СПбГУ, 2016/17, отборочный этап, 9 класс

зад 1 Обруч в желобе со льдом

Механика › Вращение твёрдого телаДинамика каченияМеханическая энергия, консервативные системыЭнергия вращениясложность 6/10

Бетонный желоб глубиной $H$ имеет в сечении вид равнобедренной трапеции с отлогими (не очень крутыми) скатами $AB$ и $CD$ и дном $BC$ длиной $l$ (см. рис). Между скатами и дном обеспечены плавные переходы. Скат $CD$ покрыт льдом и является гладкой поверхностью. На остальных двух поверхностях коэффициент трения достаточно высок. Тонкий обруч радиусом $r$ ($r \ll H$) устанавливают на краю желоба в точке $A$ и отпускают, после чего он начинает скатываться без проскальзывания.

На какую высоту от дна ($h_1$) поднимется обруч по склону $CD$?
При какой максимальной длине $BC$ ($l_{max}$) обруч достигнет точки «$B$» при обратном движении?
На какую высоту ($h_2$) поднимется обруч по склону $AB$ при обратном движении, если $l = 0$?

Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь.

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

На льду трения нет, поэтому вращение обруча при подъёме по $CD$ не теряется. Какая часть кинетической энергии обруча при этом сохраняется?

зад 2 Бруски, сцепленные пружиной

Механика › ДинамикаСила трения: покой и проскальзываниеСвязанные телаСила упругости, пружины и их соединениясложность 3/10

На шероховатом столе лежат два бруска, сцепленные пружиной. Их массы $m_1 = 400$ г и $m_2 = 600$ г. Первый брусок пытаются сдвинуть с места, толкая на него через пружину второй брусок горизонтальной силой $F$, как это показано на рисунке. Минимальная сила, необходимая для этого, равна $F_{min} = 2$ Н. Определить Коэффициент трения ($\mu$) между брусками и столом.

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Первый брусок сдвинется, когда сила упругости пружины достигнет максимальной силы трения покоя, действующей на него со стороны стола.

зад 3 Доска со свисающим маятником

Механика › СтатикаУстойчивость равновесияМатематический и физический маятникСила трения: покой и проскальзываниесложность 7/10

На массивный шероховатый стол положили однородную доску массой $M$ так, что часть её длиной $d$ свешивается со стола. К свисающему концу доски на легкой нерастяжимой нити длиной $l$ привязали маленький тяжелый шар массой $m$. Получившийся таким образом маятник раскачали с максимальной амплитудой $x_0$, равной длине свисающей части доски ($x_0 = d$), как это представлено на рисунке. Какая минимальная длина доски ($L_{min}$) позволит ей удержаться на столе? Считать размеры стола неограниченными, а трение достаточным, чтобы доска не скользила по столу. Дать ответ в общем виде и отдельно для частного случая $M = 3$ кг, $d = 40$ см, $l = 50$ см, $m = 500$ г.

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Доска опрокинется, если суммарный момент сил относительно края стола сменит знак. Подумайте, как при качании маятника меняется сила натяжения нити, действующая на свисающий конец доски.

зад 4 Переправа со сносом и катер инспекции

Механика › КинематикаДвижение по реке, переправы, ветерОтносительность движения, сложение скоростейРавномерное движение, средняя скоростьсложность 5/10

Рыбаку на моторной лодке нужно попасть в пункт, находящийся прямо напротив него на противоположном берегу достаточно широкой реки. Скорость реки $V_{p} = 2{,}5$ м/с, скорость лодки $V_{L} = 2$ м/с. В любом случае лодка не сможет прямо попасть в пункт назначения, т.к. её обязательно снесёт вниз по течению на некоторое расстояние $L$ от цели. Рыбак был человеком грамотным и взял такой курс, при котором величина этого смещения ($L$) окажется наименьшей из всех возможных ($L_{min}$).

У того же берега на расстоянии $S = 140$ м выше по течению стоит катер инспекции «Рыбнадзора». Инспекторы хотят проверить улов рыбака прямо на воде во время переправы. Для этого они стартуют через $200$ секунд после старта рыбака и берут курс, который гарантирует встречу при условии, что рыбак не будет на своей лодке маневрировать.

Через сколько времени ($T$) после старта рыбнадзора и на каком расстоянии от берега ($Y$) произойдёт эта встреча, если скорость катера инспекции $V_{K} = 3{,}2$ м/с?

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Удобно перейти в систему отсчёта, связанную с водой: в ней течения нет, и вопрос о сносе сводится к углу, под которым лодка движется относительно воды.

