СПбГУ, 2013/14, заключительный этап, 9 класс

Везде принять \(g = 10\) м/с\(^2\).

Наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол \(\alpha = \operatorname{arctg}(3/4)\). В плоскости сделана прямоугольная яма глубиной \(h = 25\) см и длиной \(l\), которая может варьироваться. На верхний край ямы кладут маленький мяч \(M\) и в момент \(t_0 = 0\) отпускают, позволяя ему свободно падать (см. рисунок).

1. Определить все моменты \(t_i\) (\(i = 1, 2, 3\ldots\)), которые глубина ямы «предоставляет» мячу для возможности выбраться из нее и продолжить спуск по наклонной плоскости. Подчеркнем, что реализация этой возможности зависит уже от длины ямы \(l\).

2. При какой длине ямы (\(l_0\)) мяч «сумеет» воспользоваться предоставленной возможностью и выберется из нее, не совершив ни одного отражения от ее стенок? Привести минимальное значение \(l_0\) и дать общую формулу для остальных значений.

3. При какой минимальной длине ямы (\(l_2\)) мяч выберется, совершив только 2 отражения от ее стенок?

Считать мяч материальной точкой, его удары о дно и стенки ямы абсолютно упругими, размеры наклонной плоскости неограниченными, а \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивлением воздуха пренебречь.

Спутник движется вокруг планеты Лог по круговой орбите радиуса \(r\) с орбитальной скоростью \(v\). В некоторый момент его скорость коротким тангенциальным импульсом (т.е., по касательной к орбите) увеличили в \(\beta\) раз. При этом орбита спутника превратилась из круговой в эллиптическую. На этой новой орбите есть точка с названием «Апологий» – это точка максимального удаления спутника от планеты Лог. Найти:

1. расстояние (\(R\)) от Апология до центра планеты Лог;

2. скорость спутника (\(V\)) в этой точке;

3. периоды обращения спутника (\(T_r\) и \(T_R\)) по старой (\(T_r\)) и, соответственно, по новой (\(T_R\)) орбитам;

4. описать ситуацию при \(\beta \ge \sqrt{2}\).

К потолку вагона, стоящего на горизонтальных рельсах, подвешены в одной точке две легкие нерастяжимые нити равной длины \(l_1 = l_2 = 2{,}5\) м. К их нижним концам подвешены маленькие пластилиновые шарики равной массы \(m_1 = m_2 = 100\) г. Шарик \(m_1\) отвели назад вдоль оси вагона, придав его нити горизонтальное положение. Второй шарик удерживают в вертикальном положении. Вагон начал двигаться вперед с плавно нарастающим ускорением. Когда его ускорение достигло величины \(a = 7{,}5\) м/с\(^2\), шарики одновременно отпустили.

1. Через какое время (\(t\)) после отпускания они столкнутся?

2. На каком расстоянии от потолка (\(h\)) это произойдет?

3. Считая, что при ударе шарики слипаются, определить выделившееся при этом тепло (\(Q\)).

4. Если изначально пластилиновые шарики заменить на стальные, то, считая их удар абсолютно упругим и центральным, определить максимальные углы отклонения (\(\alpha_1\) и \(\alpha_2\)) каждого шарика от вертикали после этого удара.

На наклонную плоскость, составляющую угол \(\alpha\) с горизонтом, кладут кирпич массой \(m\). Коэффициент трения между ним и плоскостью \(\mu\) (\(\mu \ne \operatorname{tg}\alpha\)). Если теперь кирпич отпустить, то возможны две ситуации: а) кирпич на наклонной плоскости останется в покое; в) кирпич начнет соскальзывать вниз с некоторым ускорением. И в том, и в другом случае кирпичу стремятся придать равномерное движение. Для этого к нему прикладывают горизонтальную силу \(F\), чтобы, в зависимости от ситуации, либо стронуть с места, либо прекратить ускорение. Найти все «граничные» значения этой силы.

«Граничными» будем считать те значения силы, отклонение от которых хотя бы в одну сторону нарушает равномерность движения (т.е., приводит к остановке или ускорению). Для обоих случаев (а и в) рассмотреть все варианты, т.е., равномерное движение кирпича как вверх, так и вниз при направлении силы как в сторону подъема наклонной плоскости, так и в сторону ее спуска. Какие ограничения налагаются в каждом из вариантов на соотношения между \(\alpha\) и \(\mu\)?

Груз массой \(m = 2{,}1\) кг подвесили к потолку на двух легких нерастяжимых нитях длиной \(l_1 = 52\) см и \(l_2 = 25\) см так, что точки подвеса на потолке находятся на расстоянии \(l_0 = 63\) см друг от друга. Найти натяжение обеих нитей.

На пружине жесткостью \(k = 100\) Н/м к потолку подвесили груз массой \(m = 8\) кг и раскрутили его в горизонтальной плоскости так, что он начал ходить по кругу, а пружина – описывать коническую поверхность (см. рисунок). В самом конце процесса, когда движение груза почти затухло и угол пружины с вертикалью стал исчезающе малым, период обращения груза по окружности асимптотически подошел к значению \(T = \pi\) с. Чему равна длина пружины (\(L_0\)) в ненапряженном состоянии?

Тепловоз тянет за собой состав, прицепленный к нему пружинной сцепкой. Когда состав разгоняется с ускорением \(a_1\), длина пружины равна \(l_1\). При торможении состава с ускорением \(a_2\) (по модулю) длина пружины равна \(l_2\). Найти длину (\(l_0\)) «свободной» (ненагруженной) пружины.

Из картона вырезан произвольный неравнобедренный треугольник \(ABC\) с тупым углом \(\alpha\) при вершине «\(A\)» (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Может ли его тень (\(A^*B^*C^*\)) от солнца на плоской поверхности иметь вид прямоугольного равнобедренного треугольника с прямым углом \(\alpha^*\) (тень угла \(\alpha\))? Дать алгоритм (если «да») или доказать невозможность (если «нет»). Можно ли тень от острого угла этого треугольника сделать прямоугольной?

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2013/14, заключительный этап, 9 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.