СПбГУ, 2010/11, заключительный этап, 10 класс

К противоположным стенам комнаты (шириной \(L=3\) м) прикрепили на одном уровне концы легкого резинового троса такой же длины \(L\). Затем к середине троса подвесили груз и аккуратно отпустили. В итоге груз «просел» на «глубину» \(h=2\) м относительно исходного уровня. Какой окажется длина троса (\(L^*\)), если один его конец закрепить на потолке, а к другому подвесить тот же груз? Считать, что груз не касается пола.

Из картонного прямоугольника произвольного размера вырезан прямоугольник меньшего размера так, что один угол (отрезанный) у них совпадает (см. рис.). Соотношение сторон у вырезанного прямоугольника также произвольно. Пользуясь только карандашом и линейкой (без делений) и не прибегая к измерениям и расчетам, требуется построением найти центр масс получившейся фигуры. Дать общий алгоритм построения.

На столе стоит тонкостенная цилиндрическая муфта (иными словами – отрезок трубы). Все размеры муфты и коэффициент трения между ней и столом считать известными. Стол начинают медленно наклонять. При некотором угле наклона муфта начнет двигаться. Ответьте на 2 не связанных друг с другом вопроса:

а) С чего начнется движение – со скольжения или с опрокидывания? Дать критерий!

б) Пусть движение муфты началось со скольжения. Сможет ли муфта при дальнейшем движении опрокинуться, если наклон стола продолжают увеличивать? Если да, то при каком угле наклона это произойдет? Размеры стола считать неограниченными.

На снегу стоят санки массой \(M=10\) кг. На них лежит коробка массой \(m=5\) кг. Известны коэффициенты трения санок о снег (\(\mu_{\text{о}}=0{,}1\)) и о коробку (\(\mu_1=0{,}7\)). С какой горизонтальной силой (\(F\)) надо тянуть коробку, чтобы сдернуть её с санок?

В кислородном баллоне объемом \(V_1=10\) л давление газа \(P_1=14\) атмосфер. Он стоит на складе, где поддерживается температура \(T_0=+7^\circ\text{C}\). Туда принесли еще 2 баллона: один из цеха (его параметры \(V_2=30\) л, \(P_2=50\) ат, \(T_2=+27^\circ\text{C}\)), а другой с улицы (\(V_3=20\) л, \(P_3=26\) ат, \(T_3=-13^\circ\text{C}\)). Все 3 баллона соединили короткими шлангами и открыли вентили, сделав их объемы сообщающимися. Найти общее давление (\(P_0\)) и температуру (\(T_0\)) в баллонах сразу после перемешивания, считая, что теплообмен с атмосферой еще не начался. Какое давление (\(P^*\)) установится после теплообмена с атмосферой?

В гладкостенной трубе два тяжелых поршня массами \(m_1\) и \(m_2\) движутся навстречу друг другу со скоростями, соответственно, \(V_1\) и \(V_2\). Между поршнями находится один моль идеального газа при температуре \(T_0\). За поршнями – вакуум. Какие скорости (соответственно, \(V_1^*\) и \(V_2^*\)) будут иметь поршни в пределе (через большой промежуток времени после максимального их сближения)? Массой газа пренебречь. Процесс считать адиабатическим.

В сосуде объемом \(V=10\) л при температуре \(t=100^\circ\text{C}\) и давлении \(P=1\) атм. находится воздух с относительной влажностью \(\varphi=0{,}3\). Затем туда изотермически добавили некоторое количество воды, после чего относительная влажность оказалась равной \(\varphi_1=0{,}8\). Определить массу введенной воды (\(m\)) и установившееся в сосуде давление (\(P_1\)). Далее содержимое сосуда изотермически сжимают в 2 раза. Какими после этого станут давление (\(P_2\)) и влажность (\(\varphi_2\))? Считать, что для всех газов в сосуде применимо уравнение Клапейрона-Менделеева.

1. Найти сопротивление (\(R_{AB}\)) между точками «А» и «В» в схеме, изображенной на рисунке.

2. Каким станет сопротивление (\(R_{AB+}\)) между точками «А» и «В», если в схеме на приведенном рисунке ключ К замкнуть? \(R_1=6\) Ом, \(R_2=30\) Ом, \(R_3=20\) Ом.

3. Определить напряжение (\(U_{AB}\)) между точками «А» и «В», если через ключ К потечет ток \(I_K = 12\) А.

Грибник в лесу вдруг вспомнил, что ему надо поспешить на последний автобус, а времени – в обрез. Он имел спутниковую навигационную систему, по которой быстро сориентировался. Оказалось, что кратчайший путь до шоссе (по перпендикуляру) составляет \(h=3\) км, а оттуда по прямому шоссе до остановки идти еще \(L=4\) км. Грибник понимал, что время, затраченное на этот путь (\(T_1\)), как и на прямой путь через лес к остановке (\(T_2\)), будет не самым коротким. Зная свою максимальную скорость в лесу (\(V_1=2{,}5\) км/ч) и по шоссе (\(V_2=6{,}5\) км/ч), он, чуть подумав, выбрал на шоссе нужную «точку прицела» и пошел к ней через лес напрямик. Какой путь (\(S\)) ему останется пройти по шоссе к остановке, если эта «точка прицела» обеспечивает минимальное время путешествия? Чему равно это время (\(T_{\min}\))? Каков выигрыш времени по сравнению с \(T_1\) и \(T_2\)?

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2010/11, заключительный этап, 10 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.