зад 1 «Простая» задача
Внимание! Задачи могут иметь не одно единственное решение. Постарайтесь найти все!
Два приятеля-одноклассника решили участвовать в олимпиаде по физике и попросили своего учителя подготовить для них ряд задач соответствующей сложности. Когда они ознакомились с предложенными задачами, то одна из них вызвала удивление обоих приятелей. Звучала она так:
«Железнодорожный вагон с песком общей массой \(M\) катится по инерции со скоростью \(V\) по горизонтальному пути. Пуля массой \(m\) со скоростью \(U\) летит ему вдогонку и, пробив заднюю стенку, застревает в песке. Определить тепловой эффект (\(Q\)) удара, т.е. энергию, перешедшую при этом в тепло».
«Ну что это за задача? Тут и решать-то нечего», – сказал учителю один из приятелей. «Да она вообще устная и решается за полминуты», – поддержал его другой.
На это учитель предложил им подойти к доске и каждому на своей половине привести это «простое» решение. Действительно, не прошло и 30 секунд, как дело было сделано. Но каково же было удивление ребят, когда они увидели, что ответы у них совершенно разные. Более того, каждому из них ответ другого тоже казался правильным. Вот эти решения:
А) В системе отсчета, связанной с «землей», скорость пули до и после попадания равна, соответственно, \(U\) и \(V\). Потерянная пулей кинетическая энергия как раз и составляет тепловой эффект: \[Q = \frac{m(U^2 - V^2)}{2}.\]
В) В системе отсчета, связанной с вагоном, скорость пули до попадания равна \((U - V)\), а после – 0. Здесь тоже потеря пулей кинетической энергии составляет тепловой эффект, но уже другой: \[Q = \frac{m(U - V)^2}{2}.\]
В своих «простых» решениях оба подсознательно исходили из того «очевидного» факта, что в силу реального соотношения масс пули и вагона, скорость последнего останется после попадания пули практически такой же. Во всяком случае, ее изменение будет столь ничтожным, что им «по-любому» можно пренебречь.
Так кто же из приятелей прав, «А», или «В»?
А если оба неправы, то кто все-таки ближе к истине?
И в чем точно эта истина (\(Q\)) заключается?
▶ПодсказкаСкрыть
Подумайте, в какой системе отсчета тепловой эффект определён однозначно, и что меняется при переходе от системы «земли» к системе вагона. Скорость вагона после попадания пули не обязательно остаётся прежней.
зад 2 Вниз «кувырком»
На самом краю массивного стола вертикально (в состоянии неустойчивого равновесия) стоит гантель. Она представляет собою невесомый тонкий стержень длиной \(l\) с маленькими гладкими шариками на концах массой \(m\) каждый. Вплотную к гантели придвинут ящик с вертикальными стенками. Коэффициент трения между столом и ящиком \(\mu\). В некоторый момент гантель теряет равновесие и начинает опрокидываться, как это показано на рисунке, т.е. верхний шарик медленно отделяется от ящика и начинает движение по дуге радиуса \(l\) перпендикулярно плоскости стенки, к которой был прижат. Нижний шарик какое-то время будет оставаться прижатым к столу и ящику. Но когда угол отклонения гантели от вертикали достигает некоторого значения, нижний шарик срывается со стола, и гантель продолжает свое движение уже в свободном полете.
Найти этот угол отрыва (\(\varphi_{\text{о}}\)), если ящик не сдвинулся с места.
Какая минимальная масса ящика (\(M_{\min}\)) гарантирует его неподвижность?
При какой минимальной высоте стола (\(H_{\min}\)) гантель ударится о пол плашмя, т.е. обоими шариками одновременно?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Для угла отрыва найдите, когда нижний шарик перестаёт давить на стол и ящик. Для минимальной массы ящика рассмотрите горизонтальные силы, действующие на ящик, а для высоты стола — движение гантели как свободного тела после отрыва.
зад 3 «Павильон катальной горки»
На детской площадке из досок построена горка, которую зимой заливают для катания детей на санках, «ледянках», «ватрушках» и т.п. Высота ее \(h = 3\) м, а длина наклонной плоскости \(l = 5\) м. Летом, увы, горка простаивала без дела. Но вот кто-то из школьников нашел в Интернете, что в одном из парков под Санкт-Петербургом есть некий «Павильон катальной горки», где еще Екатерина II забавляла гостей, устраивая им летом катания с крутых горок на тележках. Не отсюда ли, думают многие, пошли «русские горы» в Америке и уже потом (как всегда у нас) «американские» в России?
Те горки, к сожалению, не сохранились, но идея вдохновила ребят. Изобретательные старшеклассники тут же решили ее опробовать и из подручных средств соорудили тележку. Она состоит из плоской алюминиевой плиты массой \(m_{\text{п}} = 4\) кг и четырех колес массой \(m_{\text{о}} = 6\) кг каждое (ничего более подходящего не нашлось). Колеса устроены так, что практически вся их масса сосредоточена во внешнем тонком металлическом ободе с резиновым покрытием. На горке был сделан плавный переход с наклонной плоскости на землю, и катания начались. Чтобы не пачкать одежду о металл, на плиту всегда клали тонкий лист картона. Катание на тележке заинтересовало и маленьких детей. Однако вскоре выяснилось, что кататься можно далеко не всем. Если вес ребенка не превышал 20 кг, то во время спуска он вместе с картонным листом начинал соскальзывать с плиты вниз, и ему необходимо было держаться за нее руками, чтобы не «нырнуть» под тележку.
