СПбГУ, 2016/17, отборочный этап, 10 класс

Бетонный желоб глубиной \(H\) имеет в сечении вид равнобедренной трапеции с отлогими (не очень крутыми) скатами \(AB\) и \(CD\) и дном \(BC\) длиной \(l\) (см. рис). Между скатами и дном обеспечены плавные переходы. Скат \(CD\) покрыт льдом и является гладкой поверхностью. На остальных двух поверхностях коэффициент трения достаточно высок. Тонкий обруч радиусом \(r\) (\(r \ll H\)) устанавливают на краю желоба в точке \(A\) и отпускают, после чего он начинает скатываться без проскальзывания.

1. На какую высоту от дна (\(h_1\)) поднимется обруч по склону \(CD\)?

2. При какой максимальной длине \(BC\) (\(l_{max}\)) обруч достигнет точки «\(B\)» при обратном движении?

3. На какую высоту (\(h_2\)) поднимется обруч по склону \(AB\) при обратном движении, если \(l = 0\)?

На шероховатом столе лежат два бруска, сцепленные пружиной. Их массы \(m_1 = 400\) г и \(m_2 = 600\) г. Первый брусок пытаются сдвинуть с места, толкая на него через пружину второй брусок горизонтальной силой \(F\), как это показано на рисунке. Минимальная сила, необходимая для этого, равна \(F_{min} = 2\) Н. Определить Коэффициент трения (\(\mu\)) между брусками и столом.

На массивный шероховатый стол положили однородную доску массой \(M\) так, что часть её длиной \(d\) свешивается со стола. К свисающему концу доски на легкой нерастяжимой нити длиной \(l\) привязали маленький тяжелый шар массой \(m\). Получившийся таким образом маятник раскачали с максимальной амплитудой \(x_0\), равной длине свисающей части доски (\(x_0 = d\)), как это представлено на рисунке. Какая минимальная длина доски (\(L_{min}\)) позволит ей удержаться на столе? Считать размеры стола неограниченными, а трение достаточным, чтобы доска не скользила по столу. Дать ответ в общем виде и отдельно для частного случая \(M = 3\) кг, \(d = 40\) см, \(l = 50\) см, \(m = 500\) г.

Рыбаку на моторной лодке нужно попасть в пункт, находящийся прямо напротив него на противоположном берегу достаточно широкой реки. Скорость реки \(V_{p} = 2{,}5\) м/с, скорость лодки \(V_{L} = 2\) м/с. В любом случае лодка не сможет прямо попасть в пункт назначения, т.к. её обязательно снесёт вниз по течению на некоторое расстояние \(L\) от цели. Рыбак был человеком грамотным и взял такой курс, при котором величина этого смещения (\(L\)) окажется наименьшей из всех возможных (\(L_{min}\)).

У того же берега на расстоянии \(S = 140\) м выше по течению стоит катер инспекции «Рыбнадзора». Инспекторы хотят проверить улов рыбака прямо на воде во время переправы. Для этого они стартуют через \(200\) секунд после старта рыбака и берут курс, который гарантирует встречу при условии, что рыбак не будет на своей лодке маневрировать.

Через сколько времени (\(T\)) после старта рыбнадзора и на каком расстоянии от берега (\(Y\)) произойдёт эта встреча, если скорость катера инспекции \(V_{K} = 3{,}2\) м/с?

Газовый процесс, заданный уравнением \(P \cdot V^n = \mathrm{const}\), называется политропическим, а приведенное соотношение — «уравнением политропы». Показателем политропы \(n\) может быть любое число (\(-\infty < n < +\infty\)).

Один моль идеального газа сначала «идет» по политропе \(PV^2 = A\), а затем при некоторой температуре «переходит» на политропу \(P/V^2 = B\). Определить температуру (\(T^*\)), при которой произошел этот переход газа с одной политропы на другую. Константы \(A\) и \(B\) считать известными.

Вертикальная цилиндрическая трубка длиной \(L = 96\) см запаяна снизу. В нижней её части находится воздух, закрытый сверху жидкой ртутной пробкой, доходящей до открытого верхнего обреза трубки. Высота ртутной пробки равна \(l = 40\) см, а воздушного столба, соответственно, \(h = 56\) см (смотри рисунок). Вся система находится при температуре \(t_0 = +16\,^{\circ}\mathrm{C}\) и атмосферном давлении \(H = 760\) мм ртутного столба. Если трубку медленно нагревать, воздух начнет расширяться, постепенно выдавливая ртуть, излишки которой будут выливаться. До какой максимальной температуры (\(T^*\)) можно нагревать трубку, чтобы воздух продолжал оставаться в ней под ртутной пробкой? Какова минимальная высота (\(l_{min}\)) этой пробки? Поверхностными явлениями и температурными изменениями плотности ртути пренебречь.

Процесс расширения 1 моля идеального газа имеет на \(PV\)-диаграмме вид отрезка прямой с концами в точках (\(P_1\); \(V_1\)) и (\(P_2\); \(V_2\)), причем \(P_2 = P_1/\beta\), а \(V_2 = \beta V_1\), где \(\beta\) — произвольное положительное число в интервале \(1 < \beta < \infty\). Определить теплоемкости газа (\(C_1\) и \(C_2\)) в самом начале (\(C_1\)) и в самом конце (\(C_2\)) указанного процесса. Оценить теплоемкость газа (\(C^*\)) при максимальной температуре, достигнутой им в данном процессе.

Из металлических проводов спаяли каркас правильного 2016-угольника со всеми возможными диагоналями. Толщины проводов подобраны так, что каждая сторона и каждая диагональ имеет сопротивление \(r_o\). Контакта между диагоналями внутри каркаса нет (провода покрыты непроводящим лаком). Определить сопротивление (\(R_o\)) между двумя произвольными вершинами каркаса.

Вертикальная круглая мишень радиусом \(r\) совершает горизонтальные гармонические колебания в своей плоскости. Зависимость координаты центра мишени (\(x_c\)) от времени дается выражением \(x_c = A \sin(\omega t)\), где \(A \gg r\). Частота колебаний (\(\omega\)) столь велика, что вести прицельный огонь по мишени невозможно. Стрелок направил прицел винтовки в точку с координатой \(x_o = 0\) и подсоединил спусковой механизм к генератору случайных чисел, так, чтобы выстрелы производились в произвольные моменты времени.

Оценить количество отверстий в мишени (\(n_o\)) после \(N\) таких выстрелов, считая \(N\) достаточно большим, а отверстия — точечными и неповторяющимися (пуля дважды в одну точку не попадает). В точку с какой координатой (\(x^*\)) надо направить прицел, чтобы количество отверстий (\(n^*\)) было максимальным? Чему оно (\(n^*\)) равно? Решить задачу в общем виде и конкретно для случая \(A = 10r\).

Как может измениться ответ, если со случайного темпа стрельбы перейти на регулярный? Например — стрельба из автомата, при которой пули вылетают с определенным интервалом.

Каким будет ответ, если каждый раз случайно выбирать не только момент выстрела, но и точку прицела в пределах перемещения мишени?

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2016/17, отборочный этап, 10 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.