СПбГУ, 2014/15, заключительный этап, 10 класс

Разложите ускорение кирпича на горизонтальную и вертикальную составляющие: горизонтальную обеспечивает стена, вертикальную — часть силы тяжести.

1) \(N = 6\) Н;  2) \(P = 20\) Н;  3) \(t \approx 0{,}74\) с.

Длина наклонной плоскости \(L = 130\) см, угол её наклона \(\varphi = \arcsin\dfrac{5}{13}\). Кирпичу надо проехать путь \(s = L - l = 105\) см с ускорением \(a_0 = g\sin\varphi\), на что уйдёт время \[t = \sqrt{\frac{2s}{a_0}} = 0{,}74~\text{с}.\] При этом горизонтальная составляющая ускорения \(a_x = a_0\cos\varphi\) обеспечивается давлением стенки на кирпич через клин: \(N = m a_x = 6\) Н. Вертикальная составляющая ускорения \(a_y = a_0\sin\varphi = g\sin^2\varphi\) обеспечивается частью земного притяжения, \(F = m a_y = 2{,}5\) Н. Оставшейся от \(mg\) частью кирпич вместе с клином давят на пол с силой \[P = (M + m)g - m a_y = 20~\text{Н}.\]

Найдите растяжение пружины, при котором сдвигается второй брусок. Затем используйте энергетический баланс с учётом работы сил трения первого бруска.

\(F^* = 1{,}4\) Н.

Пружину нужно растянуть на величину \(x\), где \(kx = \mu m_2 g\). Если приложенная сила \(F < \mu(m_1 + m_2)g = 2\) Н, то первый брусок начнёт разгоняться, а потом тормозить до полной остановки, продолжая растягивать пружину по инерции. Когда он остановится, для сдвига второго бруска пружина должна быть растянута по крайней мере до значения \(x\). Для этого достаточно силы \(F^*\), которая совершит работу \[A = F^* x = \frac{kx^2}{2} + \mu m_1 g x\] (потенциальная энергия растянутой пружины плюс работа против сил трения). Разделив обе части на \(x\) и взяв \(kx\) из первого равенства, получим \[F^* = \mu\left(m_1 + \frac{m_2}{2}\right)g = 1{,}4~\text{Н}.\]

В верхней точке петли центростремительное ускорение не меньше \(g\). Для отрыва на дуге составьте условие, при котором сила реакции обращается в ноль, и используйте закон сохранения энергии.

1) \(R = 60\) см;  2) \(h_o = \dfrac{5R}{3} = 1\) м.

Для совершения «мёртвой петли» превышение точки старта над верхней точкой петли (\(h\)) должно обеспечить такую скорость \(v\) в этой точке, что центростремительное ускорение \(a_c = v^2/R \ge g\). Из закона сохранения энергии \(v^2 = 2gh\), откуда \(h \ge R/2\), \(H_{\min} = 2{,}5R\) и, соответственно, \(R = 60\) см.

Если точка старта находится на уровне верхней точки петли, то шарик оторвётся, не дойдя до верха, на дуге, составляющей центральный угол \(\varphi\), при котором \(a_c = v^2/R = g\cos\varphi\). По закону сохранения энергии в этой точке \(v^2 = 2gR(1 - \cos\varphi)\), откуда \(\cos\varphi = \dfrac{2}{3}\) и \[h_o = \frac{5R}{3} = 1~\text{м}.\]

Второй шар на скате ведёт себя как маятник, поэтому время до первого удара — четверть периода. Для скорости после упругого удара используйте законы сохранения энергии и импульса. Для последующих выводов подумайте о симметрии процесса во времени.

1) \(T_1 = 1\) с;  2) \(h_1 = h_2 = 5\) см;  3) \(T_2 = 2\) с;  4) \(H_1 = 0\), \(H_2 = 20\) см.

Второй шар начнёт двигаться как математический маятник с длиной нити \(R\). Поэтому первое столкновение произойдёт через четверть периода его колебаний: \[T_1 = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R}{g}} = 1~\text{с}.\] Все остальные столкновения будут проходить с удвоенным интервалом \(T_2 = 2T_1 = 2\) с.

Второй шар ударится в первый со скоростью \(V_0 = \sqrt{2gh_o}\). По законам сохранения энергии и импульса шары при данном соотношении масс разлетятся после столкновения в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями \(V = \tfrac{1}{2}V_0\) и поднимутся на одинаковые высоты, равные четверти исходной высоты второго шара: \[h_1 = h_2 = \frac{R}{80} = 5~\text{см}.\] При обратном движении шаров всё протекает так же, как на видеозаписи их прямого движения, пущенной в обратном направлении. Первый шар после столкновения остановится, а второй поднимется в исходное положение, то есть \[H_1 = 0, \qquad H_2 = \frac{R}{20} = 20~\text{см}.\] Этот результат следует из обратимости во времени протекающих процессов, хотя его можно получить и прямо, решив задачу на столкновение.

При точке росы пар в комнате становится насыщенным, то есть его плотность равна плотности насыщенного пара при этой температуре. Сравните эту плотность с плотностью при \(30^\circ\)C.

\(\varphi \approx 35{,}5\%\).

Относительная влажность — отношение плотности пара к плотности насыщенного пара при \(t\): \[\varphi = \frac{\rho^*(T_{\text{росы}})}{\rho^*(T)} = \left(\frac{T_{\text{росы}}}{T}\right)^{16} = \left(\frac{11 + 273}{30 + 273}\right)^{16} = 0{,}355 = 35{,}5\%.\]

Среднеквадратичная скорость идеального газа выражается через температуру и массу молекулы, а вторая космическая скорость — через ускорение свободного падения и радиус планеты.

Сопротивления кипятильников относятся как номинальные времена кипячения. При последовательном включении напряжение делится между ними пропорционально сопротивлениям, а мощность пропорциональна квадрату напряжения.

1) \(T_1 = 270\) с;  2) \(T_2 = 135\) с.

Номинальная мощность кипятильника \(W_N\) обратно пропорциональна его сопротивлению и также обратно пропорциональна времени нагрева стакана воды в номинальном режиме, откуда \(R_1/R_2 = t_1/t_2\). При последовательном включении сетевое напряжение \(U_0\) распределится между кипятильниками пропорционально сопротивлениям: \[U_1 = U_0\frac{t_1}{t_1 + t_2}, \qquad U_2 = U_0\frac{t_2}{t_1 + t_2}.\] Развиваемые ими мощности составят лишь долю от номинальных: \[W_1 = W_{N1}\left[\frac{t_1}{t_1 + t_2}\right]^2, \qquad W_2 = W_{N2}\left[\frac{t_2}{t_1 + t_2}\right]^2 .\] Такую же долю от новых времён нагрева составят исходные времена: \[T_1 = t_1\left(\frac{t_1 + t_2}{t_1}\right)^2 = \frac{(t_1 + t_2)^2}{t_1} = 270~\text{с}, \qquad T_2 = \frac{(t_1 + t_2)^2}{t_2} = 135~\text{с}.\]