зад 1 Перелёт против ветра
Город «А» расположен на экваторе. Из него нужно как можно быстрее перелететь на самолёте в город «В», который относительно «А» расположен западнее на \(h = 300\) км и севернее на \(l = 160\) км. С севера ровно вдоль меридиана дует сильный ветер со скоростью \(V_0 = 28\) м/с (см. рис.). Для того, чтобы самолёт пролетел по прямой «АВ» за минимальное время (\(T_{AB}\)), пилот должен во время полёта «выжимать» из самолёта максимальную его скорость (\(V_{max}\)) и, при этом, поддерживать определённый угол между меридианом и корпусом самолёта. При старте этот угол (\(\alpha\)) задаётся направлением на некую точку «С» (см. рис.), расположенную на том же меридиане, что и город «В», но к северу от него на расстоянии \(l_{BC} = 560\) км. Найти максимальную скорость самолёта (\(V_{max}\)), скорость самолёта относительно земли при полёте по прямой «АВ» (\(V_{AB}\)) и время этого полёта (\(T_{AB}\)).
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость самолёта относительно земли равна векторной сумме его скорости относительно воздуха и скорости ветра. Чтобы лететь по прямой «АВ», угол \(\alpha\) должен быть таким, что боковая составляющая ветра компенсируется; сравните углы в треугольнике с вершинами «А», «В», «С».
зад 2 Два клина и тележка
На гладком полу на некотором расстоянии друг от друга стоят 2 клина одинаковой высоты \(h = 96\) см и массами \(M_1 = 5\) кг и \(M_2 = 4\) кг, соответственно. Их вогнутые наклонные поверхности обращены навстречу друг другу и обе по касательной выходят на плоскость пола. На вершине первого клина удерживается тележка массой \(m = 1\) кг, которую в некоторый момент отпускают без толчка (см. рисунок). Найти скорость 1-го клина (\(V_1\)) в момент, когда с него съедет тележка. С какой силой (\(N\)) тележка будет давить на второй клин в момент въезда на него, если радиус кривизны его наклонной поверхности \(R = 2\) м? Определить высоту (\(h^*\)), на которую тележка поднимется по 2-му клину и скорость этого клина (\(V_2\)) в момент, когда тележка с него съедет. Размерами тележки и трением пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Горизонтальный импульс системы «клинья и тележка» сохраняется, а механическая энергия сохраняется, так как трения нет. Когда тележка въезжает на второй клин, её скорость относительно клина направлена по касательной к его поверхности.
зад 3 Груз на пружине между тросами в комнате
В комнате высотой \(H = 3\) м и такой же шириной \(L = 3\) м к противоположным стенам напротив друг друга подвесили 2 лёгких нерастяжимых троса длиной \(l_1 = 2{,}5\) м и, соответственно, \(l_2 = 1{,}3\) м. Причём 2-й трос подвесили под самым потолком, а 1-й несколько ниже. Свободные концы тросов связали друг с другом тонким узлом, к которому на очень жёсткой лёгкой короткой пружине подвесили маленький груз массой \(m = 4{,}8\) кг. При этом 1-й трос принял горизонтальное положение (см. рис.).
Найти натяжение тросов (\(T_1\) и \(T_2\)) при условии, что груз не коснулся пола.
Найти натяжение тросов (\(T^*_1\) и \(T^*_2\)) при условии, что пружину заменили на более мягкую, которая под весом груза растянулась до пола (см. рисунок), причём жёсткость пружины \(K = 24\) Н/м, а её длина в ненапряжённом состоянии \(l_0 = 30\) см.
С какой силой (\(N\)) груз будет давить на пол в последнем случае.
▶ПодсказкаСкрыть
В первом случае узел находится в равновесии под действием трёх сил: силы тяжести груза и натяжений двух тросов. Геометрия комнаты задаёт направления тросов; во втором случае учтите, что груз касается пола, и пружина растянута весом груза.
