СПбГУ, 2011/12, заключительный этап, 9 класс

Город «А» расположен на экваторе. Из него нужно как можно быстрее перелететь на самолёте в город «В», который относительно «А» расположен западнее на \(h = 300\) км и севернее на \(l = 160\) км. С севера ровно вдоль меридиана дует сильный ветер со скоростью \(V_0 = 28\) м/с (см. рис.). Для того, чтобы самолёт пролетел по прямой «АВ» за минимальное время (\(T_{AB}\)), пилот должен во время полёта «выжимать» из самолёта максимальную его скорость (\(V_{max}\)) и, при этом, поддерживать определённый угол между меридианом и корпусом самолёта. При старте этот угол (\(\alpha\)) задаётся направлением на некую точку «С» (см. рис.), расположенную на том же меридиане, что и город «В», но к северу от него на расстоянии \(l_{BC} = 560\) км. Найти максимальную скорость самолёта (\(V_{max}\)), скорость самолёта относительно земли при полёте по прямой «АВ» (\(V_{AB}\)) и время этого полёта (\(T_{AB}\)).

Планета Нептун вращается вокруг Солнца по орбите, форма которой лишь незначительно отличается от окружности. Средний радиус орбиты Нептуна (\(R_H\)) превосходит средний радиус земной орбиты вокруг Солнца (\(R_З\)) примерно в 30 раз (\(R_H/R_З \approx 30\)). Оценить (в земных годах) период (\(T_H\)) обращения Нептуна вокруг Солнца.

В комнате высотой \(H = 3\) м и такой же шириной \(L = 3\) м к противоположным стенам напротив друг друга подвесили 2 лёгких нерастяжимых троса длиной \(l_1 = 2{,}5\) м и, соответственно, \(l_2 = 1{,}3\) м. Причём 2-й трос подвесили под самым потолком, а 1-й несколько ниже. Свободные концы тросов связали друг с другом тонким узлом, к которому на очень жёсткой лёгкой короткой пружине подвесили маленький груз массой \(m = 4{,}8\) кг. При этом 1-й трос принял горизонтальное положение (см. рис.).

1. Найти натяжение тросов (\(T_1\) и \(T_2\)) при условии, что груз не коснулся пола.

2. Найти натяжение тросов (\(T^*_1\) и \(T^*_2\)) при условии, что пружину заменили на более мягкую, которая под весом груза растянулась до пола (см. рисунок), причём жёсткость пружины \(K = 24\) Н/м, а её длина в ненапряжённом состоянии \(l_0 = 30\) см.

3. С какой силой (\(N\)) груз будет давить на пол в последнем случае.

На гладком полу на некотором расстоянии друг от друга стоят 2 клина одинаковой высоты \(h = 96\) см и массами \(M_1 = 5\) кг и \(M_2 = 4\) кг, соответственно. Их вогнутые наклонные поверхности обращены навстречу друг другу и обе по касательной выходят на плоскость пола. На вершине первого клина удерживается тележка массой \(m = 1\) кг, которую в некоторый момент отпускают без толчка (см. рисунок). Найти скорость 1-го клина (\(V_1\)) в момент, когда с него съедет тележка. С какой силой (\(N\)) тележка будет давить на второй клин в момент въезда на него, если радиус кривизны его наклонной поверхности \(R = 2\) м? Определить высоту (\(h^*\)), на которую тележка поднимется по 2-му клину и скорость этого клина (\(V_2\)) в момент, когда тележка с него съедет. Размерами тележки и трением пренебречь.

Шарик роняют на высоте \(h\) над плитой. Плита движется вертикально вверх со скоростью \(v\). Определите время (\(T\)) между двумя последовательными упругими ударами тела о плиту.

На столе вниз дном стоит цилиндрический стакан. Все размеры стакана и коэффициент трения между ним и столом считать известными. Дно стакана имеет такую же массу, как и стенки. Стол начинают медленно наклонять. При некотором угле наклона стакан начнёт двигаться. Ответьте на 2 не связанных друг с другом вопроса:

1. С чего начнётся движение — со скольжения или с опрокидывания? Дать критерий!

