зад 1 Резиновый трос
К противоположным стенам комнаты (шириной \(L=3\) м) прикрепили на одном уровне концы легкого резинового троса такой же длины \(L\). Затем к середине троса подвесили груз и аккуратно отпустили. В итоге груз «просел» на «глубину» \(h=2\) м относительно исходного уровня. Какой окажется длина троса (\(L^*\)), если один его конец закрепить на потолке, а к другому подвесить тот же груз? Считать, что груз не касается пола.
▶ПодсказкаСкрыть
Натяжение резинового троса растёт с его удлинением. Сначала найдите из равновесия груза натяжение полутросов по заданной глубине провисания, затем сравните удлинение троса в обоих опытах.
зад 2 Центр масс картонной фигуры
Из картонного прямоугольника произвольного размера вырезан прямоугольник меньшего размера так, что один угол (отрезанный) у них совпадает (см. рисунок). Соотношение сторон у вырезанного прямоугольника также произвольно. Пользуясь только карандашом и линейкой (без делений) и не прибегая к измерениям и расчетам, требуется построением найти центр масс получившейся фигуры. Дать общий алгоритм построения.
▶ПодсказкаСкрыть
Фигуру удобно разбить на два прямоугольника: центр масс каждого лежит на пересечении его диагоналей. Общий центр масс лежит на отрезке, соединяющем эти точки, и делит его обратно пропорционально массам частей.
зад 3 Муфта на наклонном столе
На столе стоит тонкостенная цилиндрическая муфта (иными словами – отрезок трубы). Все размеры муфты и коэффициент трения между ней и столом считать известными. Стол начинают медленно наклонять. При некотором угле наклона муфта начнет двигаться. Ответьте на 2 не связанных друг с другом вопроса:
а) С чего начнется движение – со скольжения или с опрокидывания? Дать критерий!
б) Пусть движение муфты началось со скольжения. Сможет ли муфта при дальнейшем движении опрокинуться, если наклон стола продолжают увеличивать? Если да, то при каком угле наклона это произойдет? Размеры стола считать неограниченными.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните наклон стола, при котором начинается скольжение, с углом, при котором линия действия силы тяжести выходит за основание муфты. Что меняется, когда муфта начинает скользить?
зад 4 Хрупкий обруч
Тонкий обруч радиусом \(R\) и массой \(m\) сделан из хрупкого материала. Материал этот практически не деформируется от механических нагрузок вплоть до достижения ими предела прочности, при котором сразу же разрушается. Хуже всего он сопротивляется растягивающим усилиям. Если, например, из подобных обручей сделать цепь и подвесить её за крайнее звено к потолку, то она разорвётся под собственной тяжестью, когда количество звеньев превысит некоторое конкретное число. Найти это число (\(N_0\)) по результатам следующего эксперимента. При скатывании такого обруча без проскальзывания с наклонной плоскости, он остаётся целым, если начинает движение с высоты \(H_0\) или меньшей. Если же старт начинается выше, то обруч, не успев доехать до конца, разрывается силами инерции.
▶ПодсказкаСкрыть
Растягивающее усилие в обруче при его вращении создаётся центростремительным ускорением элементов обруча. Сравните предельное усилие, которое выдерживает материал, с усилием, возникающим при качении с высоты \(H_0\).
зад 5 Летающие тарелки
Два приятеля занимаются стрельбой из пневматического ружья по «летающим тарелкам». Один из них выбрасывает из окна верхнего этажа различные ненужные предметы, а другой с земли (стоя под этим окном) пытается их сбить. Стрелок всегда держит ствол под углом \(\alpha = \operatorname{arctg}(5/12)\) к вертикали и на каждый бросок мгновенно реагирует выстрелом. Напарник выбрасывает «тарелки» с различной скоростью, но всегда вверх под одним и тем же углом к горизонту \(\alpha = \operatorname{arctg}(3/4)\). При какой скорости выбрасывания «тарелки» (\(V^*\)) происходит попадание, если скорость вылета пули из ружья \(V_0 = 26\) м/с. Сколько времени (\(T\)) «живёт» и на каком расстоянии (\(L\)) от дома «гибнет» подбитая «тарелка», если она вылетает с высоты \(h = 33\) м над стрелком? Сопротивлением воздуха пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Пуля и «тарелка» имеют одинаковое ускорение свободного падения, поэтому в системе отсчёта, связанной с «тарелкой», пуля движется равномерно и прямолинейно. Используйте это при поиске момента выстрела.