зад 4 Нептун и период обращения
Планета Нептун вращается вокруг Солнца по орбите, форма которой лишь незначительно отличается от окружности. Средний радиус орбиты Нептуна (\(R_H\)) превосходит средний радиус земной орбиты вокруг Солнца (\(R_З\)) примерно в 30 раз (\(R_H/R_З \approx 30\)). Оценить (в земных годах) период (\(T_H\)) обращения Нептуна вокруг Солнца.
▶ПодсказкаСкрыть
Используйте третий закон Кеплера: квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей орбит, а для Земли период равен одному году.
зад 5 Баллон с сухим воздухом и водой
В открытом баллоне ёмкостью \(V = 10\) л находится сухой воздух при температуре \(T_0 = 25\,^\circ\)C и нормальном атмосферном давлении. В баллон добавляют \(m_1 = 3\) г воды, герметично закрывают и нагревают до \(T_1 = 100\,^\circ\)C. Определить давление в баллоне (\(P_1\)). Какое количество воды (\(\Delta m\)) необходимо добавить в баллон, чтобы давление в нём достигло максимально возможного при \(100\,^\circ\)C значения? Чему это давление (\(P_{max}\)) равно? Считать, что воздух и водяные пары описываются уравнением Клапейрона—Менделеева.
▶ПодсказкаСкрыть
Давление в баллоне складывается из парциальных давлений воздуха и пара. Пар при \(100\,^\circ\)C не может превышать давления насыщенного пара, а это ограничивает максимально возможное давление в баллоне.
зад 6 Треугольный цикл на одноатомном газе
Цикл тепловой машины на одноатомном газе имеет на PV-диаграмме вид треугольника с вершинами в точках \((P_1;V_1)\), \((7P_1;V_1)\), \((7P_1;7V_1)\). Найти КПД (\(\eta\)) тепловой машины. Изобразить цикл на всех трёх (PV, PT и VT) диаграммах.
▶ПодсказкаСкрыть
Определите, на каких участках цикла газ получает тепло: для одноатомного газа теплоёмкость при постоянном объёме равна \(\tfrac{3}{2}\nu R\). КПД — это отношение работы за цикл к полученному теплу.
зад 7 Поршень на пружине в открытом цилиндре
В открытом с одного конца горизонтальном цилиндре имеется гладкий (скользит без трения) поршень. Он прикреплён ко дну цилиндра пружиной. Когда по обе стороны поршня вакуум, то пружина не напряжена, и её длина равна \(L_0\) (см. рисунок). Если эту систему поместить в газовую атмосферу, то под поршнем останется вакуум, а внешнее давление на поршень будет сжимать пружину. При некотором значении атмосферного давления пружина сожмётся до 0 и поршень коснётся дна цилиндра. Если при этих условиях ввести 1 моль газа под поршень (т.е., в пространство между поршнем и дном), то от внутреннего давления пружина растянется, и её длина станет равной \(L_1 = L_0/3\). Какой будет длина пружины (\(L_\nu\)), если под поршень ввести не 1, а \(\nu\) молей газа? Дать ответ в общем виде (\(L_\nu\)) и конкретно для случая \(\nu = 4\) (\(L_4\)). Все процессы считать изотермическими, а длину цилиндра неограниченной.
▶ПодсказкаСкрыть
Условие равновесия поршня задаёт связь между жёсткостью пружины, давлением газа и атмосферным давлением. Так как процессы изотермические, давление пропорционально количеству газа, а удлинение пружины — силе, действующей на поршень.
зад 8 Два цилиндра с общей тягой
Поршни двух одинаковых цилиндров жёстко связаны общей тягой так, что объёмы под поршнями всегда равны друг другу. Цилиндры с одного конца открыты и находятся под атмосферным давлением \(P_0\) (см. рисунок). В обоих цилиндрах под поршнями находятся одинаковые массы воздуха при атмосферной температуре \(T_0\). Первый цилиндр теплоизолируют и охлаждают до температуры \(T^*\), оставляя второй цилиндр в прежних условиях. Найти давление в первом (\(P_1\)) и во втором (\(P_2\)) цилиндрах. Трением поршней о стенки цилиндра, а также массами тяги и поршней пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Поршни связаны тягой, значит, силы давления на них уравновешиваются атмосферой: сумма давлений под поршнями связана с \(P_0\). Объёмы равны, а массы воздуха одинаковы, поэтому давления в двух цилиндрах связаны уравнением состояния.
