — сила Архимеда, второе — давление воды на площадь основания.
Чтобы статуэтка «прилипла», эта сила должна быть не меньше силы тяжести: \[mg \leqslant \frac{\rho g m}{\rho_1} + (p_0 + \rho g h)S.\] Отсюда \[m \leqslant \frac{(p_0/g + \rho h)\,S}{1 - \rho/\rho_1} = \frac{(p_0/g + \rho h)\,S\,\rho_1}{\rho_1 - \rho} \approx 137~\text{кг}.\]
зад 4 Хрупкое равновесие
Однородный круглый диск расположен горизонтально и балансирует на точечной опоре в центре диска, в точке \(O\). На диске находятся три брата-акробата одинаковой массы. Первый идёт по отрезку \(AO\) с постоянной скоростью \(v\) (см. рисунок, вид сверху). Второй стартует одновременно с первым и идёт по отрезку \(BC\), также с постоянной скоростью. При этом второй брат доходит до точки \(C\) ровно в момент, когда первый доходит до точки \(O\). Затем первый брат остаётся стоять в точке \(O\), а второй возвращается в \(B\) (с той же скоростью, что и шёл раньше). Нарисуйте возможную траекторию движения третьего брата и найдите скорость его движения на каждом участке траектории. Размерами акробатов по сравнению с радиусом диска пренебрегите.
▶ПодсказкаСкрыть
Диск с акробатами балансирует, если центр масс системы совпадает с опорой O. Разложите движение по осям координат и найдите, где должен идти третий брат.
▶ОтветСкрыть
Сначала третий брат идёт по отрезку \(OD\) (точка \(D\) — на диаметре, противоположном \(C\)) со скоростью \(v\), затем по отрезку \(DA\) со скоростью \(\sqrt{2}\,v\).
▶РешениеСкрыть
Введём систему координат с центром в \(O\). Первый брат: \(x_1 = 0\), \(y_1 = -R + vt\). За время прохода \(AO\) второй брат проходит такой же путь по вертикали и оказывается в \(C\), поэтому его скорость по оси \(y\) равна \(v\), а по оси \(x\) тоже \(v\) (отрезок идёт под \(45^\circ\)): \(x_2 = -vt\), \(y_2 = R - vt\).
Равновесие диска относительно оси \(x\): моменты сил тяжести первого и второго братьев \(mgy_1 + mgy_2 = 0\), значит, третий брат должен иметь \(y_3 = 0\). Относительно оси \(y\): момент второго брата \(mgx_2\) уравновешивается моментом третьего: \(x_3 = -x_2 = vt\). Итак, на первом этапе третий брат идёт от \(O\) к точке \(D\) со скоростью \(v\).
На втором этапе первый брат стоит в \(O\) и не создаёт момента. Чтобы уравновесить второго, третий должен идти симметрично второму относительно центра диска, то есть по отрезку \(DA\). Его скорость равна скорости второго брата, то есть \(\sqrt{2}\,v\) (составляющие по осям по \(v\)).
зад 5 «Гидростатический парадокс»
Два стеклянных сосуда в форме одинаковых конусов высотой \(h\) соединены тонкой стеклянной трубочкой, как показано на рисунке. Сверху оба сосуда открыты в атмосферу. В сосуды до половины высоты налита жидкость комнатной температуры. Известно, что плотность жидкости зависит от температуры по закону \(\rho = \rho_0 \dfrac{1}{1 + \alpha(t - t_0)}\). Здесь \(\rho_0\) — плотность жидкости при комнатной температуре \(t_0\), \(\alpha\) — известный постоянный коэффициент. Тепловым расширением стекла пренебрегите.
А. Насколько увеличится уровень жидкости в сосудах при изменении температуры на малую величину \(\Delta t\)? Б. Какой объём жидкости протечёт по трубочке, соединяющей сосуды?
Известно, что объём конуса можно вычислить по формуле \(V = Sh/3\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота конуса.
▶ПодсказкаСкрыть
Масса жидкости в сосудах не меняется; объём растёт по закону \(V = V_0(1 + \alpha\,\Delta t)\). Прирост объёма распределяется по свободной поверхности двух сосудов.