зад 6 Конический маятник на пружине
На пружине жесткостью \(k = 100\) Н/м к потолку подвесили груз массой \(m = 8\) кг и раскрутили его в горизонтальной плоскости так, что он начал ходить по кругу, а пружина – описывать коническую поверхность (см. рисунок). В самом конце процесса, когда движение груза почти затухло и угол пружины с вертикалью стал исчезающее малым, период обращения груза по окружности асимптотически подошёл к значению \(T = \pi\) с. Чему равна длина пружины (\(L_0\)) в ненапряжённом состоянии?
▶ПодсказкаСкрыть
При малом угле отклонения пружины её растяжение почти не меняется, а горизонтальная сила натяжения определяет центростремительное ускорение. Вспомните, как связан период конического маятника с эффективной длиной подвеса, учитывая растяжение пружины от веса груза.
зад 7 Санки и коробка
На снегу стоят санки массой \(M = 10\) кг. На них лежит коробка массой \(m = 5\) кг. Известны коэффициенты трения санок о снег (\(\mu_0 = 0{,}1\)) и о коробку (\(\mu_1 = 0{,}7\)). С какой горизонтальной силой (\(F\)) надо тянуть коробку, чтобы сдернуть её с санок?
▶ПодсказкаСкрыть
Коробка сдёргивается, когда её ускорение начинает превышать ускорение санок. Запишите второй закон Ньютона для каждого тела отдельно и сравните силы трения, действующие на них.
зад 8 Погрузка песка на ленту
Погрузка песка в различные ёмкости осуществляется с ленты транспортёра, которая движется горизонтально и равномерно со скоростью \(V_0 = 2\) м/с. Песок вертикально падает из бункера на ленту и быстро на ней «успокаивается». Интенсивность (\(\mu\)) подачи песка, т.е. количество песка, падающего на ленту за одну секунду, составляет \(\mu = 50\) кг/с. Найти следующие параметры:
а) силу (\(F\)), с которой мотор тянет ленту транспортёра;
б) мощность (\(W_0\)), потребляемую мотором, принимая его КПД за 100%;
в) выделяемую в песке и ленте тепловую мощность (\(W_T\)), считая, что песок падает из бункера на ленту с высоты \(h = 20\) см.
▶ПодсказкаСкрыть
Песок, попадая на ленту, за короткое время приобретает её горизонтальную скорость: за секунду это меняет импульс системы на величину, которую задаёт сила трения мотора. Энергия, подводимая мотором, распределяется между кинетической энергией песка и теплом.
зад 9 Тень треугольника
Из картона вырезан произвольный неравнобедренный треугольник \(ABC\) с тупым углом \(\alpha\) при вершине «\(A\)» (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Может ли его тень (\(A^*B^*C^*\)) от солнца на плоской поверхности иметь вид прямоугольного равнобедренного треугольника с прямым углом \(\alpha^*\) (тень угла \(\alpha\))? Дать алгоритм (если «да») или доказать невозможность (если «нет»).
▶ПодсказкаСкрыть
Солнечные лучи параллельны, поэтому тень — параллельная проекция. Такая проекция сохраняет отношения длин отрезков на одной прямой и параллельность, но не углы: подумайте, как меняется угол при наклоне плоскости.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2010/11, заключительный этап, 9 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.