зад 1 Диск, шар и кронштейн
На полу лежит тонкий круглый диск массой \(m_1 = 1{,}5\) кг. К центру диска прикреплён трос, который перекинут через блок, закреплённый на потолке. К другому концу троса на высоте \(H = 360\) см над диском привязан тяжёлый шар массой \(m_2 = 3{,}5\) кг. Под этим шаром на диске лежит маленький лёгкий шарик. Трос проходит через отверстие в кронштейне, вмонтированном в стену на высоте \(h = 50\) см от пола (см. рисунок). Каким будет натяжение троса (\(T\)) после того, как шар отпустят? Через какое время (\(t_0\)) после начала движения диск ударится о кронштейн? На какую высоту над полом (\(h^*\)) подлетит шарик? До какой минимальной высоты над полом (\(h_{\min}\)) нужно поднять кронштейн, чтобы маленький шарик смог долететь до большого? Считать, что диск и большой шар мгновенно останавливаются после удара диска о кронштейн.
▶ОтветСкрыть
\(T = \dfrac{2g\,m_1 m_2}{m_1 + m_2} = 21\) Н; \(t_0 = \sqrt{\dfrac{2h}{a}} = 0{,}5\) с; \(h^* = h\left(1 + \dfrac{a}{g}\right) = 70\) см; \(h_{\min} = \dfrac{Hg}{2g + a} = 1{,}5\) м.
зад 2 Ящики в желобе
Бетонный желоб глубиной \(H = 4\) м имеет в сечении вид равнобедренной трапеции (см. рисунок). Скаты \(AB\) и \(CD\) имеют длину \(L = 8{,}5\) м каждый, которая ничтожно мала по сравнению с шириной дна \(BC\). Между скатами и дном обеспечены плавные переходы. Маленький ящик массой \(m_1 = 2\) кг устанавливают на краю желоба в точке «\(A\)» и отпускают. На дне в центре желоба стоит ещё один ящик массой \(m_2 = 1\) кг (см. рисунок). Дно \(BC\) и скат \(CD\) покрыты льдом и являются гладкими поверхностями. Коэффициент трения между поверхностью \(AB\) и ящиками \(\mu = \dfrac{1}{2}\). С какой скоростью (\(V_0\)) первый ящик ударится о второй? С какими скоростями (\(V_1\) и, соответственно, \(V_2\)) будут двигаться ящики после их абсолютно упругого столкновения? На какую высоту от дна (\(h_2\)) поднимется второй ящик по склону \(CD\)? Какой окажется скорость ящиков (\(V^*\)) после их второго столкновения, если оно будет абсолютно неупругим?
▶ОтветСкрыть
\(V_0 = \sqrt{2al} = \sqrt{5}\) м/с \(\approx 2{,}24\) м/с; \(V_1 = V_0\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \approx 0{,}75\) м/с; \(V_2 = \dfrac{2V_0 m_1}{m_1 + m_2} \approx 3{,}0\) м/с; \(h_2 = \dfrac{V_2^2}{2g} = 45\) см; \(V^* = \dfrac{m_1 V_1 - m_2 V_2}{m_1 + m_2} = -0{,}5\) м/с.
зад 3 Монета в чаше
В центре большого гладкого стола стоит стеклянная чаша массой \(M\). Её внутренняя поверхность представляет собой гладкую полусферу радиусом \(R\). К внутреннему краю чаши плашмя прижимают монету массой \(m\) (см. рисунок) и отпускают. Определить следующие параметры в момент прохождения монетой нижней точки чаши:
скорость монеты (\(v\)) и чаши (\(V\)) относительно стола;
величину смещения чаши (\(\Delta x\)) относительно стола;
силу давления (\(N\)) монеты на чашу.
▶ОтветСкрыть
\(v = \sqrt{\dfrac{2gRM}{m+M}} = 2\) м/с; \(V = \dfrac{vm}{M} = 0{,}4\) м/с; \(\Delta x = \dfrac{Rm}{m+M} = 4\) см; \(N = m\left[g + \dfrac{(v+V)^2}{R}\right] = \dfrac{mg(2m+3M)}{M} \approx 1{,}36\) Н.