зад 5 Пузырьки в вертикальной трубе

Термодинамика и молекулярная физика › Идеальный газИзопроцессыДавление жидкостиУравнение состояниясложность 5/10

Вертикальная труба высотой $h = 4$ м полностью заполнена водой под давлением и герметично закрыта. Давление в нижней части трубы равно $P_0 = 2$ атм. К дну «прилипли» два одинаковых пузырька воздуха. Других пузырьков в объеме нет. Каким окажется давление в нижней части трубы ($P_1$), когда один из пузырьков всплывет? Каким оно станет ($P_2$) после всплытия второго пузырька? Считать воду несжимаемой, а температуру системы неизменной. Давлением насыщенных паров в пузырьках и растворимостью газа в воде пренебречь. Обращаем внимание девятиклассников, которые еще не знакомы детально с газовыми законами, на закон Бойля-Мариотта. Согласно ему, любые изменения объема какого-то количества газа, если они происходят при постоянной температуре, приводят к таким изменениям его давления, что произведение объема газа на создаваемое им давление всегда остается неизменным.

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Давление воды на уровне пузырька зависит от высоты столба над ним, а объём пузырька при подъёме меняется. Примените закон Бойля–Мариотта к газу в пузырьке и гидростатику к воде.

зад 6 Пружина с тросом между точками $A$ и $B$

Механика › ДинамикаСила упругости, пружины и их соединенияРавновесие тел, моменты силСимметриясложность 6/10

Вертикальная пружина длиной $l$ в ненапряжённом состоянии закреплена своими концами на потолке и, соответственно, на полу. К её середине подвешивают некий груз и медленно его отпускают. При этом он смещается от точки подвеса вниз на глубину $h_0$. Далее груз отцепляют и затем отрезок легкого гибкого нерастяжимого троса длиной $(1 - \alpha - \beta)\cdot l$ привязывают концами (см. рисунок) к двум точкам пружины, одна из которых (точка «$A$») отстоит на $\alpha l$ от пола, а другая (точка «$B$») — на $\beta l$ от потолка ($\alpha > 0$, $\beta > 0$, $0 < \alpha + \beta < 1$). Каким будет смещение этого же груза относительно точки подвеса ($h_A$), если его подвесить к точке «$A$»? Каким будет смещение груза ($h_B$), если его подвесить к точке «$B$»?

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Жёсткость пружины обратно пропорциональна её длине. Определите, какие участки пружины работают, когда груз подвешен к точке $A$ или к точке $B$.

зад 7 Карусель с маятником

Механика › ДинамикаДинамика движения по окружности, конический маятникМатематический и физический маятникМалые колебания, период через энергиюсложность 7/10

На верхнем конце вертикальной штанги, как на оси, закреплён горизонтальный диск радиусом $R = 2$ м. На краю диска на легкой нерастяжимой нити длиной $l = 2$ м подвешен маленький тяжелый груз. Вся система начинает вращаться вокруг вертикальной оси (штанги) с постоянной угловой скоростью, совершая один оборот за время $t_0 = \pi$ секунд. При этом нить, на которой подвешен груз, отклоняется от вертикали на угол $\alpha$ (см. рисунок). Найти величину этого угла. Определить период малых колебаний груза ($T^*$) вокруг положения своего равновесия в системе этой вращающейся «карусели». Сравнить его с периодом малых колебаний груза ($T_0$), когда «карусель» не вращается.

Рекомендация. Если по ходу решения возникнет уравнение, которое трудно решить аналитически, постарайтесь его максимально упростить и далее воспользуйтесь какой-либо компьютерной программой для получения численного ответа. Но уравнение обязательно представьте, поскольку это существенная часть решения.

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Груз движется по окружности радиуса $R + l\sin\alpha$: равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити даёт центростремительное ускорение. Для малых колебаний удобно записать уравнение во вращающейся системе отсчёта.

зад 8 Цилиндр на наклонном столе

Механика › СтатикаУстойчивость равновесияСила трения: покой и проскальзываниеРавновесие тел, моменты силсложность 6/10

На столе стоит однородный цилиндр диаметром $d$ и высотой $h$. Коэффициент трения между столом и цилиндром $\mu$. Стол начинают медленно наклонять.

При какомне угле наклона $\alpha$ цилиндр придет в движение? Что это будет: соскальзывание или опрокидывание? Дать критрий для обоих случаев.
Пусть движение цилиндра началось с соскальзывания, а угол наклона стола продолжают медленно увеличивать. При каком угле наклона ($\alpha^*$) цилиндр опрокинется? Размеры стола считать неограниченными.

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Соскальзывание начинается, когда тангенс угла наклона достигает коэффициента трения; опрокидывание — когда вертикаль через центр масс выходит за нижнюю кромку опоры. Сравните эти два условия.

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2016/17, отборочный этап, 9 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.