СПбГУ, 2014/15, отборочный этап, 10 класс

Космический корабль движется без ускорения в открытом космосе вдали от других планет. В некоторый момент экипаж обнаруживает на расстоянии \(l\) от себя объект, относительно которого скорость корабля равна \(V\) и направлена перпендикулярно направлению на объект. Экипаж принимает решение как можно быстрее сблизиться с объектом, для чего немедленно приступает к маневру с максимально возможным (по модулю) ускорением \(a\). Чему равно минимальное время сближения, если объект продолжает двигаться без ускорения? Релятивистскими эффектами пренебречь.

Глобус радиусом \(R = 1{,}5\) м установлен так, что его ось занимает вертикальное положение. На его северном полюсе устанавливают легкий упругий шарик, после чего по нему наносят, как в бильярде, горизонтальный удар тяжелым кием. Какой должна быть скорость кия (\(V_0\)) при ударе, чтобы шарик отделился от глобуса на параллели \(60^\circ\) северной широты? Считать удар центральным и абсолютно упругим, массу кия \(M \gg m\) массы шарика, \(g = 10\) м/с\(^2\). Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Кубик со стороной \(a\), изготовленный из материала плотности \(\rho\), лежит на очень длинной доске. Вдоль доски дует ветер, оказывающий давление \(p\) на любую вертикальную поверхность. Однако сила давления ветра на кубик (\(F = pa^2\)) намного меньше силы трения кубика о доску, коэффициент которого равен \(\mu\). В некоторый момент \(t_0 = 0\) доска, как целое, начинает совершать горизонтальные гармонические колебания вдоль своей длины с достаточно большой частотой \(\omega\) так, что скорость её относительно земли изменяется во времени по закону \(V(t) = V_0\sin(\omega t)\). Определить установившуюся среднюю скорость кубика \(\langle v\rangle\) через достаточно большой промежуток времени после начала колебаний доски (когда \(\omega t \gg 2\pi\)). Длину доски считать неограниченной.

Расстояние между концами упругой дуги лука (без тетивы) несколько превосходит, естественно, длину самой тетивы, которая равна \(l\). Она представляет собой легкий нерастяжимой трос с петлями на обоих концах. Тетиву натягивают на лук, сближая его концы на это самое расстояние \(l\), для чего требуется усилие \(F_0\). После этого лук готов к выстрелу.

Стрелу массой \(m\) упирают задним концом в середину натянутой тетивы, оттягивают её (см. рисунок) на расстояние \(\lambda\) (\(\lambda \ll l\)) и отпускают. С какой скоростью (\(V_0\)) стрела вылетит из лука? Какова длительность выстрела \(\tau\)? Считать, что натяжение тетивы (\(F_0\)) в процессе выстрела остается неизменным. Ответ дать в общем виде и отдельно для конкретного случая \(l = 1\) м, \(\lambda = 10\) см, \(m = 25\) г, \(F_0 = 1000\) Н.

Плоская плита наклонена под углом \(\alpha\) к горизонту. К ней сверху прижат шарик. В некоторый момент плиту начали опускать вертикально вниз с постоянной скоростью \(v\), а шарик продолжали удерживать на месте. Когда расстояние между шариком и плитой (по нормали) составило \(l\), шарик отпустили, и он начал свободно падать. Определить время (\(T\)) между двумя последовательными абсолютно упругими ударами шарика о плиту. Размеры плиты и пространство под плитой считать неограниченными.

В сосуде находится смесь воздуха, воды и водяных паров. Зависимость давления воздушно-паровой смеси от температуры приведена на диаграмме. Объём смеси в процессе измерений не менялся. По графику необходимо определить, каково в данном сосуде соотношение (\(m_{\text{В}}/m_{\text{H}_2\text{O}}\)) между массой воздуха (\(m_{\text{В}}\)) и общей массой воды во всех агрегатных состояниях (\(m_{\text{H}_2\text{O}}\)). Укажите алгоритм получения ответа. Считайте, что все газы подчиняются уравнению Клапейрона-Менделеева.

В трех жестких герметичных сосудах находятся разные газы: в первом — гелий (\(\text{He}\)), во втором — азот (\(\text{N}_2\)), а в третьем — четыреххлористый углерод (\(\text{CCl}_4\)). Эти сосуды роняют в шахту глубиной \(h = 600\) м. Попав в песок на дне шахты, упавшие сосуды быстро останавливаются. Найти изменение температуры газа в каждом из сосудов (\(\Delta T_1\), \(\Delta T_2\) и \(\Delta T_3\)) сразу после удара о дно, считая, что сосуды не продеформировались и не успели начать теплообмен с находящимися в них газами.

Рабочим телом тепловой машины является одноатомный газ. Машина может работать по двум различным циклам: «1-2-3-1» и «1-3-4-1». Каждый цикл состоит из трёх стандартных изопроцессов, которые представлены на \(PV\)-диаграмме (см. рисунок). Граничные точки этих процессов обозначены цифрами 1, 2, 3 и 4. Кривая «1-3» соответствует изотермическому процессу, в котором крайние значения объёмов отличаются в \(k\) раз. В цикле «1-2-3-1» КПД машины равен \(\eta_1\). Определить КПД машины (\(\eta_2\)) в цикле «1-3-4-1».

Протон (\(p\)) и \(\alpha\)-частица (ядро изотопа \(^4\)He) издалека летят навстречу друг другу по прямой («лоб в лоб») с начальными скоростями \(V_p\) и \(V_\alpha\) соответственно. Каким будет наименьшее расстояние (\(l_{\min}\)) между ними? Какими будут их скорости (\(v_p\) и \(v_\alpha\)), когда они снова окажутся на большом расстоянии друг от друга? Все необходимые параметры считать известными. Принять массу протона равной массе нейтрона. Дефектом массы пренебречь.

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2014/15, отборочный этап, 10 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.