СПбГУ, 2011/12, заключительный этап, 11 класс

Город «А» расположен на экваторе. Из него нужно как можно быстрее перелететь на самолёте в город «В», который относительно «А» расположен западнее на \(h = 300\) км и севернее на \(l = 160\) км. С севера ровно вдоль меридиана дует сильный ветер со скоростью \(V_0 = 28\) м/с (см. рис.). Для того, чтобы самолёт пролетел по прямой «АВ» за минимальное время (\(T_{AB}\)), пилот должен во время полёта «выжимать» из самолёта максимальную его скорость (\(V_{max}\)) и, при этом, поддерживать определённый угол между меридианом и корпусом самолёта (см. рис.). При старте этот угол (\(\alpha\)) задаётся направлением на некую точку «С» (см. рис.), расположенную на том же меридиане, что и город «В», но к северу от него на расстоянии \(l_{BC} = 560\) км. Найти максимальную скорость самолёта (\(V_{max}\)), скорость самолёта относительно земли при полёте по прямой «АВ» (\(V_{AB}\)) и время этого полёта (\(T_{AB}\)).

В комнате высотой \(H = 3\) м и такой же шириной \(L = 3\) м к противоположным стенам напротив друг друга подвесили 2 лёгких нерастяжимых троса длиной \(l_1 = 2{,}5\) м и, соответственно, \(l_2 = 1{,}3\) м. Причём 2-й трос подвесили под самым потолком, а 1-й несколько ниже. Свободные концы тросов связали друг с другом тонким узлом, к которому на очень жёсткой лёгкой короткой пружине подвесили маленький груз массой \(m = 4{,}8\) кг. При этом 1-й трос принял горизонтальное положение.

1. Найти натяжение тросов (\(T_1\) и \(T_2\)), если груз не касается пола.

2. Найти натяжение тросов (\(T^*_1\) и \(T^*_2\)) при условии, что пружину заменили на более мягкую, которая под весом груза растянулась до пола (см. рисунок), причём жёсткость пружины \(K = 24\) Н/м, а её длина в ненапряжённом состоянии \(l_0 = 30\) см.

3. С какой силой (\(N\)) груз будет давить на пол в последнем случае.

На шероховатом столе стоит чаша массой \(M\). Её внутренняя поверхность представляет собой гладкую полусферу радиусом \(R\). К верхнему внутреннему краю чаши плашмя прижимают монету массой \(m\) (см. рисунок) и отпускают. В результате взаимодействия с монетой чаша стронулась с места. При каком отношении масс чаши и монеты (\(\beta = M/m\)) это возможно, если коэффициент трения между чашей и столом равен \(\mu\)? Найти максимальное значение (\(\beta_{max}\)) этого отношения. Каким (при некотором заданном \(\beta\)) было бы максимальное смещение (\(x_{max}\)) чаши по столу, если бы трение между ними отсутствовало.

В открытом баллоне ёмкостью \(V = 10\) л находится сухой воздух при температуре \(T_0 = 25\,^\circ\)C и нормальном атмосферном давлении. В баллон добавляют \(m_1 = 3\) г воды, герметично закрывают и нагревают до \(T_1 = 100\,^\circ\)C. Определить давление в баллоне (\(P_1\)). Какое количество воды (\(\Delta m\)) необходимо добавить в баллон, чтобы давление в нём достигло максимально возможного при \(100\,^\circ\)C значения? Чему это давление (\(P_{max}\)) равно? Считать, что воздух и водяные пары описываются уравнением Клапейрона—Менделеева.

Цикл тепловой машины на одноатомном газе имеет на PV-диаграмме вид треугольника с вершинами в точках \((P_1;V_1)\), \((7P_1;V_1)\), \((7P_1;7V_1)\). Найти КПД (\(\eta\)) тепловой машины. Изобразить цикл на всех трёх (PV, PT и VT) диаграммах.

Открытый с одного конца горизонтальный цилиндр с плоским дном имеет внутренний радиус \(R\). В цилиндре имеется поршень, который может скользить по его стенкам без трения. Стенки цилиндра сделаны из диэлектрика, а дно и поршень являются проводниками. По обе стороны поршня находится воздух при атмосферном давлении \(P_o\). Если с поршня снять некоторый заряд и перенести его на дно, то поршень займёт равновесное положение на расстоянии \(L_o\) от дна (см. рисунок), причём \(L_o \ll R\). Поршень фиксируют в этом положении, а затем на короткое время соединяют с дном металлическим проводом, разряжая образовавшийся плоский конденсатор. После всех этих процедур поршень мгновенно отпускают, то он начнёт двигаться. Описать характер этого движения. Найти величину перенесённого заряда (\(Q\)), если максимальной скорости поршень достигнет на расстоянии \(L\) от дна. Определить возникшую при переносе заряда разность потенциалов (\(U\)) и напряжённость поля (\(E\)) между дном и поршнем, считая это поле однородным. Все газовые процессы считать изотермическими.