▶ОтветСкрыть
А. \(\Delta h = \dfrac{2\alpha h\,\Delta t}{3}\). Б. \(\dfrac{\alpha S h\,\Delta t}{8}\).
▶РешениеСкрыть
Суммарный объём жидкости в начале \(V_0 = Sh/3\), её масса \(m = \rho_0 V_0\) не меняется. При нагревании на \(\Delta t\) объём становится \(V = V_0(1 + \alpha\Delta t)\), то есть растёт на \(\Delta V = \alpha V_0 \Delta t\). Это приращение распределяется по свободной поверхности двух сосудов, суммарная площадь которой (при половине высоты) равна \(S/2\). Поэтому \[\Delta h = \frac{\alpha V_0\,\Delta t}{S/2} = \frac{2\alpha h\,\Delta t}{3}.\]
Б. В начале в правом сосуде жидкость — конус, подобный сосуду с коэффициентом \(1/2\) по размерам, и её объём равен \(V_0/8\), в левом — \(7V_0/8\). Прирост \(\Delta V\) распределяется по двум сосудам поровну, значит, в правом сосуде прирост равен \(\Delta V/2\). Из него \(\Delta V/8\) — тепловое расширение жидкости, которая осталась в правом сосуде, поэтому по трубочке перетекает \[\frac{3\,\Delta V}{8} = \frac{\alpha S h\,\Delta t}{8}.\]
зад 6 Подводный дом
Для исследователей океанских глубин сделали подводные модульные домики кубической формы. Домики подвешены на некоторой глубине и со всех сторон окружены водой с температурой \(t_0 = +10^\circ\text{C}\). Для поддержания температуры внутри домика используют электрический нагреватель постоянной мощности. Внутри одиночного домика с включённым нагревателем температура воздуха установилась на уровне \(t = +19^\circ\text{C}\). Исследователи соединили четыре модуля вместе, образовав большой дом в форме буквы Г (см. рисунок). Какая температура установится в каждой секции такого дома, если мощность нагревателей останется прежней?
Примечание: считайте, что все 6 стен одного модуля одинаково проводят тепло. Когда два модуля стыкуют, стена между ними имеет двойную толщину. Модули герметичные, соседние модули соединяют только для уменьшения потерь тепла. Соседние модули между собой не сообщаются.
▶ПодсказкаСкрыть
Из симметрии крайние секции имеют одинаковую температуру, и средние тоже. Составьте баланс тепла для одной крайней и одной средней секции.
▶ОтветСкрыть
Крайние секции (1 и 4): \(t_1 \approx 21^\circ\text{C}\); средние секции (2 и 3): \(t_2 \approx 23{,}2^\circ\text{C}\).
▶РешениеСкрыть
Для одиночного домика \(P = 6\alpha(t - t_0)\). В модульном доме у крайней секции пять внешних стен и одна общая со средней, у средней — четыре внешних и две общие с соседями. Стена между модулями имеет двойную толщину, поэтому её теплопроводность вдвое меньше. Из симметрии \(t_1 = t_4\), \(t_2 = t_3\), и баланс тепла для крайней и средней секций: \[P = 6\alpha(t - t_0) = 5\alpha(t_1 - t_0) + \frac{\alpha}{2}(t_1 - t_2),\] \[P = 6\alpha(t - t_0) = 4\alpha(t_2 - t_0) + \frac{\alpha}{2}(t_2 - t_1).\] Решая систему, получаем \[t_1 = \frac{120\,t - 22\,t_0}{98} \approx 21^\circ\text{C}, \qquad t_2 = \frac{12\,t - 4\,t_0 + t_1}{9} \approx 23{,}2^\circ\text{C}.\]
зад 7 Растворимость соли
Растворимость хлорида калия KCl в воде сильно зависит от температуры. На графике показана максимальная масса KCl, которая растворяется в 100 г чистой воды в зависимости от температуры. Растворение KCl в воде происходит с поглощением энергии, удельная теплота растворения \(q = 245\) Дж/г. В калориметр, содержащий \(m_1 = 100\) г воды при температуре \(t_1 = 80^\circ\text{C}\), засыпали \(m_2 = 100\) г KCl при такой же температуре и хорошо перемешали.
