СПбГУ, 2015/16, заключительный этап, 9 класс

На полу лежит тонкий круглый диск массой \(m_1=1{,}5\) кг. К центру диска прикреплён трос, который перекинут через блок, закреплённый на потолке. К другому концу троса на высоте \(H=360\) см над диском привязан тяжёлый шар массой \(m_2=3{,}5\) кг. Под этим шаром на диске лежит маленький лёгкий шарик. Трос проходит через отверстие в кронштейне, вмонтированном в стену на высоте \(h=50\) см от пола (см. рисунок). Каким будет натяжение троса (\(T\)) после того, как шар отпустят? Через какое время (\(t_o\)) после начала движения диск ударится о кронштейн? На какую высоту над полом (\(h^*\)) подлетит шарик? До какой минимальной высоты над полом (\(h_{\min}\)) нужно поднять кронштейн, чтобы маленький шарик смог долететь до большого? Считать, что диск и большой шар мгновенно останавливаются после удара диска о кронштейн.

Бетонный желоб глубиной \(H=4\) м имеет в сечении вид равнобедренной трапеции (см. рисунок). Скаты \(AB\) и \(CD\) имеют длину \(L=8{,}5\) м каждый, которая ничтожно мала по сравнению с шириной дна \(BC\). Между скатами и дном обеспечены плавные переходы. Маленький ящик массой \(m_1=2\) кг устанавливают на краю желоба в точке «А» и отпускают. На дне в центре желоба стоит ещё один ящик массой \(m_2=1\) кг (см. рисунок). Дно \(BC\) и скат \(CD\) покрыты льдом и являются гладкими поверхностями. Коэффициент трения между поверхностью \(AB\) и ящиками \(\mu=\dfrac{1}{2}\). С какой скоростью (\(V_o\)) первый ящик ударится о второй? С какими скоростями (\(V_1\) и, соответственно, \(V_2\)) будут двигаться ящики после их абсолютно упругого столкновения? На какую высоту от дна (\(h_2\)) поднимется второй ящик по склону \(CD\)? Какой окажется скорость ящиков (\(V^*\)) после их второго столкновения, если оно будет абсолютно неупругим?

В центре большого гладкого стола стоит стеклянная чаша массой \(M\). Её внутренняя поверхность представляет собой гладкую полусферу радиусом \(R\). К внутреннему краю чаши плашмя прижимают монету массой \(m\) (см. рисунок) и отпускают.

Определить следующие параметры в момент прохождения монетой нижней точки чаши: — скорость монеты (\(v\)) и чаши (\(V\)) относительно стола; — величину смещения чаши (\(\Delta x\)) относительно стола; — силу давления (\(N\)) монеты на чашу. Дать ответ в общем виде и отдельно для случая \(R=24\) см, \(M=200\) г, \(m=40\) г. Размерами монеты пренебречь.

Две бесконечные полуплоскости образуют двугранный угол \(\varphi\), внутренние поверхности которого являются зеркалами. Какое максимальное число отражений может претерпеть лазерный луч, произвольно запущенный в этот зеркальный угол?

Сколько раз в течение часа секундная и минутная стрелки обыкновенных часов со стандартным циферблатом окажутся во взаимно перпендикулярном положении? Изменится ли ответ (и как) для кварцевых часов, у которых стрелки перемещаются скачками?

Ящик с грузом общей массой \(m\) нужно тащить по горизонтальному покрытию при помощи верёвки. Верёвку необходимо использовать простейшим способом, без «хитростей», т.е., привязав к ящику только одним концом, тянуть за другой. Её нельзя складывать в несколько раз. Какой минимальной прочностью на разрыв (\(T^*\)) должна обладать эта верёвка, если коэффициент трения между ящиком и покрытием равен \(\mu\)? Какую минимальную работу надо совершить, чтобы протащить ящик на расстояние \(L\)? Дать ответ в общем виде и отдельно для случая \(m=20\) кг, \(\mu=\dfrac{3}{4}\), \(L=50\) м.

Тонкая тяжёлая цепочка одним своим концом закреплена в вершине гладкого сферического купола. Второй её конец свободен. Таким образом, цепочка свободно облегает купол по его «меридиану», образуя дугу, составляющую центральный угол \(\varphi\) (см. рисунок). Затем закреплённый на куполе конец отпускают. С каким ускорением (\(a\)) цепочка начнёт соскальзывать с купола, если \(\varphi=60^{\circ}\)?

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2015/16, заключительный этап, 9 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.