СПбГУ, 2011/12, отборочный этап, 11 класс

Действующая микромодель автомобиля имеет двигатель внутреннего сгорания и два топливных бака – один с бензином, другой с газом. На газе двигатель развивает ускорение \(a_{\text{г}} = 3\) м/с\(^2\), и газа в баке хватает на работу в течение \(t_{\text{г}} = 6\) с. На бензине двигатель развивает ускорение \(a_{\text{б}} = 4\) м/с\(^2\), и бензина хватает на работу в течение \(t_{\text{б}} = 3\) с. Топливо можно использовать в произвольном порядке (в любой момент баки можно мгновенно включать, выключать и переключать, но нельзя включать их одновременно). При отключенных или пустых баках модель идет по инерции с постоянным тормозящим ускорением \(a_{\text{о}} = -2\) м/с\(^2\). Программа переключений вводится в модель перед стартом и по ходу движения не меняется. Кроме того, в модель вмонтирован так называемый «черный ящик». Это прибор, который включается в момент старта и работает до полной остановки модели. В каждый момент \(t\) он одновременно и независимо фиксирует значения нескольких кинематических параметров, в том числе мгновенную скорость \(v(t)\), пройденный путь \(S(t)\) и среднюю скорость \(V_{\text{ср}}(t)\), достигнутую на текущий момент с начала старта. Определите максимально возможные значения каждого из указанных параметров «черного ящика». Найдите соответствующие им моменты времени.

Города «А» и «В» расположены на одном меридиане по разные стороны от экватора, но на одинаковом от него расстоянии. Таким образом, их географические широты в Северном и, соответственно, в Южном полушариях задаются одним и тем же числом. В нашем случае оно равно \(\varphi_{\text{о}}\). Между этими городами прорыт сквозь толщу земли прямой тоннель (см. рисунок), в котором проложен железнодорожный путь. В пренебрежении диссипативными силами, сообщение между городами «А» и «В» можно осуществлять без затрат каких-либо посторонних источников энергии. Вагон без начального толчка просто отпускается в свободное движение по тоннелю из одного пункта в другой. Поскольку тоннель в любой точке имеет «гравитационный» уклон к своей середине, то силы земного притяжения на первой половине пути будут разгонять вагон, а на второй – столь же успешно тормозить его, так что в конечном пункте вагон остановится сам.

1. Сколько времени займет это путешествие? (Подсказка: установите аналогию между движением вагона в тоннеле и колебаниями груза на пружинке).

2. К потолку вагона подвешен математический маятник, период колебаний которого в нормальных условиях равен \(T_{\text{о}}\). В каких пределах будет изменяться период его колебаний (от \(T_{\min}\) до \(T_{\max}\)) во время такого путешествия?

3. Каким будет период колебаний маятника, если вагон остановить в том месте тоннеля (черная точка на рисунке), из которого направление на центр Земли составляет угол \(\alpha\) с экваториальной плоскостью?

Землю считать однородным шаром. Вращением Земли пренебречь.

К тонкому обручу массой \(m = 0{,}8\) кг (например, обод велосипедного колеса) привязывают снаружи один конец легкого нерастяжимого тонкого троса и плотно наматывают на обод несколько витков. К другому концу троса привязывают груз массой \(M\). Затем трос перекидывают через легкий блок, закрепленный на вершине высокого гладкого столба, и удерживают всю систему в положении, указанном на рисунке. При этом обе части троса, свисающие с блока, находятся в вертикальном положении, а обруч касается столба. После того, как систему отпускают, обруч начинает раскручиваться (против часовой стрелки на рисунке), и одновременно его центр начинает двигаться вниз. При этом груз все время остается на исходном уровне. Найти массу груза (\(M\)) и ускорение центра обруча (\(a\)).

Расстояние между передней и задней осями автомобиля равно \(L\), а расстояние между левыми и правыми колесами составляет величину \(b\). Центр масс автомобиля расположен на высоте \(h\) над дорогой и проецируется на нее между осями на расстоянии \(\beta L\) от проекции передней оси (\(0 \le \beta \le 1\)). Коэффициент трения между шинами и дорожным покрытием равен \(\mu\).

1. Предположим, что на горизонтальном участке дороги автомобиль входит в крутой поворот на недопустимо высокой скорости. С чего начнется для него ДТП (дорожно-транспортное происшествие) – с опрокидывания набок или с заноса в кювет)?

2. Какое максимальное ускорение (\(a^*\)) сможет развить такой автомобиль на прямом горизонтальном участке дороги, если у мотора избыточная мощность, ведущими являются задние колеса, а сцепление с дорогой (\(\mu\)) достаточно велико?

3. При каком минимальном значении коэффициента трения (\(\mu_{\min}\)) можно достичь такого ускорения?

Подчеркнем, что при полной разгрузке передних колес автомобиль полностью теряет рулевое управление, что, впрочем, не препятствует его прямолинейному движению в течение какого-то времени. А вот дальнейшее ускорение уже приводит к опрокидыванию назад. Проще всего этот эффект демонстрируется на мощном мотоцикле. Профессиональные мотогонщики очень часто поднимают своего «коня» «на дыбы» после победного финиша. При этом они, естественно, не доводят дело до «логического конца». А вот иные «любители» быстрых стартов нередко тут же и «финишируют», уже на спине.