На любом серийном конденсаторе обязательно указываются два номинальных параметра — его электроёмкость \(C\) (в Фарадах) и максимально допустимое напряжение на нём \(U^*\) (в Вольтах). Например \(C\) (15 мкФ; 200 В). Какое максимальное напряжение можно приложить к концам последовательной цепочки из 3-х конденсаторов с номиналами: \(C_1\) (10 мкФ; 200 В), \(C_2\) (5 мкФ; 700 В) и \(C_3\) (40 мкФ; 100 В)?

В схеме на рисунке все резисторы (12 штук) одинаковы. Каждый из них имеет сопротивление \(R\). ЭДС источника равна \(\varepsilon\). Источник тока, соединительные провода и все три амперметра являются идеальными, т.е., имеют нулевое сопротивление. Определить показание каждого из трёх амперметров (\(I_1\), \(I_2\) и \(I_3\)) и полный ток (\(I_o\)), протекающий через источник. Найти полное сопротивление (\(R^*\)) цепи, подсоединённой к источнику. Указать разность потенциалов (\(U_{2,3}\)) между клеммами амперметра \(I_2\) и клеммами амперметра \(I_3\). Дать ответ в общем виде и конкретно для случая \(\varepsilon = 120\) В, \(R = 10\) Ом (греческая «омега» \(\Omega\) — классическое обозначение единицы «Ом»).

Из проволоки сделан плоский каркас в виде правильного шестиугольника со стороной \(L\). К соседним вершинам при помощи длинных прямых проводов, направленных в центр каркаса, подведён источник постоянного тока с ЭДС, равной \(\varepsilon\). Определить в центре шестиугольника величину вектора индукции магнитного поля (\(B\)), созданного возникшими токами, если электрическое сопротивление каждой из сторон каркаса равно \(R\), а источник тока и подводящие провода имеют нулевое сопротивление.

На столе стоит неглубокое круглое блюдце. Его внутренняя поверхность представляет собой сегмент зеркальной сферы. Над центром блюдца на высоте \(l\) от его дна висит точечный источник света \(S\). В блюдце наливают очень тонкий слой жидкости (см. рисунок). Фокусное расстояние этой оптической системы без жидкости (\(F_o\)) и с жидкостью (\(F_1\)) считать известным. В обоих случаях найти высоту изображения источника (\(h_o\) и \(h_1\), соответственно). Определить радиус зеркальной сферы (\(R\)) и показатель преломления жидкости (\(n\)). Поверхность жидкости считать плоской. Любыми отражениями света от неё пренебречь.

На полу лежит тонкий круглый диск массой \(m_1 = 1{,}5\) кг. К центру диска прикреплён трос, который перекинут через блок, закреплённый на потолке. К другому концу троса на высоте \(H = 360\) см над диском привязан тяжёлый шар массой \(m_2 = 3{,}5\) кг. Под этим шаром на диске лежит маленький лёгкий шарик. Трос проходит через отверстие в кронштейне, вмонтированном в стену на высоте \(h = 50\) см от пола (см. рисунок). Каким будет натяжение троса (\(T\)) после того, как шар отпустят? Через какое время (\(t_0\)) после начала движения диск ударится о кронштейн? На какую высоту над полом (\(h^*\)) подлетит шарик? До какой минимальной высоты над полом (\(h_{min}\)) нужно поднять кронштейн, чтобы маленький шарик смог долететь до большого? Считать, что диск и большой шар мгновенно останавливаются после удара диска о кронштейн.

Бетонный желоб глубиной \(H = 4\) м имеет в сечении вид равнобедренной трапеции (см. рисунок). Скаты \(AB\) и \(CD\) имеют длину \(L = 8{,}5\) м каждый, которая ничтожно мала по сравнению с шириной дна \(BC\). Между скатами и дном обеспечены плавные гладкие переходы. Маленький ящик массой \(m_1 = 2\) кг устанавливают на краю желоба в точке «А» и отпускают. На дне в центре желоба стоит ещё один ящик массой \(m_2 = 1\) кг (см. рисунок). Дно \(BC\) и скат \(CD\) покрыты льдом и являются гладкими поверхностями. Коэффициент трения между поверхностью \(AB\) и ящиками \(\mu = \tfrac12\). С какой скоростью (\(V_0\)) первый ящик ударится о второй? С какими скоростями (\(V_1\) и, соответственно, \(V_2\)) будут двигаться ящики после их абсолютно упругого столкновения? На какую высоту от дна (\(h_2\)) поднимется второй ящик по склону \(CD\)? Какой окажется скорость ящиков (\(V^*\)) после их второго столкновения, если оно будет абсолютно неупругим?