2. Пусть движение началось со скольжения, а наклон стола продолжают увеличивать. Сможет ли стакан при дальнейшем движении опрокинуться? Если да, то при каком угле наклона это произойдёт?

Две одинаковые тележки сцеплены пружиной, длина которой в ненапряжённом состоянии \(l_0\). Тележки стоят на полу и удерживаются в положении, при котором первая упирается в стену, а вторая прижата к первой так, что длина пружины сократилась на величину \(x_0\). Затем тележки отпускают. Определить максимальную (\(l_{max}\)) длину пружины в процессе дальнейшего движения тележек.

На полу лежит тонкий круглый диск массой \(m_1 = 1{,}5\) кг. К центру диска прикреплён трос, который перекинут через блок, закреплённый на потолке. К другому концу троса на высоте \(H = 360\) см над диском привязан тяжёлый шар массой \(m_2 = 3{,}5\) кг. Под этим шаром на диске лежит маленький лёгкий шарик. Трос проходит через отверстие в кронштейне, вмонтированном в стену на высоте \(h = 50\) см от пола (см. рисунок). Каким будет натяжение троса (\(T\)) после того, как шар отпустят? Через какое время (\(t_0\)) после начала движения диск ударится о кронштейн? На какую высоту над полом (\(h^*\)) подлетит шарик? До какой минимальной высоты над полом (\(h_{min}\)) нужно поднять кронштейн, чтобы маленький шарик смог долететь до большого? Считать, что диск и большой шар мгновенно останавливаются после удара диска о кронштейн.

Бетонный желоб глубиной \(H = 4\) м имеет в сечении вид равнобедренной трапеции (см. рисунок). Скаты \(AB\) и \(CD\) имеют длину \(L = 8{,}5\) м каждый, которая ничтожно мала по сравнению с шириной дна \(BC\). Между скатами и дном обеспечены плавные гладкие переходы. Маленький ящик массой \(m_1 = 2\) кг устанавливают на краю желоба в точке «А» и отпускают. На дне в центре желоба стоит ещё один ящик массой \(m_2 = 1\) кг (см. рисунок). Дно \(BC\) и скат \(CD\) покрыты льдом и являются гладкими поверхностями. Коэффициент трения между поверхностью \(AB\) и ящиками \(\mu = \tfrac12\). С какой скоростью (\(V_0\)) первый ящик ударится о второй? С какими скоростями (\(V_1\) и, соответственно, \(V_2\)) будут двигаться ящики после их абсолютно упругого столкновения? На какую высоту от дна (\(h_2\)) поднимется второй ящик по склону \(CD\)? Какой окажется скорость ящиков (\(V^*\)) после их второго столкновения, если оно будет абсолютно неупругим?

В центре большого гладкого стола стоит стеклянная чаша массой \(M\). Её внутренняя поверхность представляет собой гладкую полусферу радиусом \(R\). К внутреннему краю чаши плашмя прижимают монету массой \(m\) (см. рисунок) и отпускают. Определить следующие параметры в момент прохождения монетой нижней точки чаши:

1. скорость монеты (\(v\)) и чаши (\(V\)) относительно стола;

2. величину смещения чаши (\(\Delta x\)) относительно стола;

3. силу давления (\(N\)) монеты на чашу.

Две бесконечные полуплоскости образуют двугранный угол \(\varphi\), внутренние поверхности которого являются зеркалами. Какое максимальное число отражений может претерпеть лазерный луч, произвольно запущенный в этот зеркальный угол?

Сколько раз в течение часа секундная и минутная стрелки обыкновенных часов со стандартным циферблатом окажутся во взаимно перпендикулярном положении? Изменится ли ответ (и как) для кварцевых часов, у которых стрелки перемещаются скачками?

