СПбГУ, 2016/17, отборочный этап, 11 класс

Бетонный желоб глубиной \(H\) имеет в сечении вид равнобедренной трапеции с отлогими (не очень крутыми) скатами \(AB\) и \(CD\) и дном \(BC\) длиной \(l\) (см. рис). Между скатами и дном обеспечены плавные переходы. Скат \(CD\) покрыт льдом и является гладкой поверхностью. На остальных двух поверхностях коэффициент трения достаточно высок. Тонкий обруч радиусом \(r\) (\(r \ll H\)) устанавливают на краю желоба в точке \(A\) и отпускают, после чего он начинает скатываться без проскальзывания.

1. На какую высоту от дна (\(h_1\)) поднимется обруч по склону \(CD\)?

2. При какой максимальной длине \(BC\) (\(l_{max}\)) обруч достигнет точки «\(B\)» при обратном движении?

3. На какую высоту (\(h_2\)) поднимется обруч по склону \(AB\) при обратном движении, если \(l = 0\)?

На шероховатом столе лежат два бруска, сцепленные пружиной. Их массы \(m_1 = 400\) г и \(m_2 = 600\) г. Первый брусок пытаются сдвинуть с места, толкая на него через пружину второй брусок горизонтальной силой \(F\), как это показано на рисунке. Минимальная сила, необходимая для этого, равна \(F_{min} = 2\) Н. Определить Коэффициент трения (\(\mu\)) между брусками и столом.

На массивный шероховатый стол положили однородную доску массой \(M\) так, что часть её длиной \(d\) свешивается со стола. К свисающему концу доски на легкой нерастяжимой нити длиной \(l\) привязали маленький тяжелый шар массой \(m\). Получившийся таким образом маятник раскачали с максимальной амплитудой \(x_0\), равной длине свисающей части доски (\(x_0 = d\)), как это представлено на рисунке. Какая минимальная длина доски (\(L_{min}\)) позволит ей удержаться на столе? Считать размеры стола неограниченными, а трение достаточным, чтобы доска не скользила по столу. Дать ответ в общем виде и отдельно для частного случая \(M = 3\) кг, \(d = 40\) см, \(l = 50\) см, \(m = 500\) г.

Вертикальная труба высотой \(h = 4\) м полностью заполнена водой под давлением и герметично закрыта. Давление в нижней части трубы равно \(P_o = 2\) атм. К дну «прилипли» два одинаковых пузырька воздуха. Других пузырьков в объеме нет. Каким окажется давление в нижней части трубы (\(P_1\)), когда один из пузырьков всплывет? Каким оно станет (\(P_2\)) после всплытия второго пузырька? Считать воду несжимаемой, а температуру системы неизменной. Давлением насыщенных паров в пузырьках и растворимостью газа в воде пренебречь.

Газовый процесс, заданный уравнением \(P \cdot V^n = \mathrm{const}\), называется политропическим, а приведенное соотношение — «уравнением политропы». Показателем политропы \(n\) может быть любое число (\(-\infty < n < +\infty\)).

Один моль идеального газа сначала «идет» по политропе \(PV^2 = A\), а затем при некоторой температуре «переходит» на политропу \(P/V^2 = B\). Определить температуру (\(T^*\)), при которой произошел этот переход газа с одной политропы на другую. Константы \(A\) и \(B\) считать известными.

Вертикальная цилиндрическая трубка длиной \(L = 96\) см запаяна снизу. В нижней её части находится воздух, закрытый сверху жидкой ртутной пробкой, доходящей до открытого верхнего обреза трубки. Высота ртутной пробки равна \(l = 40\) см, а воздушного столба, соответственно, \(h = 56\) см (смотри рисунок). Вся система находится при температуре \(t_0 = +16\,^{\circ}\mathrm{C}\) и атмосферном давлении \(H = 760\) мм ртутного столба. Если трубку медленно нагревать, воздух начнет расширяться, постепенно выдавливая ртуть, излишки которой будут выливаться. До какой максимальной температуры (\(T^*\)) можно нагревать трубку, чтобы воздух продолжал оставаться в ней под ртутной пробкой? Какова минимальная высота (\(l_{min}\)) этой пробки? Поверхностными явлениями и температурными изменениями плотности ртути пренебречь.

