СПбГУ, 2014/15, отборочный этап, 9 класс

Везде принять \(g = 10\) м/с\(^2\).

Космический корабль движется без ускорения в открытом космосе вдали от других планет. В некоторый момент экипаж обнаруживает на расстоянии \(l\) от себя объект, относительно которого скорость корабля равна \(V\) и направлена перпендикулярно направлению на объект. Экипаж принимает решение как можно быстрее сблизиться с объектом, для чего немедленно приступает к маневру с максимально возможным (по модулю) ускорением \(a\). Чему равно минимальное время сближения, если объект продолжает двигаться без ускорения? Релятивистскими эффектами пренебречь.

Глобус радиусом \(R=1{,}5\) метра установлен так, что его ось занимает вертикальное положение. На его северном полюсе устанавливают легкий упругий шарик, после чего по нему наносят, как в бильярде, горизонтальный удар тяжелым кием. Какой должна быть скорость кия (\(V_{\text{о}}\)) при ударе, чтобы шарик отделился от глобуса на параллели \(60^\circ\) северной широты? Считать удар центральным и абсолютно упругим, массу кия \(M \gg m\).массы шарика, \(g =10\) м/с\(^2\). Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Кубик со стороной \(a\), изготовленный из материала плотности \(\rho\), лежит на очень длинной доске. Вдоль доски дует ветер, оказывающий давление \(p\) на любую вертикальную поверхность. Однако сила давления ветра на кубик (\(F = pa^2\)) намного меньше силы трения кубика о доску, коэффициент которого равен \(\mu\). В некоторый момент \(t_{\text{о}} =0\) доска, как целое, начинает совершать горизонтальные гармонические колебания вдоль своей длины с достаточно большой частотой \(\omega\) так, что скорость её относительно земли изменяется во времени по закону \(V(t) = V_{\text{о}}\sin(\omega t)\). Определить установившуюся среднюю скорость кубика \(\langle v\rangle\) через достаточно большой промежуток времени после начала колебаний доски (когда \(\omega t \gg 2\pi\)). Длину доски считать неограниченной.

Расстояние между концами упругой дуги лука (без тетивы) несколько превосходит, естественно, длину самой тетивы, которая равна \(l\). Она представляет собой легкий нерастяжимой трос с петлями на обоих концах. Тетиву натягивают на лук, сближая его концы на это самое расстояние \(l\), для чего требуется усилие \(F_{\text{о}}\). После этого лук готов к выстрелу. Стрелу массой \(m\) упирают задним концом в середину натянутой тетивы, оттягивают её (см. рис.) на расстояние \(\lambda\) (\(\lambda \ll l\)) и отпускают. С какой скоростью (\(V_{\text{о}}\)) стрела вылетит из лука? Какова длительность выстрела \(\tau\)? Считать, что натяжение тетивы (\(F_{\text{о}}\)) в процессе выстрела остается неизменным. Ответ дать в общем виде и отдельно для конкретного случая \(l =1\) м, \(\lambda = 10\) см, \(m = 25\) г, \(F_{\text{о}} = 1000\) Н.

Плоская плита наклонена под углом \(\alpha\) к горизонту. К ней сверху прижат шарик. В некоторый момент плиту начали опускать вертикально вниз с постоянной скоростью \(v\), а шарик продолжали удерживать на месте. Когда расстояние между шариком и плитой (по нормали) составило \(l\), шарик отпустили, и он начал свободно падать. Определить время (\(T\)) между двумя последовательными абсолютно упругими ударами шарика о плиту. Размеры плиты и пространство под плитой считать неограниченными.

На столе стоит тяжелая чаша. Ее гладкая внутренняя поверхность имеет форму полусферы радиусом \(R\). К ее верхнему краю в диаметрально противоположных точках прижимают два легких упругих шарика разной массы и удерживают в этом положении (см. рис.). Затем их одновременно отпускают, и они начинают скользить навстречу друг другу. В центре чаши происходит столкновение, в результате которого более легкий шарик при обратном движении вылетает вертикально вверх и поднимается на высоту \(h = kR\) над дном чаши. Считая это столкновение центральным и абсолютно упругим, найти отношение масс (\(n\)) тяжелого и легкого шариков. Шары считать материальными точками. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Пуля массой \(m =10\) г, выпущенная вертикально вверх со скоростью \(V_0=700\) м/с, пробила лежавший на опорах брусок массой \(M = 200\) г, пройдя через его центр. В результате этого брусок подлетел вверх на высоту \(h = 5\) м. Какая энергия перешла в тепло при взаимодействии пули с бруском?

На столе стоят две одинаковые цилиндрические мензурки. В дне каждой из них имеется отверстие, через которое их объемы могут сообщаться посредством тонкого шланга. Когда этот соединительный шланг был открыт, сначала в одну из мензурок (№1) налили воду (\(\rho_1=1000\) кг/м\(^3\)), а затем в другую (№2) керосин (\(\rho_2=800\) кг/м\(^3\)). Верхние уровни жидкостей над столом в обеих мензурках оказались разными и составили, соответственно, \(H_1 = 66\) см (для №1) и \(H_2 = 80\) см (для №2). В какой мензурке (№1 или №2) и на каком уровне над столом (\(h_{\text{о}}\)) находится граница раздела двух жидкостей? Толщиной дна мензурок пренебречь.

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2014/15, отборочный этап, 9 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.