СПбГУ, 2015/16, заключительный этап, 11 класс

На полу лежит тонкий круглый диск массой \(m_1=1{,}5\) кг. К центру диска прикреплён трос, который перекинут через блок, закреплённый на потолке. К другому концу троса на высоте \(H=360\) см над диском привязан тяжёлый шар массой \(m_2=3{,}5\) кг. Под этим шаром на диске лежит маленький лёгкий шарик. Трос проходит через отверстие в кронштейне, вмонтированном в стену на высоте \(h=50\) см от пола (см. рисунок). Каким будет натяжение троса (\(T\)) после того, как шар отпустят? Через какое время (\(t_o\)) после начала движения диск ударится о кронштейн? На какую высоту над полом (\(h^*\)) подлетит шарик? До какой минимальной высоты над полом (\(h_{\min}\)) нужно поднять кронштейн, чтобы маленький шарик смог долететь до большого? Считать, что диск и большой шар мгновенно останавливаются после удара диска о кронштейн.

Бетонный желоб глубиной \(H=4\) м имеет в сечении вид равнобедренной трапеции (см. рисунок). Скаты \(AB\) и \(CD\) имеют длину \(L=8{,}5\) м каждый, которая ничтожно мала по сравнению с шириной дна \(BC\). Между скатами и дном обеспечены плавные переходы. Маленький ящик массой \(m_1=2\) кг устанавливают на краю желоба в точке «А» и отпускают. На дне в центре желоба стоит ещё один ящик массой \(m_2=1\) кг (см. рисунок). Дно \(BC\) и скат \(CD\) покрыты льдом и являются гладкими поверхностями. Коэффициент трения между поверхностью \(AB\) и ящиками \(\mu=\dfrac{1}{2}\). С какой скоростью (\(V_o\)) первый ящик ударится о второй? С какими скоростями (\(V_1\) и, соответственно, \(V_2\)) будут двигаться ящики после их абсолютно упругого столкновения? На какую высоту от дна (\(h_2\)) поднимется второй ящик по склону \(CD\)? Какой окажется скорость ящиков (\(V^*\)) после их второго столкновения, если оно будет абсолютно неупругим?

В центре большого гладкого стола стоит стеклянная чаша массой \(M\). Её внутренняя поверхность представляет собой гладкую полусферу радиусом \(R\). К внутреннему краю чаши плашмя прижимают монету массой \(m\) (см. рисунок) и отпускают.

Определить следующие параметры в момент прохождения монетой нижней точки чаши: — скорость монеты (\(v\)) и чаши (\(V\)) относительно стола; — величину смещения чаши (\(\Delta x\)) относительно стола; — силу давления (\(N\)) монеты на чашу. Дать ответ в общем виде и отдельно для случая \(R=24\) см, \(M=200\) г, \(m=40\) г. Размерами монеты пренебречь.

В цилиндре под поршнем находится смесь воздуха и водяного пара при температуре \(T=100^{\circ}\)C и давлении \(P_1=1\) атм. После изотермического сжатия смеси в \(3\) раза давление в цилиндре оказалось равным \(P_2=2{,}8\) атм. Определить парциальное давление пара (\(P_{\text{п}}\)) и его плотность (\(\rho_{\text{п}}\)) в исходном состоянии. Считать, что воздух и водяной пар описываются уравнением Клапейрона–Менделеева.

Цикл тепловой машины на одноатомном газе имеет на \(PV\)-диаграмме вид треугольника с вершинами в точках (\(P_1;V_1\)), (\(5P_1;V_1\)), (\(5P_1;5V_1\)). Найти КПД (\(\eta\)) тепловой машины. Изобразить цикл на всех трёх (\(PV\), \(PT\) и \(VT\)) диаграммах.

Открытый с одного конца горизонтальный цилиндр имеет внутренний радиус \(R\). Гладкий поршень (скользит без трения) прикреплён к дну цилиндра пружиной. Стенки цилиндра и пружина — диэлектрики, а дно и поршень — проводники. По обе стороны поршня вакуум, пружина не напряжена, и длина её равна \(L_o\ll R\) (см. рисунок). Если с поршня снять некоторый заряд и перенести его на дно, то кулоновские силы будут сжимать пружину. При величине перенесённого заряда, равной \(Q\), пружина сожмётся до \(0\) и поршень коснётся дна. Если же предварительно в пространство между поршнем и дном ввести \(1\) моль газа, то от заряда \(Q\) пружина сожмётся не до \(0\), а до величины \(L_1=L_o/5\). Какой станет длина пружины (\(L_\nu\)), если при том же заряде содержание газа под поршнем довести до \(\nu\) молей? Дать ответ в общем виде (\(L_\nu\)) и конкретно (\(L_9\)) для случая \(\nu=9\). Определить жёсткость пружины (\(K\)). Считать газовые процессы изотермическими, электрическое поле между дном и поршнем однородным, а длину цилиндра неограниченной.

\(N\) одинаковых маленьких шариков ртути раскатились по пластиковому полу далеко друг от друга. Каждый из них заряжен до потенциала \(\varphi_o\). Их собрали в одну сферическую каплю. Определить потенциал (\(\varphi^*\)) этой капли. Во сколько раз (\(n\)) изменилась плотность заряда на поверхности этой капли по сравнению с поверхностной плотностью заряда у исходных шариков? Дать ответ в общем виде и конкретно для случая \(N=27\).

Кипятильник сопротивлением \(R_1=2\) Ом (символ \(\Omega\) — классическое обозначение единицы «Ом»), включённый в некий источник тока, доводит воду в баке до кипения за время \(T=18\) минут. Другой кипятильник, сопротивлением \(R_2=8\) Ом, делает ту же работу с тем же источником за то же самое время. Чему равно внутреннее сопротивление источника \(r_o\)? Кипятильник с каким сопротивлением (\(R_x\)) нужно включить в этот источник, чтобы вскипятить воду за минимальное время? Чему это время (\(T_x\)) равно? Теплопотерями пренебречь.

Стеклянная призма в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами \(a\), \(b\) и \(h\) лежит на гладком столе, опираясь на него своей гранью со сторонами \(a\) и \(b\). По периметру этой опоры призма плотно стянута одним витком тонкого провода, по которому течёт ток \(I\). Плотность стекла \(\rho\). Включается однородное горизонтальное магнитное поле, направленное вдоль стороны \(b\). Индукция поля \(B\) медленно возрастает. Когда величина индукции достигает некоторого порогового значения, призма приходит в движение? Каков характер этого движения? Чему равно это пороговое значение (\(B^*\)) индукции?

Две собирающие линзы \(L_1\) и \(L_2\) с фокусными расстояниями, соответственно, \(F_1=20\) см и \(F_2=10\) см расположены на общей оптической оси так, что параллельный пучок лучей, падающих на одну из линз вдоль её главной оси, выходит из другой линзы также параллельным пучком вдоль этой же оси.

На оптической оси этой системы со стороны первой линзы на расстоянии \(l_1=40\) см от неё находится точечный источник света \(S\) (см. рисунок). Построить изображение этого источника, определить его тип (действительное или мнимое) и указать расстояния (\(x_1\) и \(x_2\)) от него до каждой из линз.

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2015/16, заключительный этап, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.