зад 9 Диск, трос и тяжёлый шар у кронштейна
На полу лежит тонкий круглый диск массой \(m_1 = 1{,}5\) кг. К центру диска прикреплён трос, который перекинут через блок, закреплённый на потолке. К другому концу троса на высоте \(H = 360\) см над диском привязан тяжёлый шар массой \(m_2 = 3{,}5\) кг. Под этим шаром на диске лежит маленький лёгкий шарик. Трос проходит через отверстие в кронштейне, вмонтированном в стену на высоте \(h = 50\) см от пола (см. рисунок). Каким будет натяжение троса (\(T\)) после того, как шар отпустят? Через какое время (\(t_0\)) после начала движения диск ударится о кронштейн? На какую высоту над полом (\(h^*\)) подлетит шарик? До какой минимальной высоты над полом (\(h_{min}\)) нужно поднять кронштейн, чтобы маленький шарик смог долететь до большого? Считать, что диск и большой шар мгновенно останавливаются после удара диска о кронштейн.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока шар и диск движутся вместе, натяжение троса определяется общим ускорением системы. Шарик на диске отрывается от него в момент, когда диск останавливается у кронштейна, и дальше летит вверх свободно.
▶ОтветСкрыть
1) \(T = 21\) Н; 2) \(t_0 = 0{,}5\) с; 3) \(h^* = 70\) см; 4) \(h_{min} = 1{,}5\) м.
зад 10 Ящики в желобе
Бетонный желоб глубиной \(H = 4\) м имеет в сечении вид равнобедренной трапеции (см. рисунок). Скаты \(AB\) и \(CD\) имеют длину \(L = 8{,}5\) м каждый, которая ничтожно мала по сравнению с шириной дна \(BC\). Между скатами и дном обеспечены плавные гладкие переходы. Маленький ящик массой \(m_1 = 2\) кг устанавливают на краю желоба в точке «А» и отпускают. На дне в центре желоба стоит ещё один ящик массой \(m_2 = 1\) кг (см. рисунок). Дно \(BC\) и скат \(CD\) покрыты льдом и являются гладкими поверхностями. Коэффициент трения между поверхностью \(AB\) и ящиками \(\mu = \tfrac12\). С какой скоростью (\(V_0\)) первый ящик ударится о второй? С какими скоростями (\(V_1\) и, соответственно, \(V_2\)) будут двигаться ящики после их абсолютно упругого столкновения? На какую высоту от дна (\(h_2\)) поднимется второй ящик по склону \(CD\)? Какой окажется скорость ящиков (\(V^*\)) после их второго столкновения, если оно будет абсолютно неупругим?
▶ПодсказкаСкрыть
На участке \(AB\) часть работы силы тяжести уходит на трение, поэтому скорость у дна считайте по энергии с учётом работы силы трения. При упругом ударе сохраняются импульс и кинетическая энергия.
▶ОтветСкрыть
1) \(V_0 = \sqrt{2al} = \sqrt5 \approx 2{,}24\) м/с; 2) \(V_1 \approx 0{,}75\) м/с, \(V_2 \approx 3{,}0\) м/с; 3) \(h_2 = 45\) см; 4) \(V^* = -0{,}5\) м/с.
зад 11 Монета в стеклянной чаше
В центре большого гладкого стола стоит стеклянная чаша массой \(M\). Её внутренняя поверхность представляет собой гладкую полусферу радиусом \(R\). К внутреннему краю чаши плашмя прижимают монету массой \(m\) (см. рисунок) и отпускают. Определить следующие параметры в момент прохождения монетой нижней точки чаши:
скорость монеты (\(v\)) и чаши (\(V\)) относительно стола;
величину смещения чаши (\(\Delta x\)) относительно стола;
силу давления (\(N\)) монеты на чашу.