Определить, какую в этой ситуации максимальную величину (\(\mu_{\max}\)) мог иметь коэффициент трения между алюминиевой плитой и картонной прокладкой.
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите, с каким ускорением едет тележка по склону: колеса с тонким ободом вращаются, и их масса почти вся на ободе. Затем найдите ускорение картона с ребёнком и сравните с ускорением плиты.
зад 4 Кто быстрее?
Шарик массой \(m_1\) налетает на неподвижный шарик массой \(m_2\). Происходит абсолютно упругий центральный удар. Скорости шариков после этого удара различаются (по модулю) в 2 раза. Найти отношение (\(m_2/m_1\)) масс этих шариков.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите законы сохранения импульса и энергии для упругого центрального удара. Заметьте, что скорости после удара могут быть направлены как одинаково, так и противоположно.
зад 5 Двое на одной «лыжне».
На бесконечную горизонтальную спицу плотно (т.е. без люфта) надеты две легких бусинки сферической формы разного радиуса, которые могут свободно скользить по этой спице без трения. Изначально бусинки покоятся на некотором расстоянии друг от друга. В момент \(t_{\text{о}}=0\) вдоль спицы со стороны большей бусинки начинает светить лазер, оказывая на нее световое давление постоянной силы. Другая бусинка закрыта от луча и не испытывает его давления, продолжая оставаться в покое. В момент \(t_1=T\) (т.е. через время \(T\) после включения лазера) большая бусинка сталкивается с меньшей. Считая столкновение центральным и абсолютно упругим:
определить момент (\(t_2=?\)) их второго столкновения;
определить моменты (\(t_3, t_4, t_5, \ldots, t_n, \ldots\)) всех последующих столкновений бусинок;
каким будет среднее (за очень большой промежуток времени) ускорение каждой из бусинок (\(\langle a_1\rangle\) и \(\langle a_2\rangle\)), если задать все необходимые параметры (массы \(m_1\) и \(m_2\), силу светового давления \(F\))?
▶ПодсказкаСкрыть
Пока бусинки не сталкиваются, каждая движется с постоянным ускорением. Подумайте, как движется центр масс системы бусинок под действием постоянной силы, и что происходит со скоростями бусинок при каждом упругом столкновении.
зад 6 «Золотая середина»
В закрытом цилиндре находится массивный теплопроводящий поршень. По обе стороны от него находятся одинаковые количества одного и того же идеального газа. Поршень без трения может скользить по стенкам цилиндра, но при этом герметично разделяет обе части его объема и, кроме того, обеспечивает своей теплопроводностью равенство их температур. Таким образом, при горизонтальном положении цилиндра поршень находится посередине, разделяя объем на две равные части. Если при абсолютной температуре \(T_{\text{о}}\) цилиндр поставить вертикально, поршень установится на уровне, разделяющем объем верхней и нижней частей в отношении \(V_{\text{В}} : V_{\text{Н}} = 3:1\) (см. рисунок). Каким будет это отношение (\(V^*_{\text{В}} : V^*_{\text{Н}}\)) при температуре \(T^* = 3T_{\text{о}}\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите уравнение состояния для каждой части газа; так как температуры частей равны, а количества газа одинаковы, отношение давлений и объемов связано простой зависимостью.
зад 7 Вообразил – сообразил – изобразил
Замкнутый цикл идеального газа состоит из трех процессов, которые представлены изобарой (\(P=\text{const}\)), изохорой (\(V=\text{const}\)) и политропой \(P/V=\text{const}\). Изобразить этот цикл на трех диаграммах с осями, соответственно, (\(P;V\)), (\(P;T\)) и (\(V;T\)). Стрелками указать направление цикла.
▶ПодсказкаСкрыть
На политропе \(P/V=\text{const}\) давление пропорционально объему; выразите через это температуру как функцию объема и постройте каждую диаграмму по точкам цикла.
зад 8 «Неровная» прямая
Процесс сжатия (или расширения) 1 моля идеального газа имеет на \(PV\)-диаграмме вид отрезка прямой с концами в точках (\(P_1 ; V_1\)) и (\(\beta P_1 ; V_1/\beta\)), где \(\beta\) – произвольное положительное число. Найти минимальную (\(T_{\min}\)) и максимальную (\(T_{\max}\)) температуру газа в этом процессе и указать параметры (\(P ; V\)), соответствующие этим случаям.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите температуру через \(P\) и \(V\) с помощью уравнения состояния и подставьте уравнение отрезка прямой: получится квадратичная функция координаты вдоль отрезка. Исследуйте её на экстремум.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2010/11, отборочный этап, 10 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.