СПбГУ, 2013/14, заключительный этап, 10 класс

Наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол \(\alpha = \operatorname{arctg}(3/4)\). В плоскости сделана прямоугольная яма глубиной \(h = 25\) см и длиной \(l\), которая может варьироваться. На верхний край ямы кладут маленький мяч \(M\) и в момент \(t_0 = 0\) отпускают, позволяя ему свободно падать (см. рисунок).

1. Определить все моменты \(t_i\) (\(i = 1, 2, 3\ldots\)), которые глубина ямы «предоставляет» мячу для возможности выбраться из неё и продолжить спуск по наклонной плоскости. Подчеркнём, что реализация этой возможности зависит уже от длины ямы \(l\).

2. При какой длине ямы (\(l_0\)) мяч «сумеет» воспользоваться предоставленной возможностью и выберется из неё, не совершив ни одного отражения от её стенок? Привести минимальное значение \(l_0\) и дать общую формулу для остальных значений.

3. При какой минимальной длине ямы (\(l_2\)) мяч выберется, совершив только 2 отражения от её стенок?

Спутник движется вокруг планеты Лог по круговой орбите радиуса \(r\) с орбитальной скоростью \(v\). В некоторый момент его скорость коротким тангенциальным импульсом (т. е., по касательной к орбите) увеличили в \(\beta\) раз. При этом орбита спутника превратилась из круговой в эллиптическую. На этой новой орбите есть точка с названием «Апологий» — это точка максимального удаления спутника от планеты Лог. Найти:

1. расстояние (\(R\)) от Апология до центра планеты Лог;

2. скорость спутника (\(V\)) в этой точке;

3. периоды обращения спутника (\(T_r\) и \(T_R\)) по старой (\(T_r\)) и, соответственно, по новой (\(T_R\)) орбитам;

4. описать ситуацию при \(\beta \ge \sqrt{2}\).

К потолку вагона, стоящего на горизонтальных рельсах, подвешены в одной точке две лёгкие нерастяжимые нити равной длины \(l_1 = l_2 = 2{,}5\) м. К их нижним концам подвешены маленькие пластилиновые шарики равной массы \(m_1 = m_2 = 100\) г. Шарик \(m_1\) отвели назад вдоль оси вагона, придав его нити горизонтальное положение. Второй шарик удерживают в вертикальном положении. Вагон начал двигаться вперёд с плавно нарастающим ускорением. Когда его ускорение достигло величины \(a = 7{,}5\) м/с\(^2\), шарики одновременно отпустили.

1. Через какое время (\(t\)) после отпускания они столкнутся?

2. На каком расстоянии от потолка (\(h\)) это произойдёт?

3. Считая, что при ударе шарики слипаются, определить выделившееся при этом тепло (\(Q\)).

4. Если изначально пластилиновые шарики заменить на стальные, то, считая их удар абсолютно упругим и центральным, определить максимальные углы отклонения (\(\alpha_1\) и \(\alpha_2\)) каждого шарика от вертикали после этого удара.

На наклонную плоскость, составляющую угол \(\alpha\) с горизонтом, кладут кирпич массой \(m\). Коэффициент трения между ним и плоскостью \(\mu\) (\(\mu \ne \operatorname{tg}\alpha\)). Если теперь кирпич отпустить, то возможны две ситуации: а) кирпич на наклонной плоскости останется в покое;
в) кирпич начнёт соскальзывать вниз с некоторым ускорением. И в том, и в другом случае кирпичу стремятся придать равномерное движение. Для этого к нему прикладывают горизонтальную силу \(F\), чтобы, в зависимости от ситуации, либо стронуть с места, либо прекратить ускорение. Найти все «граничные» значения этой силы.

«Граничными» будем считать те значения силы, отклонение от которых хотя бы в одну сторону нарушает равномерность движения (т.е., приводит к остановке или ускорению).

Для обоих случаев (а и в) рассмотреть все варианты, т.е., равномерное движение кирпича как вверх, так и вниз при направлении силы как в сторону подъёма наклонной плоскости, так и в сторону её спуска. Какие ограничения налагаются в каждом из вариантов на соотношения между \(\alpha\) и \(\mu\)?

В очень длинной гладкостенной трубе два тяжёлых поршня массами \(m_1\) и \(m_2\) движутся навстречу друг другу издалека, где имели начальные скорости, соответственно, \(V_1\) и \(V_2\). Между поршнями находится один моль идеального газа при температуре \(T_0\). За поршнями — вакуум.

1. Определить максимальную температуру газа (\(T_{\max}\)) в процессе сближения поршней. Процесс считать адиабатическим. Массой газа пренебречь.

2. Какие скорости (соответственно, \(V_1^*\) и \(V_2^*\)) будут иметь поршни, оказавшись через большой промежуток времени на очень большом расстоянии друг от друга?

Тепловая машина работает на одноатомном идеальном газе. Её цикл на \(PV\)-диаграмме имеет вид треугольника с вершинами в точках \((P_1; V_1)\), \((10P_1; V_1)\), \((P_1; 4V_1)\). Найти КПД этой машины.

Предупреждение — задача не столь проста, как кажется на первый взгляд. И даже на второй, а, скорее всего, и на третий.

Подсказка — уравнение адиабаты одноатомного идеального газа имеет вид \(PV^{5/3} = \text{const}\).

Поршни двух одинаковых цилиндров жёстко связаны общей тягой так, что объёмы под поршнями всегда равны друг другу. Цилиндры с одного конца открыты и находятся под атмосферным давлением \(P_0\) (см. рисунок). В обоих цилиндрах под поршнями находятся одинаковые массы воздуха при атмосферной температуре \(T_0\). Первый цилиндр теплоизолируют и охлаждают до температуры \(T^*\), оставляя второй цилиндр в прежних условиях. Найти давление в первом (\(P_1\)) и во втором (\(P_2\)) цилиндрах. Трением поршней о стенки цилиндра, а также массами тяги и поршней пренебречь.

Оцените среднюю скорость (\(\langle V\rangle\)) движения электронов проводимости по медному проводнику сечением \(s = 1\) мм\(^2\) при силе тока \(I = 1\) А. Считать, что каждый атом меди участвует в проводимости только одним своим электроном. Остальные параметры, необходимые для расчётов, предлагаем установить самостоятельно и найти их значения в справочниках. Ответ представить не только численный, но и в виде расчётной формулы с объяснением всех привлечённых параметров.

Два одинаковых очень длинных непроводящих цилиндра радиуса \(r\) насажены на общую тонкую гладкую непроводящую ось так, что между ними образован зазор длиной \(2l\) (см. рисунок). В этом зазоре на ось надета маленькая бусинка массы \(m\), которая несёт заряд \(+q\) и может без трения скользить по оси. На боковую поверхность цилиндров равномерно нанесён положительный заряд, поверхностная плотность которого равна \(+\sigma\).

1. С какой силой (\(F\)) бусинка взаимодействует с цилиндрами, находясь на малом расстоянии \(\lambda\) от середины зазора (\(\lambda \ll l\))?

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2013/14, заключительный этап, 10 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.