Ящик с грузом общей массой \(m\) нужно тащить по горизонтальному покрытию при помощи верёвки. Верёвку необходимо использовать простейшим способом, без «хитростей», т.е., привязать к ящику только одним концом и тянуть за другой. Её нельзя складывать в несколько раз. Какой минимальной прочностью на разрыв (\(T^*\)) должна обладать эта верёвка, если коэффициент трения между ящиком и покрытием равен \(\mu\)? Какую минимальную работу надо совершить, чтобы протащить ящик на расстояние \(L\)? Дать ответ в общем виде и отдельно для случая \(m = 20\) кг, \(\mu = \tfrac34\), \(L = 50\) м.

Тонкая тяжёлая цепочка одним своим концом закреплена в вершине гладкого сферического купола. Второй её конец свободен. Таким образом, цепочка свободно облегает купол по его «меридиану», образуя дугу, составляющую центральный угол \(\varphi\) (см. рисунок). Затем закреплённый на куполе конец отпускают. С каким ускорением (\(a\)) цепочка начнёт соскальзывать с купола, если \(\varphi = 60^\circ\)?

На полу лежит тонкий круглый диск массой \(m_1 = 1{,}5\) кг. На диске лежит маленький лёгкий шарик. К центру диска прикреплён трос, который перекинут через блок, закреплённый на потолке. К другому концу троса привязан тяжёлый шар массой \(m_2 = 3{,}5\) кг (см. рисунок). Каким будет натяжение троса (\(T\)) после того, как шар отпустят? Через какое время (\(t_0\)) после начала движения шар ударится о диск, если исходное расстояние между ними составляло \(h = 256\) см? На какую максимальную высоту над полом (\(h^*\)) подлетит маленький шарик?

Бетонный желоб глубиной \(H\) имеет в сечении вид равнобедренной трапеции с отлогими (не очень крутыми) скатами \(AB\) и \(CD\) и широким дном \(BC \gg H\) (см. рис.). Между скатами и дном обеспечены плавные переходы. Скат \(CD\) покрыт льдом и является гладкой поверхностью. На остальных двух поверхностях коэффициент трения достаточно высок.

Тонкий обруч радиусом \(r\) (\(r \ll H\)) устанавливают на краю желоба в точке \(A\) и отпускают. На какую высоту от дна (\(h_1\)) поднимется обруч по склону \(CD\)? На какую высоту (\(h_2\)) поднимется обруч по склону \(AB\) при обратном движении? Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь.

На поверхности Луны телу сообщили скорость \(V_o\), которая на \(0{,}5\%\) превосходит лунную вторую космическую скорость \(V_{II}\). Во сколько раз скорость тела вдали от Луны (\(V_\infty\)) будет меньше \(V_{II}\)?

Шарик роняют на высоте \(h\) над плитой. Плита движется вертикально вверх со скоростью \(v\). Определите время (\(T\)) между двумя последовательными упругими ударами тела о плиту.

Скорость течения реки \(V_р = 2{,}5\) м/с, а максимальная скорость лодки \(V_л = 1{,}5\) м/с. При переправе с берега на берег лодку обязательно снесёт вниз по течению на некоторое расстояние \(L\), которое зависит от выбранного лодочником курса. Найти минимально возможную величину этого смещения (\(L_{min}\)) и время такой переправы (\(T\)), если ширина реки \(H = 60\) м.

Тонкая тяжёлая цепочка одним своим концом закреплена в вершине гладкого сферического купола. Второй её конец свободен. Таким образом, цепочка свободно облегает купол по его «меридиану», образуя дугу, составляющую центральный угол \(\varphi\) (см. рисунок). Затем закреплённый на куполе конец отпускают. С каким ускорением (\(a\)) цепочка начнёт соскальзывать с купола, если \(\varphi = 60^\circ\)?

Две одинаковые тележки сцеплены пружиной, длина которой в ненапряжённом состоянии \(l_0\). Тележки стоят на полу и удерживаются в положении, при котором первая упирается в стену, а вторая прижата к первой так, что длина пружины сократилась на величину \(x_0\). Затем тележки отпускают. Определить максимальную (\(l_{max}\)) длину пружины в процессе дальнейшего движения тележек.

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2011/12, заключительный этап, 9 класс — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.