А. Какая температура установится в сосуде, когда система придёт в равновесное состояние? Б. Какая масса KCl останется на дне сосуда в виде не растворившегося осадка? В. Сосуд начинают медленно нагревать, так что в воде всегда растворено максимально возможное количество KCl при данной температуре. Чему равна теплоёмкость содержимого сосуда?
Теплообменом с окружающей средой пренебрегите. Теплоёмкость воды \(c_1 = 4200\) Дж/(кг·\(^\circ\)C), теплоёмкость KCl в твёрдом и в растворённом состоянии одинакова и равна \(c_2 = 700\) Дж/(кг·\(^\circ\)C).
▶ПодсказкаСкрыть
Уравнение теплового баланса: тепло, поглощённое при растворении, равно теплу, которое остывающая вода и соль отдают. Найдите на графике точку пересечения этой прямой с кривой растворимости.
▶ОтветСкрыть
А. \(57^\circ\text{C}\). Б. \(55\) г осадка (растворилось \(45\) г). В. \(C \approx 551\) Дж/\(^\circ\)C.
▶РешениеСкрыть
Баланс тепла: \(m_1 c_1 (t_1 - t) + m_2 c_2 (t_1 - t) = q\,m\), где \(m\) — растворившаяся масса KCl. Отсюда \[t = t_1 - \frac{q\,m}{m_1 c_1 + m_2 c_2}.\] Это прямая на графике «масса — температура»; её пересечение с кривой растворимости даёт \(t = 57^\circ\text{C}\) и растворившуюся массу \(m = 45\) г. Значит, на дне останется \(100 - 45 = 55\) г KCl.
В. При нагревании растёт и температура, и растворённая масса соли. Баланс: \(Q = (m_1 c_1 + m_2 c_2)\,\Delta t + q\,\Delta m\). По касательной к кривой растворимости \(\Delta m = 0{,}25\) г на \(1^\circ\text{C}\). Тогда \[C = \frac{Q}{\Delta t} = m_1 c_1 + m_2 c_2 + q\,\frac{\Delta m}{\Delta t} \approx 551~\text{Дж/}^\circ\text{C}.\]
зад 8 Воздушная пружина
Экспериментальный тур, задача 8.1. Список оборудования: шприц с пружиной внутри, электронные весы, деревянная рейка, лист бумаги формата А4, 5 спичек, деревянный брусок, герметично закрытый шприц, внутри которого находится воздух объёмом \(20\) мл при атмосферном давлении.
Задание:
С помощью выданного оборудования определите коэффициент жёсткости пружины.
Со времён Бойля и Мариотте известно, что в герметично закрытом шприце произведение давления воздуха на его объём есть величина постоянная, которая зависит от массы воздуха и его температуры. Определите атмосферное давление внутри шприца.
Оцените, до какого объёма сожмётся наш герметично закрытый шприц, если внутри него окажется пружина из первого шприца, под действием силы в \(10\) Н, в \(40\) Н? В этом пункте трением поршня о стенки шприца и объёмом пружины можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Шприц можно использовать как линейку: сравните его деления с размером, отложенным по бумаге. Силы, которые весы не могут измерить напрямую, найдите по правилу рычага.
▶ОтветСкрыть
1) \(k \approx 900\) Н/м; 2) \(p_{атм} \approx 10^5\) Па; 3) \(V \approx 14{,}9\) мл при \(F = 10\) Н и \(V \approx 9{,}5\) мл при \(F = 40\) Н.
