СПбГУ, 2014/15, заключительный этап, 9 класс

Разложите ускорение кирпича на горизонтальную и вертикальную составляющие. Какая сила сообщает каждую из них, и чему равна сила, с которой клин давит на пол?

\(N \approx 6\) Н;  \(P = 20\) Н;  \(t \approx 0{,}74\) с.

Длина наклонной плоскости \(L = 130\) см, а угол её наклона \(\varphi = \arcsin(5/13)\). Кирпичу надо проехать путь \(s = L - l = 105\) см с ускорением \(a_0 = g\sin\varphi\), на что уйдёт время \(t = \sqrt{2s/a_0} = 0{,}74\) с. При этом горизонтальная составляющая ускорения \(a_x = a_0\cos\varphi\) обеспечивается давлением стенки на кирпич через клин: \(N = ma_x = 6\) Н. Вертикальная составляющая ускорения \(a_y = a_0\sin\varphi = g\sin^2\varphi\) обеспечивается земным притяжением, точнее, его частью в количестве \(F = ma_y = 2{,}5\) Н. Оставшейся от \(mg\) частью кирпич вместе с клином давят на пол с силой \(P = (M+m)g - ma_y = 20\) Н.

Второй брусок сдвинется, когда пружина растянется до определённой длины. Сколько работы нужно совершить, чтобы растянуть пружину до этой длины и преодолеть трение первого бруска?

\(F^* = 1{,}4\) Н.

Пружину нужно растянуть на величину \(x\), где \(kx = \mu m_2 g\). Если приложенная сила \(F < \mu(m_1 + m_2)g = 2\) Н, то первый брусок начнёт разгоняться, а потом тормозить до полной остановки, продолжая растягивать пружину по инерции. Когда он остановится, то для сдвига \(m_2\) пружина должна быть растянута по крайней мере до указанного значения \(x\). Для этого достаточно силы \(F^*\), которая совершит работу \(A = F^*x = \dfrac{kx^2}{2} + \mu m_1 g x\) (потенциальная энергия растянутой пружины + работа против сил трения). Разделив обе части на \(x\) и взяв \(kx\) из первого равенства, получим: \[F^* = \mu\left(m_1 + \frac{m_2}{2}\right)g = 1{,}4~\text{Н}.\]

Найдите минимальную скорость в верхней точке петли, при которой шарик не отрывается от желоба, и выразите через неё необходимую высоту старта.

\(R = 60\) см.

Для совершения «мертвой петли» превышение точки старта над верхней точкой петли (\(h\)) должно обеспечить такую скорость (\(v\)) в этой точке, что центростремительное ускорение \(a_c = v^2/R \ge g\). Из закона сохранения энергии \(v^2 = 2gh\), откуда \(h \ge R/2\), \(H_{\min} = 2{,}5R\) и, соответственно, \(R = 60\) см.

Второй шар на малой высоте движется как математический маятник. Для упругого центрального удара запишите законы сохранения импульса и энергии; обратите внимание на обратимость движения во времени.

\(T_1 = 1\) с;  \(h_1 = h_2 = 5\) см;  \(T_2 = 2\) с;  \(H_1 = 0\), \(H_2 = 20\) см.

Второй шар начнёт двигаться, как математический маятник с длиной нити \(R\). Поэтому первое столкновение произойдёт через четверть периода его колебаний: \(T_1 = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{R/g} = 1\) с. Очевидно, что все остальные столкновения будут проходить с удвоенным интервалом \(T_2 = 2T_1 = 2\) с.

Второй шар ударится в первый со скоростью \(V_o = \sqrt{2gh_o}\). По законам сохранения энергии и импульса шары при данном соотношении масс разлетятся после столкновения в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями \(V = \tfrac{1}{2}V_o\) и поднимутся на одинаковые высоты, равные четверти исходной высоты второго шара: \(h_1 = h_2 = R/80 = 5\) см. При обратном движении шаров всё будет протекать так, как на видеозаписи их прямого движения, пущенной в обратном направлении. Первый шар после столкновения остановится, а второй поднимется в исходное положение, т.е. \(H_1 = 0\), \(H_2 = R/20 = 20\) см. Этот результат следует из обратимости во времени протекающих процессов, хотя его можно получить и напрямую, решив задачу на столкновение.