В центре большого гладкого стола стоит стеклянная чаша массой \(M\). Её внутренняя поверхность представляет собой гладкую полусферу радиусом \(R\). К внутреннему краю чаши плашмя прижимают монету массой \(m\) (см. рисунок) и отпускают. Определить следующие параметры в момент прохождения монетой нижней точки чаши:

1. скорость монеты (\(v\)) и чаши (\(V\)) относительно стола;

2. величину смещения чаши (\(\Delta x\)) относительно стола;

3. силу давления (\(N\)) монеты на чашу.

В цилиндре под поршнем находится смесь воздуха и водяного пара при температуре \(T = 100\,^\circ\)C и давлении \(P_1 = 1\) атм. После изотермического сжатия смеси в 3 раза давление в цилиндре оказалось равным \(P_2 = 2{,}8\) атм. Определить парциальное давление пара (\(P_п\)) и его плотность (\(\rho_п\)) в исходном состоянии. Считать, что воздух и водяной пар описываются уравнением Клапейрона—Менделеева.

Цикл тепловой машины на одноатомном газе имеет на PV-диаграмме вид треугольника с вершинами в точках \((P_1;V_1)\), \((5P_1;V_1)\), \((5P_1;5V_1)\). Найти КПД (\(\eta\)) тепловой машины. Изобразить цикл на всех трёх (PV, PT и VT) диаграммах.

Открытый с одного конца горизонтальный цилиндр имеет внутренний радиус \(R\). Гладкий (скользит без трения) поршень прикреплён ко дну цилиндра пружиной. Стенки цилиндра и пружина — диэлектрики, а дно и поршень — проводники. По обе стороны поршня вакуум, пружина не напряжена, и длина её равна \(L_o \ll R\) (см. рисунок). Если с поршня снять некоторый заряд и перенести его на дно, то кулоновские силы будут сжимать пружину. При величине перенесённого заряда, равной \(Q\), пружина сожмётся до 0 и поршень коснётся дна. Если же предварительно в пространство между поршнем и дном ввести 1 моль газа, то от заряда \(Q\) пружина сожмётся не до 0, а до величины \(L_1 = L_o/5\). Какой станет длина пружины (\(L_\nu\)), если при том же заряде содержание газа под поршнем довести до \(\nu\) молей? Дать ответ в общем виде (\(L_\nu\)) и конкретно (\(L_9\)) для случая \(\nu = 9\). Определить жёсткость пружины (\(K\)). Считать газовые процессы изотермическими, электрическое поле между дном и поршнем однородным, а длину цилиндра неограниченной.

\(N\) одинаковых маленьких шариков ртути раскатились по пластиковому полу далеко друг от друга. Каждый из них заряжен до потенциала \(\varphi_o\). Их собрали в одну сферическую каплю. Определить потенциал (\(\varphi^*\)) этой капли. Во сколько раз (\(n\)) изменилась плотность заряда на поверхности этой капли по сравнению с поверхностной плотностью заряда у исходных шариков? Дать ответ в общем виде и конкретно для случая \(N = 27\).

Кипятильник сопротивлением \(R_1 = 2\,\Omega\) (символ \(\Omega\) — классическое обозначение единицы «Ом»), включённый в некий источник тока, доводит воду в баке до кипения за время \(T = 18\) минут. Другой кипятильник, сопротивлением \(R_2 = 8\,\Omega\), делает ту же работу с тем же источником за то же самое время. Чему равно внутреннее сопротивление источника \(r_o\)? Кипятильник с каким сопротивлением (\(R_x\)) нужно включить в этот источник, чтобы вскипятить воду за минимальное время? Чему это время (\(T_x\)) равно? Теплопотерями пренебречь.

Стеклянная призма в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами \(a\), \(b\) и \(h\) лежит на гладком столе, опираясь на него своей гранью со сторонами \(a\) и \(b\). По периметру этой опоры призма плотно стянута одним витком тонкого провода, по которому течёт ток \(I\). Плотность стекла \(\rho\).

Включается однородное горизонтальное магнитное поле, направленное вдоль стороны \(b\). Индукция поля \(B\) медленно возрастает. Когда величина индукции достигает некоторого порогового значения, призма приходит в движение. Каков характер этого движения? Чему равно это пороговое значение (\(B^*\)) индукции?

Две собирающие линзы \(L_1\) и \(L_2\) с фокусными расстояниями, соответственно, \(F_1 = 20\) см и \(F_2 = 10\) см расположены на общей оптической оси так, что параллельный пучок лучей, падающих на одну из линз вдоль её главной оси, выходит из другой линзы также параллельным пучком вдоль этой же оси. На оптической оси этой системы со стороны первой линзы на расстоянии \(l_1 = 40\) см от неё находится точечный источник света \(S\) (см. рисунок). Построить изображение этого источника, определить его тип (действительное или мнимое) и указать расстояния (\(x_1\) и \(x_2\)) от него до каждой из линз.