▶РешениеСкрыть
1. Размер деления шприца определяем по бумаге: диаметр \(d\) шприца откладываем спичками, получаем \(d \approx 5{,}55\) деления; объём \(20\) мл соответствует \(483{,}6\) деления в кубе, отсюда одно деление \(\approx 3{,}46\) мм. Силу весы не показывают напрямую (зашкаливают), поэтому собирают рычаг: по правилу рычага \(F/P = L/S\), где \(P = mg\) — вес, который давит на весы. Усреднённые показания при движении вверх и вниз (трение поршня меняет знак) дают \(P \approx 3{,}1\) Н; \(L = 140\) и \(S = 20\) делений; \(F \approx 21{,}7\) Н при удлинении \(x = 7\) делений \(\approx 24{,}2\) мм. Тогда \(k = F/x \approx 900\) Н/м.
2. По условию \(pV = p_{атм} V_0\). Для воздуха внутри шприца \(p - p_{атм} = F/S\), поэтому \(p_{атм} = \dfrac{F V}{S(V_0 - V)}\). Измерено: \(F = 29\) Н при \(V = 10\) мл, площадь поршня \(S = 290\) мм\(^2\). Получаем \(p_{атм} \approx 10^5\) Па.
3. При силе \(F\) давление внутри изменится на \(\Delta p = F/S\) и \(V = \dfrac{p_{атм} V_0}{p_{атм} + \Delta p}\). При \(F = 10\) Н: \(\Delta p \approx 34{,}5\) кПа, \(V \approx 14{,}9\) мл — пружина не сжимается, поэтому её не учитываем. При \(F = 40\) Н: \(\Delta p \approx 138\) кПа; пружина, в недеформированном состоянии занимающая \(12\) мл, сжимается, и с учётом силы упругости \(F_{упр} = k(V_1 - V)/S\) получаем \(V \approx 9{,}5\) мл.
зад 9 Серый ящик
Экспериментальный тур, задача 8.2. Список оборудования: серый ящик, два мультиметра.
Внутри выданного вам серого ящика находится два резистора и идеальный источник напряжения, соединённый последовательно с третьим резистором. Эти элементы соединены друг с другом по одной из схем, представленных на рисунке. При этом полярность включения источника может быть любой, не обязательно такой, как на рисунке.
Определите, какая из схем использована в вашем сером ящике.
Определите соответствие выходов серого ящика (подписаны цифрами на коробочке) выходам \(a\), \(b\), \(c\) на рисунке, если известно, что \(R_2\) больше, чем \(R_1\).
Найдите сопротивления всех резисторов и напряжение источника.
▶ПодсказкаСкрыть
Измерьте напряжения и сопротивления между всеми парами выходов. Для точного измерения учитывайте внутреннее сопротивление вольтметра: \(R_v\) определите отдельно.
▶ОтветСкрыть
Схема «Звезда»; выходы: \(a\) — 2, \(b\) — 3, \(c\) — 1; \(R_1 \approx 1035\) кОм, \(R_2 \approx 2335\) кОм, \(R_3 \approx 3651\) кОм, \(U \approx 1{,}36\) В.
▶РешениеСкрыть
Показания мультиметров при трёх парах выходов: напряжения \(U_{12} = 192\) мВ, \(U_{23} = 236\) мВ, \(U_{31} = 0\); сопротивление вольтметра \(R_v = 988\) кОм, его используют как амперметр не будем (показания амперметра лежат в пределах погрешности).
Малое напряжение \(U_{31}\) говорит о схеме «Звезда» (вольтметр подключён к \(bc\)), а для «Треугольника» напряжения на остальных выходах должны были бы совпасть, что не наблюдается. Значит, схема — «Звезда».
Сопротивление между выходами \(3\)–\(1\) с вольтметром: \(R^* = 764\) кОм, откуда \(R_1 + R_2 = 3370\) кОм. Два вольтметра, соединённые последовательно, дают ещё одно уравнение для \(U_{23}^* = 201\) мВ. Решая систему линейных уравнений, получаем \(R_1 = 2335\) кОм, \(R_2 = 1035\) кОм, \(R_3 = 3651\) кОм, \(U = 1{,}36\) В. Но \(R_2 < R_1\) противоречит условию, значит, выходы определены неверно. На самом деле \(a\) — 2, \(b\) — 3, \(c\) — 1, а \(R_2 = 2335\) кОм, \(R_1 = 1035\) кОм.
Источник: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по физике, 2025/26, заключительный этап, 8 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.