Кольцо лопнуло при охлаждении, значит, при нагреве его удерживала сила трения о конус. Какое удлинение проволоки соответствует разрыву и как связан коэффициент расширения с изменением диаметра кольца?

\(T^* \approx 286\,^\circ\)C;  \(\mu \ge 1/6\);  \(\Delta h = +3{,}4\) мм (расстояние увеличится).

Если алюминиевое кольцо лопнуло, значит, трение не позволило ему скользить по медному конусу, и оно сжималось соответственно коэффициенту теплового расширения меди. Следовательно, \(\mu \ge R/H = 1/6\). При охлаждении до исходной температуры \(T_o = 0\,^\circ\)C длина окружности кольца оказалась растянутой относительно исходного ненапряжённого состояния на величину \(\Delta l = l(\alpha_{Al} - \alpha_{Cu})T^*\). Разрыв кольца означает, что \(\Delta l/l = 0{,}002\), откуда: \[T^* = \frac{0{,}002}{\alpha_{Al} - \alpha_{Cu}} \approx 286\,^\circ\text{C}.\]

При нагреве алюминиевое кольцо свободно расширялось соответственно своему коэффициенту теплового расширения. А значит, и расстояние между вершиной конуса и плоскостью кольца увеличивалось с тем же коэффициентом, поскольку конус при любой температуре остаётся подобным исходному. Это относится и к той его части, основанием для которой служит плоскость кольца. Отсюда: \[\Delta h = h_o\alpha_{Al}T^* = +3{,}4~\text{мм}.\]

Сравните объём воды, который вытесняет шар на дне ведра, с объёмом воды, который вытесняет шар, лежащий в тарелке. Что происходит с водой, вытесненной тарелкой?

Показания весов уменьшатся на \(1{,}6\) кг.

Шар имеет массу \(2{,}4\) кг, из которых сила Архимеда компенсирует только \(0{,}8\) кг. Остальные \(1{,}6\) кг будут скомпенсированы, когда шар окажется в тарелке, вытеснив, тем самым, \(1{,}6\) литра воды. Поскольку ведро заполнено водой доверху, вытесненная вода выльется на пол, уменьшив показания весов на \(1{,}6\) кг.

Сопротивления кипятильников относятся как времена нагрева при номинальном включении. При последовательном включении напряжение сети делится между ними пропорционально сопротивлениям.

\(T_1 = 270\) с;  \(T_2 = 135\) с.

Номинальная мощность кипятильника (\(W_N\)) обратно пропорциональна его сопротивлению и также обратно пропорциональна времени нагрева стакана воды в номинальном режиме, откуда \(R_1/R_2 = t_1/t_2\). При последовательном их включении в сеть сетевое напряжение \(U_o\) будет не на каждом из них, а распределится между ними пропорционально их сопротивлениям: \(U_1 = U_o\dfrac{R_1}{R_1+R_2} = U_o\dfrac{t_1}{t_1+t_2}\) и, соответственно, \(U_2 = U_o\dfrac{t_2}{t_1+t_2}\). При этом развиваемые ими мощности составят лишь долю от номинальных: \(W_1 = W_{N1}\left[\dfrac{t_1}{t_1+t_2}\right]^2\) и \(W_2 = W_{N2}\left[\dfrac{t_2}{t_1+t_2}\right]^2\). Такую же долю от новых времён нагрева составят исходные времена: \[T_1 = t_1\left[\frac{t_1+t_2}{t_1}\right]^2 = \frac{(t_1+t_2)^2}{t_1} = 270~\text{с}, \qquad T_2 = \frac{(t_1+t_2)^2}{t_2} = 135~\text{с}.\]