зад 4 Отражения в зеркальном угле
Две бесконечные полуплоскости образуют двугранный угол \(\varphi\), внутренние поверхности которого являются зеркалами. Какое максимальное число отражений может претерпеть лазерный луч, произвольно запущенный в этот зеркальный угол?
▶ОтветСкрыть
\(N_{\max} = \dfrac{\pi}{\varphi}\).
зад 5 Воздух с паром под поршнем
В цилиндре под поршнем находится смесь воздуха и водяного пара при температуре \(T = 100^{\circ}\)C и давлении \(P_1 = 1\) атм. После изотермического сжатия смеси в \(3\) раза давление в цилиндре оказалось равным \(P_2 = 2{,}8\) атм. Определить парциальное давление пара (\(P_{\text{п}}\)) и его плотность (\(\rho_{\text{п}}\)) в исходном состоянии. Считать, что воздух и водяной пар описываются уравнением Клапейрона–Менделеева.
▶ОтветСкрыть
\(P_{\text{п}} = 0{,}4\) атм; \(\rho_{\text{п}} = 0{,}6\,\rho^{\,f}_{100} = 0{,}24\) г/л.
зад 6 Цикл на одноатомном газе
Цикл тепловой машины на одноатомном газе имеет на \(PV\)-диаграмме вид треугольника с вершинами в точках \((P_1; V_1)\), \((5P_1; V_1)\), \((5P_1; 5V_1)\). Найти КПД (\(\eta\)) тепловой машины. Изобразить цикл на всех трёх (\(PV\), \(PT\) и \(VT\)) диаграммах.
▶ОтветСкрыть
\(\eta = \dfrac{8}{1{,}5\cdot 24 + 20} \approx \dfrac{1}{7} \approx 14\%\). Цикл на диаграммах \(PV\), \(PT\) и \(VT\) — на рисунке.
зад 7 Поршень на пружине в газе
В открытом с одного конца горизонтальном цилиндре имеется гладкий (скользит без трения) поршень. Он прикреплён к дну цилиндра пружиной. Когда по обе стороны поршня вакуум, то пружина не напряжена, и длина её равна \(L_0\) (см. рисунок). Если эту систему поместить в газовую атмосферу, то под поршнем останется вакуум, а внешнее давление на поршень будет сжимать пружину. При некотором значении атмосферного давления пружина сожмётся до \(0\) и поршень коснётся дна цилиндра. Если при этих условиях ввести \(1\) моль газа под поршень (т.е., в пространство между поршнем и дном), то от внутреннего давления пружина растянется, и длина её станет равной \(L_1 = L_0/3\). Какой будет длина пружины (\(L_\nu\)), если под поршень ввести не \(1\), а \(\nu\) молей газа? Дать ответ в общем виде (\(L_\nu\)) и конкретно для случая \(\nu = 4\) (\(L_4\)). Все процессы считать изотермическими, а длину цилиндра неограниченной.
▶ОтветСкрыть
\(L_\nu = L_0\dfrac{\sqrt{\nu}}{3}\); \(L_4 = \dfrac{2L_0}{3}\).
зад 8 Кипятильники и источник тока
Кипятильник сопротивлением \(R_1 = 2\) Ом, включённый в некий источник тока, доводит воду в баке до кипения за время \(T = 18\) минут. Другой кипятильник, сопротивлением \(R_2 = 8\) Ом, делает ту же работу с тем же источником за то же самое время. Чему равно внутреннее сопротивление источника \(r_0\)? Кипятильник с каким сопротивлением (\(R_x\)) нужно включить в этот источник, чтобы вскипятить воду за минимальное время? Чему это время (\(T_x\)) равно? Теплопотерями пренебречь.
▶ОтветСкрыть
\(r_0 = \sqrt{R_1 R_2} = 4\) Ом; \(R_x = r_0 = 4\) Ом; \(T_x = 16\) мин.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2015/16, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.