Три источника постоянного тока и резистор \(R\) собраны в схему, представленную на рисунке. Величины ЭДС источников (\(\varepsilon_i\)) и их внутренних сопротивлений (\(r_i\)) имеют следующие значения: \(\varepsilon_1 = 2\) В, \(r_1 = 0{,}1\) \(\Omega\); \(\varepsilon_2 = 4\) В, \(r_2 = 0{,}2\) \(\Omega\); \(\varepsilon_3 = 12\) В, \(r_3 = 0{,}6\) \(\Omega\); сопротивление резистора \(R = 2\) \(\Omega\). Символ \(\Omega\) (заглавная греческая «омега») — это старинное обозначение единицы сопротивления «Ом». Оно до сих пор используется во избежание путаницы между буквой «О» и цифрой «0».

Определить токи, протекающие через каждый из источников (\(I_1\), \(I_2\) и \(I_3\)) и ток (\(I_R\)), текущий по резистору \(R\).

Из металлических проводов спаяли каркас правильного 2016-угольника со всеми возможными диагоналями. Толщины проводов подобраны так, что каждая сторона и каждая диагональ имеет сопротивление \(r_o\). Контакта между диагоналями внутри каркаса нет (провода покрыты непроводящим лаком). Определить сопротивление (\(R_o\)) между двумя произвольными вершинами каркаса.

Вертикальная круглая мишень радиусом \(r\) совершает горизонтальные гармонические колебания в своей плоскости. Зависимость координаты центра мишени (\(x_c\)) от времени дается выражением \(x_c = A \sin(\omega t)\), где \(A \gg r\). Частота колебаний (\(\omega\)) столь велика, что вести прицельный огонь по мишени невозможно. Стрелок направил прицел винтовки в точку с координатой \(x_o = 0\) и подсоединил спусковой механизм к генератору случайных чисел, так, чтобы выстрелы производились в произвольные моменты времени.

Оценить количество отверстий в мишени (\(n_o\)) после \(N\) таких выстрелов, считая \(N\) достаточно большим, а отверстия — точечными и неповторяющимися (пуля дважды в одну точку не попадает). В точку с какой координатой (\(x^*\)) надо направить прицел, чтобы количество отверстий (\(n^*\)) было максимальным? Чему оно (\(n^*\)) равно? Решить задачу в общем виде и конкретно для случая \(A = 10r\).

Как может измениться ответ, если со случайного темпа стрельбы перейти на регулярный? Например — стрельба из автомата, при которой пули вылетают с определенным интервалом.

Каким будет ответ, если каждый раз случайно выбирать не только момент выстрела, но и точку прицела в пределах перемещения мишени?

Круглый тонкий металлический обруч массой \(m\) несет на себе заряд \(Q\) и лежит на гладком горизонтальном полу в вертикальном однородном магнитном поле индукции \(B\). Обруч начинают раскручивать в горизонтальной плоскости вокруг его вертикальной оси, постепенно увеличивая угловую скорость (см. рисунок). Когда она достигает значения \(\omega_1\), материал обруча не выдерживает растягивающего усилия и разрывается. Если бы обруч раскручивали в обратную сторону, его предел прочности на разрыв достигался бы при большей угловой скорости. Найти ее значение (\(\omega_2\)). Прочность на сжатие считать достаточной. Упругими деформациями до момента разрыва пренебречь. Перечислить все факторы, способствующие или препятствующие растяжению и разрыву обруча. Указать характер их зависимости от частоты (\(\omega\)).

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2016/17, отборочный этап, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.