▶ПодсказкаСкрыть
Горизонтальная составляющая импульса системы «чаша и монета» равна нулю, поэтому чаша и монета движутся в противоположные стороны. Энергия системы сохраняется, так как поверхность гладкая и стол не препятствует движению чаши.
▶ОтветСкрыть
1) \(v = \sqrt{\dfrac{2gRM}{m+M}} = 2\) м/с, \(V = \dfrac{vm}{M} = 0{,}4\) м/с; 2) \(\Delta x = \dfrac{Rm}{m+M} = 4\) см; 3) \(N = mg\,\dfrac{2m+3M}{M} \approx 1{,}36\) Н.
зад 12 Лазерный луч в зеркальном угле
Две бесконечные полуплоскости образуют двугранный угол \(\varphi\), внутренние поверхности которого являются зеркалами. Какое максимальное число отражений может претерпеть лазерный луч, произвольно запущенный в этот зеркальный угол?
▶ПодсказкаСкрыть
Развернём зеркальный угол: каждое отражение эквивалентно прямолинейному продолжению луча через зеркальную копию угла. Сколько копий угла может пересечь прямая, зависит от величины угла \(\varphi\).
▶ОтветСкрыть
\(N_{max} = \pi/\varphi\).
зад 13 Пар и воздух под поршнем
В цилиндре под поршнем находится смесь воздуха и водяного пара при температуре \(T = 100\,^\circ\)C и давлении \(P_1 = 1\) атм. После изотермического сжатия смеси в 3 раза давление в цилиндре оказалось равным \(P_2 = 2{,}8\) атм. Определить парциальное давление пара (\(P_п\)) и его плотность (\(\rho_п\)) в исходном состоянии. Считать, что воздух и водяной пар описываются уравнением Клапейрона—Менделеева.
▶ПодсказкаСкрыть
Сжатие в 3 раза при постоянной температуре увеличило бы давление втрое, если бы пар не конденсировался. Сравните результат с давлением насыщенного пара при \(100\,^\circ\)C.
▶ОтветСкрыть
1) \(P_п = 0{,}4\) атм; 2) \(\rho_п = 0{,}6\,\rho^f_{100} = 0{,}24\) г/л.
зад 14 Треугольный цикл с пятикратным ростом
Цикл тепловой машины на одноатомном газе имеет на PV-диаграмме вид треугольника с вершинами в точках \((P_1;V_1)\), \((5P_1;V_1)\), \((5P_1;5V_1)\). Найти КПД (\(\eta\)) тепловой машины. Изобразить цикл на всех трёх (PV, PT и VT) диаграммах.
▶ПодсказкаСкрыть
Работа за цикл равна площади треугольника на PV-диаграмме. Определите знак тепла на каждом участке и учтите, что у одноатомного газа \(C_V = \tfrac32 R\).
▶ОтветСкрыть
\(\eta = \dfrac{8}{1{,}5\cdot 24+20} \approx \dfrac17 \approx 14\%\).
зад 15 Поршень на пружине, пять молей газа
В открытом с одного конца горизонтальном цилиндре имеется гладкий (скользит без трения) поршень. Он прикреплён ко дну цилиндра пружиной. Когда по обе стороны поршня вакуум, то пружина не напряжена, и её длина равна \(L_0\) (см. рисунок). Если эту систему поместить в газовую атмосферу, то под поршнем останется вакуум, а внешнее давление на поршень будет сжимать пружину. При некотором значении атмосферного давления пружина сожмётся до 0 и поршень коснётся дна цилиндра. Если при этих условиях ввести 1 моль газа под поршень (т.е., в пространство между поршнем и дном), то от внутреннего давления пружина растянется, и её длина станет равной \(L_1 = L_0/3\). Какой будет длина пружины (\(L_\nu\)), если под поршень ввести не 1, а \(\nu\) молей газа? Дать ответ в общем виде (\(L_\nu\)) и конкретно для случая \(\nu = 4\) (\(L_4\)). Все процессы считать изотермическими, а длину цилиндра неограниченной.