Газовый процесс задан уравнением \(P \cdot V^n = \text{const}\), где \(n\) – произвольное число (\(-\infty < n < +\infty\)). Приведенное соотношение называется «уравнением политропы», число \(n\) – ее показателем, а сам процесс – политропическим. В таком виде можно представить любой газовый процесс (если не на всей \(PV\)-диаграмме, то, по крайней мере, в некоторой ее области, пусть и очень маленькой). В таком процессе молярная (т.е., в расчете на 1 моль) теплоемкость газа (\(C\)) остается неизменной.

Для ответа на следующие вопросы воспользуйтесь основными соотношениями I-го начала (1-го закона) термодинамики в дифференциальной форме. Руководствуйтесь также определением и самым общим смыслом таких понятий, как «теплоемкость» и «удельный». Последнее означает «в расчете на количественную единицу» (например: «кг», «м\(^n\)», штука, дюжина, моль и т.д.)

1. Чему равен показатель политропы для каждого из четырех стандартных изопроцессов (изобарный, изохорный, изотермический, адиабатический)?

2. Как количественно оценить (не по формулам, а из общих соображений) теплоемкость газа в изотермическом (\(C_{\text{т}}\)) и адиабатическом (\(C_{\text{s}}\)) процессах?

3. (основной). Какова (в самом общем виде) молярная теплоемкость одноатомного газа (\(C_n\)) в политропическом процессе с показателем \(n\)? Обобщить полученный результат для любого газа, молекулы которого имеют \(i\) степеней свободы. Сопоставить полученную для \(C_n\) формулу (из вопроса №3) с известными значениями \(C_p\) и \(C_v\), а также с результатами оценок из вопроса №2.

Тепловая машина работает на одноатомном газе. Ее полный цикл состоит из трех изопроцессов: изобарный – изохорный – адиабатический, причем положительная работа совершается при изобарном процессе.

1. Какова верхняя теоретическая граница (\(\eta^*\)) для КПД такой машины, если не накладывать ограничений (ни сверху, ни снизу) на ее предельные параметры \(P\), \(V\), \(T\)?

2. Можно ли, поменяв указанные изопроцессы «ролями», создать машину с более высоким КПД? Если да, то какова его верхняя граница?

Внутри тонкой изолированной металлической сферы концентрически расположен металлический шар втрое меньшего радиуса. Сфере сообщают заряд \(Q\), в результате чего она приобретает потенциал \(\varphi_{\text{о}}\). Каким станет потенциал шара (\(\varphi_{\text{ш1}}\))? Затем через маленькое отверстие в сфере шар заземляют тонким проводом. Какой заряд (\(q_{\text{ш}}\)) натечет при этом на шар? Какими теперь окажутся потенциалы сферы (\(\varphi_{\text{с2}}\)) и шара (\(\varphi_{\text{ш2}}\))? Затем шар отсоединяют от земли, и после этого заземляют уже сферу. Какой заряд (\(q_{\text{с}}\)) останется на сфере? Какими после всех этих процедур окажутся окончательные потенциалы сферы (\(\varphi_{\text{с3}}\)) и шара (\(\varphi_{\text{ш3}}\))?

В схеме, указанной на рисунке, все сопротивления одинаковы и равны \(R = 10\,\Omega\). Идеальные источники тока имеют ЭДС \(\varepsilon_1 = 10\) В и \(\varepsilon_2 = 20\) В соответственно. Три взаимно удаленных друг от друга металлических шара радиусами, соответственно, \(r_1 = 90\) см, \(r_2 = 1{,}8\) м и \(r_3 = 90\) см подсоединены к схеме длинными тонкими проводами, как показано на рисунке. Найти токи (\(I_1\) и \(I_2\)), протекающие через первый и второй источник, и заряды (\(Q_1\), \(Q_2\) и \(Q_3\)), натекшие на каждый из шаров, если изначально они были не заряжены.

По длинному тонкому прямому проводнику течет постоянный ток \(I\). Проводник изгибают в середине так, что он приобретает вид плоской U-образной дуги с параллельными сторонами и закруглением в виде полуокружности радиуса \(R\) (см. рисунок). В центр этой полуокружности помещают плоскую круглую проволочную рамку радиусом \(r\) (\(r \ll R\)) и начинают ее вращать с постоянной угловой скоростью \(\omega\) вокруг оси «\(ab\)». Ось лежит в плоскости дуги и проходит через диаметр рамки. Найти амплитуду (\(\varepsilon_{\text{о}}\)) переменной ЭДС, индуцированной вращением рамки в магнитном поле, создаваемом током \(I\). Неоднородностью магнитного поля в районе рамки пренебречь.

Оптическая ось собирающей линзы лежит в плоскости квадрата (\(ABCD\)), проходя через его центр. Стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны плоскости линзы, причем расстояние от \(AB\) до линзы больше расстояния от \(CD\) до линзы в \(n\) раз (\(n = 5/3\)). Известно также, что изображения диагоналей квадрата взаимно перпендикулярны.

1. Чему равно отношение (\(S/S^*\)) площади квадрата (\(S\)) к площади его изображения (\(S^*\))?

2. (исследовательский) Как нужно сдвинуть квадрат, чтобы обе площади стали равными? Иными словами, какое новое значение нужно придать параметру \(n\)? Приведите ответ, или укажите любой разумный путь, ведущий к нему (кроме числового подбора).

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2011/12, отборочный этап, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.