СПбГУ, 2013/14, заключительный этап, 11 класс

Наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол \(\alpha = \operatorname{arctg}(3/4)\). В плоскости сделана прямоугольная яма глубиной \(h = 25\) см и длиной \(l\), которая может варьироваться. На верхний край ямы кладут маленький мяч \(M\) и в момент \(t_0 = 0\) отпускают, позволяя ему свободно падать (см. рисунок).

1. Определить все моменты \(t_i\) (\(i = 1, 2, 3\ldots\)), которые глубина ямы «предоставляет» мячу для возможности выбраться из неё и продолжить спуск по наклонной плоскости. Подчеркнём, что реализация этой возможности зависит уже от длины ямы \(l\).

2. При какой длине ямы (\(l_0\)) мяч «сумеет» воспользоваться предоставленной возможностью и выберется из неё, не совершив ни одного отражения от её стенок? Привести минимальное значение \(l_0\) и дать общую формулу для остальных значений.

3. При какой минимальной длине ямы (\(l_2\)) мяч выберется, совершив только 2 отражения от её стенок?

Спутник движется вокруг планеты Лог по круговой орбите радиуса \(r\) с орбитальной скоростью \(v\). В некоторый момент его скорость коротким тангенциальным импульсом (т. е., по касательной к орбите) увеличили в \(\beta\) раз. При этом орбита спутника превратилась из круговой в эллиптическую. На этой новой орбите есть точка с названием «Апологий» — это точка максимального удаления спутника от планеты Лог. Найти:

1. расстояние (\(R\)) от Апология до центра планеты Лог;

2. скорость спутника (\(V\)) в этой точке;

3. периоды обращения спутника (\(T_r\) и \(T_R\)) по старой (\(T_r\)) и, соответственно, по новой (\(T_R\)) орбитам;

4. описать ситуацию при \(\beta \ge \sqrt{2}\).

К потолку вагона, стоящего на горизонтальных рельсах, подвешены в одной точке две лёгкие нерастяжимые нити равной длины \(l_1 = l_2 = 2{,}5\) м. К их нижним концам подвешены маленькие пластилиновые шарики равной массы \(m_1 = m_2 = 100\) г. Шарик \(m_1\) отвели назад вдоль оси вагона, придав его нити горизонтальное положение. Второй шарик удерживают в вертикальном положении. Вагон начал двигаться вперёд с плавно нарастающим ускорением. Когда его ускорение достигло величины \(a = 7{,}5\) м/с\(^2\), шарики одновременно отпустили.

1. Через какое время (\(t\)) после отпускания они столкнутся?

2. На каком расстоянии от потолка (\(h\)) это произойдёт?

3. Считая, что при ударе шарики слипаются, определить выделившееся при этом тепло (\(Q\)).

4. Если изначально пластилиновые шарики заменить на стальные, то, считая их удар абсолютно упругим и центральным, определить максимальные углы отклонения (\(\alpha_1\) и \(\alpha_2\)) каждого шарика от вертикали после этого удара.

С наклонной плоскости, составляющей угол \(\alpha = \arcsin(3/5)\) с горизонтом, скатывается без проскальзывания тележка в виде лёгкой доски на четырёх одинаковых массивных колёсах. Вся масса каждого колеса (\(m = 1\) кг) сосредоточена в тонком внешнем ободе. На доске лежит кирпич массой \(M = 4\) кг. При каком минимальном коэффициенте трения (\(\mu_{\min}\)) кирпича о доску он не заскользит по ней?

Поршни двух одинаковых цилиндров жёстко связаны общей тягой так, что объёмы под поршнями всегда равны друг другу. Цилиндры с одного конца открыты и находятся под атмосферным давлением \(P_0\) (см. рисунок). В обоих цилиндрах под поршнями находятся одинаковые массы воздуха при атмосферной температуре \(T_0\). Первый цилиндр теплоизолируют и охлаждают до температуры \(T^*\), оставляя второй цилиндр в прежних условиях. Найти давление в первом (\(P_1\)) и во втором (\(P_2\)) цилиндрах. Трением поршней о стенки цилиндра, а также массами тяги и поршней пренебречь.

Тепловая машина работает на одноатомном идеальном газе. Её цикл на \(PV\)-диаграмме имеет вид треугольника с вершинами в точках \((P_1; V_1)\), \((10P_1; V_1)\), \((P_1; 4V_1)\). Найти КПД этой машины.

Предупреждение — задача не столь проста, как кажется на первый взгляд. И даже на второй, а, скорее всего, и на третий.

Подсказка — уравнение адиабаты одноатомного идеального газа имеет вид \(PV^{5/3} = \text{const}\).

На столе стоит тонкостенный стеклянный стакан с крышкой, имеющий форму куба. По дну стакана равномерно распределён положительный заряд с поверхностной плотностью \(+\sigma\). Крышка заряжена аналогичным образом, но зарядом противоположного знака с поверхностной плотностью \(-\sigma\). На дне стакана в одном из углов удерживают очень маленький стеклянный шарик массой \(m\), плотно прижав его к трём смежным граням. В центре шарика находится заряд \(+q\).

1. С каким ускорением начнёт движение шарик, если его мгновенно отпустить?

2. Как будет изменяться величина ускорения в самом начале движения: расти, уменьшаться или оставаться какое-то время неизменной?

Оцените среднюю скорость (\(\langle V\rangle\)) движения электронов проводимости по медному проводнику сечением \(s = 1\) мм\(^2\) при силе тока \(I = 1\) А. Считать, что каждый атом меди участвует в проводимости только одним своим электроном. Остальные параметры, необходимые для расчётов, предлагаем установить самостоятельно и найти их значения в справочниках. Ответ представить не только численный, но и в виде расчётной формулы с объяснением всех привлечённых параметров.

Известно, что ток \(I\), текущий по тонкому кольцу радиуса \(r\), создаёт магнитное поле, индукция которого в центре кольца направлена по его оси, перпендикулярной плоскости, и равна \(B = \mu_0 I / 2r\).

1. Определить индукцию магнитного поля (\(B_h\)) на этой оси в точке, удалённой от центра на расстояние \(h \gg r\).

2. Соосно и, значит, параллельно первому кольцу на расстоянии \(d\) от него (\(d \ll h\)) помещают второе точно такое же кольцо, но ток \(I\) течёт в нём в обратном направлении. Какой теперь окажется индукция магнитного поля (\(B_h^*\)) в той же точке на расстоянии \(h\) от центра?

Два одинаковых очень длинных непроводящих цилиндра радиуса \(r\) насажены на общую тонкую непроводящую горизонтальную ось так, что между ними образован зазор длиной \(2l\) (см. рисунок). В этом зазоре на ось надета маленькая бусинка массы \(m\), которая несёт заряд \(+q\) и может без трения скользить по оси. На боковую поверхность цилиндров равномерно нанесён положительный заряд, поверхностная плотность которого равна \(+\sigma\).

1. С какой силой (\(F\)) бусинка взаимодействует с цилиндрами, находясь на малом расстоянии \(\lambda\) от середины зазора (\(\lambda \ll l\))?

2. Каким будет период малых колебаний бусинки (\(T\)) около положения равновесия?

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2013/14, заключительный этап, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.