▶ПодсказкаСкрыть
Это та же схема, что и в задаче 7, но с другими числами: при ту же связь между давлением газа и силой пружины запишите для произвольного \(\nu\).
▶ОтветСкрыть
\(L_\nu = \dfrac{L_0\sqrt{\nu}}{3}\); \(L_4 = \dfrac{2L_0}{3}\).
зад 16 Два кипятильника в сети
Кипятильник сопротивлением \(R_1 = 2\,\Omega\) (символ \(\Omega\) — классическое обозначение единицы «Ом»), включённый в некий источник тока, доводит воду в баке до кипения за время \(T = 18\) минут. Другой кипятильник, сопротивлением \(R_2 = 8\,\Omega\), делает ту же работу с тем же источником за то же самое время. Чему равно внутреннее сопротивление источника \(r_0\)? Кипятильник с каким сопротивлением (\(R_x\)) нужно включить в этот источник, чтобы вскипятить воду за минимальное время? Чему это время (\(T_x\)) равно? Теплопотерями пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Одинаковая работа за одно и то же время при разных сопротивлениях означает одинаковую мощность в нагрузке; так находится внутреннее сопротивление источника. Минимальное время достигается при согласовании нагрузки с внутренним сопротивлением.
▶ОтветСкрыть
1) \(r_0 = \sqrt{R_1R_2} = 4\) Ом; 2) \(R_x = r_0 = 4\) Ом; 3) \(T_x = 16\) мин.
зад 17 Диск, трос и шар у потолка
На полу лежит тонкий круглый диск массой \(m_1 = 1{,}5\) кг. На диске лежит маленький лёгкий шарик. К центру диска прикреплён трос, который перекинут через блок, закреплённый на потолке. К другому концу троса привязан тяжёлый шар массой \(m_2 = 3{,}5\) кг (см. рисунок). Каким будет натяжение троса (\(T\)) после того, как шар отпустят? Через какое время (\(t_0\)) после начала движения шар ударится о диск, если исходное расстояние между ними составляло \(h = 256\) см? На какую максимальную высоту над полом (\(h^*\)) подлетит маленький шарик?
▶ПодсказкаСкрыть
Пока шар падает, диск поднимается вместе с тросом, поэтому оба тела движутся с одинаковыми по модулю ускорениями. Шарик на диске улетает вверх при ударе шара о диск, его высота определяется скоростью диска в этот момент.
▶ОтветСкрыть
1) \(T = 21\) Н; 2) \(t_0 = 0{,}8\) с; 3) \(h^* = 179\) см.
зад 18 Обруч в желобе
Бетонный желоб глубиной \(H\) имеет в сечении вид равнобедренной трапеции с отлогими (не очень крутыми) скатами \(AB\) и \(CD\) и широким дном \(BC \gg H\) (см. рис.). Между скатами и дном обеспечены плавные переходы. Скат \(CD\) покрыт льдом и является гладкой поверхностью. На остальных двух поверхностях коэффициент трения достаточно высок.
Тонкий обруч радиусом \(r\) (\(r \ll H\)) устанавливают на краю желоба в точке \(A\) и отпускают. На какую высоту от дна (\(h_1\)) поднимется обруч по склону \(CD\)? На какую высоту (\(h_2\)) поднимется обруч по склону \(AB\) при обратном движении? Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
На гладком склоне \(CD\) обруч не вращается, а на шершавом \(AB\) он катится без проскальзывания: учтите, что при обратном движении кинетическая энергия поступательного движения переходит в энергию вращения.
▶ОтветСкрыть
1) \(h_1 = H/2\); 2) \(h_2 = 0\) (обруч остановится на дне из-за обратного вращения).
зад 19 Скорость тела у Луны
На поверхности Луны телу сообщили скорость \(V_0\), которая на \(0{,}5\%\) превосходит лунную вторую космическую скорость \(V_{II}\). Во сколько раз скорость тела вдали от Луны (\(V_\infty\)) будет меньше \(V_{II}\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите закон сохранения энергии для тела на поверхности и вдали от Луны. Вторая космическая скорость как раз соответствует нулевой полной энергии.
