СПбГУ, 2014/15, заключительный этап, 11 класс

Разложите ускорение кирпича на горизонтальную и вертикальную составляющие: горизонтальную обеспечивает стена, вертикальную — часть силы тяжести.

1) \(N = 6\) Н;  2) \(P = 20\) Н;  3) \(t \approx 0{,}74\) с.

Длина наклонной плоскости \(L = 130\) см, угол её наклона \(\varphi = \arcsin\dfrac{5}{13}\). Кирпичу надо проехать путь \(s = L - l = 105\) см с ускорением \(a_0 = g\sin\varphi\), на что уйдёт время \[t = \sqrt{\frac{2s}{a_0}} = 0{,}74~\text{с}.\] При этом горизонтальная составляющая ускорения \(a_x = a_0\cos\varphi\) обеспечивается давлением стенки на кирпич через клин: \(N = m a_x = 6\) Н. Вертикальная составляющая ускорения \(a_y = a_0\sin\varphi = g\sin^2\varphi\) обеспечивается частью земного притяжения, \(F = m a_y = 2{,}5\) Н. Оставшейся от \(mg\) частью кирпич вместе с клином давят на пол с силой \[P = (M + m)g - m a_y = 20~\text{Н}.\]

Найдите растяжение пружины, при котором сдвигается второй брусок. Затем используйте энергетический баланс с учётом работы сил трения первого бруска.

\(F^* = 1{,}4\) Н.

Пружину нужно растянуть на величину \(x\), где \(kx = \mu m_2 g\). Если приложенная сила \(F < \mu(m_1 + m_2)g = 2\) Н, то первый брусок начнёт разгоняться, а потом тормозить до полной остановки, продолжая растягивать пружину по инерции. Когда он остановится, для сдвига второго бруска пружина должна быть растянута по крайней мере до значения \(x\). Для этого достаточно силы \(F^*\), которая совершит работу \[A = F^* x = \frac{kx^2}{2} + \mu m_1 g x\] (потенциальная энергия растянутой пружины плюс работа против сил трения). Разделив обе части на \(x\) и взяв \(kx\) из первого равенства, получим \[F^* = \mu\left(m_1 + \frac{m_2}{2}\right)g = 1{,}4~\text{Н}.\]

В верхней точке петли центростремительное ускорение не меньше \(g\). Для отрыва на дуге составьте условие, при котором сила реакции обращается в ноль, и используйте закон сохранения энергии.

1) \(R = 60\) см;  2) \(h_o = \dfrac{5R}{3} = 1\) м.

Для совершения «мёртвой петли» превышение точки старта над верхней точкой петли (\(h\)) должно обеспечить такую скорость \(v\) в этой точке, что центростремительное ускорение \(a_c = v^2/R \ge g\). Из закона сохранения энергии \(v^2 = 2gh\), откуда \(h \ge R/2\), \(H_{\min} = 2{,}5R\) и, соответственно, \(R = 60\) см.

Если точка старта находится на уровне верхней точки петли, то шарик оторвётся, не дойдя до верха, на дуге, составляющей центральный угол \(\varphi\), при котором \(a_c = v^2/R = g\cos\varphi\). По закону сохранения энергии в этой точке \(v^2 = 2gR(1 - \cos\varphi)\), откуда \(\cos\varphi = \dfrac{2}{3}\) и \[h_o = \frac{5R}{3} = 1~\text{м}.\]

Среднеквадратичная скорость идеального газа выражается через температуру и массу молекулы, а вторая космическая скорость — через ускорение свободного падения и радиус планеты.

\(V_{\text{H}_2} \approx 2240\) м/с;  \(V_{\text{N}_2} \approx 600\) м/с;  \(V_{\text{II}} \approx 2380\) м/с.

Среднеквадратичная скорость частиц идеального газа при абсолютной температуре \(T\) \[V^* = \sqrt{\frac{3kT}{m}} .\] При \(T = 403\) К для молекул водорода (\(\text{H}_2\)) и азота (\(\text{N}_2\)): \(V^*_{\text{H}_2} = 2240\) м/с и \(V^*_{\text{N}_2} = 600\) м/с.

Вторая космическая скорость любой планеты \(V_{\text{II}} = \sqrt{2gR}\); для Луны \[V_{\text{II}} = \sqrt{\frac{2\cdot 10\cdot 1{,}7\cdot 10^6}{6}}~\text{м/с} = 2380~\text{м/с}.\]

При точке росы пар в комнате становится насыщенным, то есть его плотность равна плотности насыщенного пара при этой температуре. Сравните эту плотность с плотностью при \(30^\circ\)C.

\(\varphi \approx 35{,}5\%\).

Относительная влажность — отношение плотности пара к плотности насыщенного пара при \(t\): \[\varphi = \frac{\rho^*(T_{\text{росы}})}{\rho^*(T)} = \left(\frac{T_{\text{росы}}}{T}\right)^{16} = \left(\frac{11 + 273}{30 + 273}\right)^{16} = 0{,}355 = 35{,}5\%.\]

Заряд, перетекающий между шарами, одинаков по модулю для обоих. Потенциалы изолированных шаров связаны с зарядами через их радиусы.

1) \(\varphi_1 = -2\) В, \(\varphi_2 = +\dfrac{2}{3}\) В;  2) \(q = -2{,}2\cdot10^{-12}\) Кл.

Разность потенциалов между шарами \[\varphi_2 - \varphi_1 = \frac{\varepsilon_2 R_1 + \varepsilon_1 R_2}{R_1 + R_2} = +\frac{8}{3}~\text{В}\] создаётся электрической цепью и достигается перетеканием отрицательного заряда \(q\) со второго шара на первый. Поскольку \[\frac{\varphi_1}{\varphi_2} = -\frac{r_2}{r_1} = -3,\] то \(\varphi_1 = -2\) В, \(\varphi_2 = +\dfrac{2}{3}\) В, а \[q = \varphi_1\,r_1\,4\pi\varepsilon_0 = -2{,}2\times10^{-12}~\text{Кл}.\]

В центре дуги поле создают только криволинейные участки, прямые в этой точке не дают поля. Далее определите направление силы Лоренца на заряды шарика.

Между левой и правой точками шарика (по ходу движения);  \(U_{\max} = \dfrac{\mu_0 I V r}{2R}\).

Магнитное поле в центре создаётся только дугой: \[B = \frac{\mu_0 I}{4R},\] поскольку вклады двух прямых участков взаимно скомпенсированы. По «правилу правого буравчика» вектор \(\vec B\) направлен перпендикулярно плоскости рисунка — от читателя. По «правилу левой руки» сила Лоренца действует на заряды шарика в плоскости рисунка, причём на положительные — влево по ходу, а на отрицательные — вправо. Таким образом, максимальная разность потенциалов будет между левой и правой точками: \[U_{\max} = 2BVr = \frac{\mu_0 I V r}{2R}.\]