На полу лежит тонкий круглый диск массой \(m_1 = 1{,}5\) кг. На диске лежит маленький лёгкий шарик. К центру диска прикреплён трос, который перекинут через блок, закреплённый на потолке. К другому концу троса привязан тяжёлый шар массой \(m_2 = 3{,}5\) кг (см. рисунок). Каким будет натяжение троса (\(T\)) после того, как шар отпустят? Через какое время (\(t_0\)) после начала движения шар ударится о диск, если исходное расстояние между ними составляло \(h = 256\) см? На какую максимальную высоту над полом (\(h^*\)) подлетит маленький шарик?

Бетонный желоб глубиной \(H\) имеет в сечении вид равнобедренной трапеции с отлогими (не очень крутыми) скатами \(AB\) и \(CD\) и широким дном \(BC \gg H\) (см. рис.). Между скатами и дном обеспечены плавные переходы. Скат \(CD\) покрыт льдом и является гладкой поверхностью. На остальных двух поверхностях коэффициент трения достаточно высок.

Тонкий обруч радиусом \(r\) (\(r \ll H\)) устанавливают на краю желоба в точке \(A\) и отпускают. На какую высоту от дна (\(h_1\)) поднимется обруч по склону \(CD\)? На какую высоту (\(h_2\)) поднимется обруч по склону \(AB\) при обратном движении? Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь.

На поверхности Луны телу сообщили скорость \(V_o\), которая на \(0{,}5\%\) превосходит лунную вторую космическую скорость \(V_{II}\). Во сколько раз скорость тела вдали от Луны (\(V_\infty\)) будет меньше \(V_{II}\)?

В цилиндре под свободным поршнем находится \(V_o = 2\) л сухого воздуха при температуре \(T_o = 25\,^\circ\)C и давлении \(P_o = 2\) атм. В этот объём впрыскивают \(m = 4\) г воды. Каким станет объём смеси при её изобарном нагреве до температуры \(T_1 = 100\,^\circ\)C? Считать, что воздух и водяные пары описываются уравнением Клапейрона—Менделеева.

Цикл тепловой машины на одноатомном газе имеет на PV-диаграмме вид трапеции с вершинами в точках \((P_1;V_1)\), \((6P_1;V_1)\), \((6P_1;3V_1)\) и \((3P_1;3V_1)\). Найти КПД (\(\eta\)) тепловой машины. Изобразить цикл на всех трёх (PV, PT и VT) диаграммах.

Один кипятильник, включённый в стандартную сеть, доводит воду в чайнике до кипения за время \(T_1 = 7\) минут. Второй кипятильник делает то же самое за время \(T_2 = 3\) минуты. Какое время (\(T_{//}\)) займёт кипячение, если в чайник погрузить сразу оба кипятильника и включить их в сеть параллельно? Каков будет ответ (\(T_{--}\)) при последовательном включении кипятильников в сеть? Сопротивления кипятильников считать постоянными, теплопотерями пренебречь.

Две маленькие проводящие сферические бусинки массами \(m_1\) и \(m_2\) могут скользить без трения по горизонтальной непроводящей гладкой спице неограниченного размера. Бусинкам сообщили одноимённые заряды \(q_1\) и, соответственно, \(q_2\) и развели на значительное расстояние друг от друга. Затем их одновременно отпустили, причём первой бусинке в этот момент импульсом сообщили скорость \(V_o\) в направлении второй. Определить минимальное расстояние (\(l_{min}\)), на которое сблизятся бусинки в процессе своего движения? Найти предельные значения скоростей бусинок (\(V_1\) и, соответственно, \(V_2\)) через большой промежуток времени после их максимального сближения.

Из металлической проволоки сечением \(S\) изготовлена жёсткая рамка в виде правильного треугольника со стороной \(a\). Она лежит на столе в вертикальном внешнем магнитном поле индукции \(B\), направленном вниз. По ней течёт ток \(I\) (направленный против часовой стрелки, если смотреть на рамку снизу). Пренебрегая электромагнитным взаимодействием сторон рамки друг с другом, определить механическое напряжение, испытываемое каждой из сторон во внешнем магнитном поле. Каким оно будет: растягивающим или сжимающим?

Оптическая схема собирающей линзы представлена на координатной плоскости \(XY\). Главная оптическая ось совпадает с осью абсцисс, а ось ординат лежит в плоскости линзы. Главные фокусы находятся в точках \((-3;0)\) и \((3;0)\). Концы прямого отрезка имеют координаты \((-4;1)\) и \((-2;1)\). Построить изображение этого отрезка и привести его аналитическую формулу вида \(y = f(x)\) с указанием области определения.

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2011/12, заключительный этап, 11 класс — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.