▶ОтветСкрыть
\(V_\infty^2 = V_0^2 - V_{II}^2 = 0{,}01\,V_{II}^2\), откуда \(V_\infty = 0{,}1\,V_{II}\): скорость меньше \(V_{II}\) в 10 раз.
зад 20 Шарик и движущаяся плита
Шарик роняют на высоте \(h\) над плитой. Плита движется вертикально вверх со скоростью \(v\). Определите время (\(T\)) между двумя последовательными упругими ударами тела о плиту.
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта плиты: в ней шарик отскакивает со скоростью, равной по модулю скорости, с которой он подлетел. Время между ударами в этой системе совпадает с временем полёта в поле тяжести.
▶ОтветСкрыть
\(T = \left(1+\dfrac{2gh}{v^2}\right)^{1/2}\dfrac{v}{g}\).
зад 21 Трапеция на PV-диаграмме
Цикл тепловой машины на одноатомном газе имеет на PV-диаграмме вид трапеции с вершинами в точках \((P_1;V_1)\), \((6P_1;V_1)\), \((6P_1;3V_1)\) и \((3P_1;3V_1)\). Найти КПД (\(\eta\)) тепловой машины. Изобразить цикл на всех трёх (PV, PT и VT) диаграммах.
▶ПодсказкаСкрыть
Разбейте цикл на участки, на каждом из которых давление или объём меняются линейно, и найдите на каждом участке, получает газ тепло или отдаёт.
▶ОтветСкрыть
\(\eta = \dfrac{8}{1{,}5\cdot 17+12} = \dfrac{16}{75} \approx 21\%\).
зад 22 Ртутный столбик в трубке
В запаянной с одного конца узкой стеклянной трубке, длина которой \(l = 70\) см, находится воздух, запертый сверху столбиком ртути высотой \(h = 20\) см. Ртуть доходит до верхнего края трубки. Трубку аккуратно переворачивают вверх дном, и часть ртути при этом выливается. Какова высота оставшегося столбика ртути, если атмосферное давление составляет \(H = 75\) см ртутного столба?
▶ПодсказкаСкрыть
Воздух в трубке сжимается при переворачивании, поэтому давление внутри него связано с длиной оставшегося воздушного столба. Запишите условие равновесия ртутного столбика в перевёрнутой трубке.
▶ОтветСкрыть
\(h_x = 3{,}5\) см.
зад 23 Воздух с водой под свободным поршнем
В цилиндре под свободным поршнем находится \(V_0 = 2\) л сухого воздуха при температуре \(T_0 = 25\,^\circ\)C и давлении \(P_0 = 2\) атм. В этот объём впрыскивают \(m = 4\) г воды. Каким станет объём смеси при её изобарном нагреве до температуры \(T_1 = 100\,^\circ\)C? Считать, что воздух и водяные пары описываются уравнением Клапейрона—Менделеева.
▶ПодсказкаСкрыть
Проверьте, успевает ли вся вода испариться при нагреве: сравните массу воды с массой, которая может находиться в виде пара при температуре \(100\,^\circ\)C в данном объёме. Давление в изобарном процессе постоянно.
▶ОтветСкрыть
\(V = 5\) л.
зад 24 Два кипятильника: параллельно и последовательно
Один кипятильник, включённый в стандартную сеть, доводит воду в чайнике до кипения за время \(T_1 = 7\) минут. Второй кипятильник делает то же самое за время \(T_2 = 3\) минуты. Какое время (\(T_{//}\)) займёт кипячение, если в чайник погрузить сразу оба кипятильника и включить их в сеть параллельно? Каков будет ответ (\(T_{--}\)) при последовательном включении кипятильников в сеть? Сопротивления кипятильников считать постоянными, теплопотерями пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Мощность кипятильника обратно пропорциональна времени кипячения. При параллельном и последовательном включении складываются проводимости либо сопротивления.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_{//} = \dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2} = 2{,}1\) мин; 2) \(T_{--} = T_1+T_2 = 10\) мин.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2011/12, заключительный этап, 10 класс — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.