зад 1 Колебания груза на резиновом тросе
К противоположным стенам комнаты (шириной \(L=3\) м) прикрепили на одном уровне концы легкого резинового троса такой же длины \(L\). Затем к середине троса подвесили груз и аккуратно отпустили. В итоге груз «просел» на «глубину» \(h=2\) м относительно исходного уровня. Определить период малых вертикальных колебаний груза около этого положения.
▶ПодсказкаСкрыть
Считайте, что в положении равновесия натяжение троса уравновешивает вес груза, а малые вертикальные смещения вызывают прирост натяжения вдоль наклонных участков троса. Удобно найти эффективную жёсткость системы.
зад 2 Центр масс выреза из картона
Из картонного прямоугольника произвольного размера вырезан прямоугольник меньшего размера так, что один угол (отрезанный) у них совпадает (см. рис.). Соотношение сторон у вырезанного прямоугольника также произвольно. Пользуясь только карандашом и линейкой (без делений) и не прибегая к измерениям и расчетам, требуется построением найти центр масс получившейся фигуры. Дать общий алгоритм построения.
▶ПодсказкаСкрыть
Разбейте фигуру на два прямоугольника с известными центрами масс. Центр масс системы лежит на отрезке, соединяющем центры частей, и делит его обратно пропорционально массам.
зад 3 Опрокидывание и скольжение муфты
На столе вертикально стоит тонкостенная цилиндрическая муфта (иными словами – отрезок трубы). Все размеры муфты и коэффициент трения между ней и столом считать известными. Стол начинают медленно наклонять. При некотором угле наклона муфта начнет двигаться. Ответьте на 2 не связанных друг с другом вопроса:
а) С чего начнется движение – со скольжения или с опрокидывания? Дать критерий!
б) Пусть движение муфты началось со скольжения. Сможет ли муфта при дальнейшем движении опрокинуться, если наклон стола продолжают увеличивать? Если да, то при каком угле наклона это произойдет? Размеры стола считать неограниченными.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните угол, при котором начинается скольжение (сила трения покоя достигает предела), с углом, при котором центр масс муфты выходит за её нижнее основание.
зад 4 Смешение трёх кислородных баллонов
В кислородном баллоне объемом \(V_1=10\) л давление газа \(P_1=14\) атмосфер. Он стоит на складе, где поддерживается температура \(T_0=+7^\circ\text{C}\). Туда принесли еще 2 баллона: один из цеха (его параметры \(V_2=30\) л, \(P_2=50\) ат, \(T_2=+27^\circ\text{C}\)), а другой с улицы (\(V_3=20\) л, \(P_3=26\) ат, \(T_3=-13^\circ\text{C}\)). Все 3 баллона соединили короткими шлангами и открыли вентили, сделав их объемы сообщающимися. Найти общее давление (\(P_0\)) и температуру (\(T_0\)) в баллонах сразу после перемешивания, считая, что теплообмен с атмосферой еще не начался. Какое давление (\(P^*\)) установится после теплообмена с атмосферой?
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала учтите, что после соединения баллонов газ занимает суммарный объём и складывается из порций разного давления, температуры и количества вещества. Затем подумайте, какая величина сохраняется при смешении газов без теплообмена.
зад 5 Поршни в трубе с газом
В гладкостенной трубе два тяжелых поршня массами \(m_1\) и \(m_2\) движутся навстречу друг другу со скоростями, соответственно, \(V_1\) и \(V_2\). Между поршнями находится один моль идеального газа при температуре \(T_0\). За поршнями – вакуум. Какие скорости (соответственно, \(V_1^*\) и \(V_2^*\)) будут иметь поршни в пределе, т.е. через большой промежуток времени после максимального их сближения? Массой газа пренебречь. Процесс считать адиабатическим.
▶ПодсказкаСкрыть
Газ между поршнями при сжатии нагревается и совершает работу, а после максимального сближения расширяется в вакуум без работы. Используйте законы сохранения импульса и энергии.
зад 6 Сопротивления с ключом
Найти сопротивление (\(R_{AB}\)) между точками «А» и «В» в схеме, изображенной на рисунке.
Каким станет сопротивление (\(R_{AB+}\)) между точками «А» и «В», если в схеме на приведенном рисунке ключ К замкнуть? \(R_1=6\) Ом, \(R_2=30\) Ом, \(R_3=20\) Ом.
Определить напряжение (\(U_{AB}\)) между точками «А» и «В», если через ключ К потечет ток \(I_K = 12\) А.
▶ПодсказкаСкрыть
Определите, какие точки схемы соединены проводами без сопротивления и каким узлам на самом деле принадлежат резисторы. При замкнутом ключе сравните сопротивления, при которых токи через ключ отличаются.
зад 7 «Сэндвич» из четырёх пластин
«Сэндвич» состоит из четырех одинаковых тонких металлических пластин A, B, C и D (черные полоски на рисунке), проложенных листами тонкой бумаги с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) (серые полоски на рисунке) и плотно прижатых друг к другу. Площадь каждой пластины и бумажной прокладки равна \(S\), толщина бумаги \(d\) (причем \(d^2 \ll S\)).
а) Какова электроемкость (\(C_{BD}\)) между пластинами B и D в исходном состоянии, когда все пластины свободны (изолированы друг от друга)?
б) Какой станет электроемкость (\(C^*_{BD}\)) между пластинами B и D, если пластины A и C соединить между собой тонким металлическим проводом?
▶ПодсказкаСкрыть
Пластины B и D соединены через три последовательных слоя бумаги, каждый из которых образует конденсатор. Подумайте, какие пластины оказываются под одним потенциалом после соединения A и C.
зад 8 Раскручивание обруча с зарядом
Круглый тонкий металлический обруч массой \(m\) несет на себе заряд \(Q\) и лежит на гладком горизонтальном полу в вертикальном однородном магнитном поле индукции \(B\). Обруч начинают раскручивать в горизонтальной плоскости вокруг его вертикальной оси, постепенно увеличивая угловую скорость (см. рис.). Когда она достигает значения \(\omega_1\), материал обруча не выдерживает растягивающего усилия и разрывается. Если бы обруч раскручивали в обратную сторону, его предел прочности на разрыв достигался бы при меньшей угловой скорости. Найти ее значение (\(\omega_2\)). Прочность на сжатие считать достаточной. Упругими деформациями до момента разрыва пренебречь. Перечислить все факторы, способствующие или препятствующие растяжению и разрыву обруча. Указать характер их зависимости от частоты (\(\omega\)).
▶ПодсказкаСкрыть
Разберите силы, растягивающие обруч: при вращении заряженного обруча на него действует сила Лоренца, направленная к оси или от неё, в зависимости от направления вращения относительно поля.
зад 9 Оптическая сила линзы над ручьём
Когда солнце находится в зените, его четкое изображение на дне ручья глубиной \(H=80\) см получают, удерживая собирающую линзу в горизонтальном положении на высоте \(h=40\) см над поверхностью воды. Определить оптическую силу линзы (\(D\)). Показатель преломления воды \(n_{\text{о}}=4/3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Солнечные лучи параллельны, поэтому линза фокусирует их в своей фокальной плоскости. Учтите, что свет проходит через слой воздуха, а затем через воду, и изображение на дне образуется при преломлении на поверхности воды.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2010/11, заключительный этап, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.