СПбГУ, 2016/17, заключительный этап, 11 класс

К противоположным стенам комнаты (шириной \(L=3\) м) прикрепили на одном уровне концы лёгкого резинового троса такой же длины \(L\). Затем к середине троса подвесили груз и аккуратно отпустили. В итоге груз «просел» на «глубину» \(h=2\) м относительно исходного уровня. Определить период малых вертикальных колебаний груза около этого положения.

На снегу стоят санки (без спинки) массой \(M = 10\) кг. На них лежит коробка массой \(m = 15\) кг. Коэффициент трения санок о коробку \(\mu_2 = 0{,}6\). Санки тянут с горизонтальной силой \(F\), которую постепенно увеличивают. Когда она достигает значения \(F^* = 150\) Н, коробка начинает соскальзывать с санок назад и падает на снег. Найти коэффициент трения \(\mu_1\) санок о снег.

На пружине жёсткостью \(k = 100\) Н/м к потолку подвесили груз массой \(m = 8\) кг и раскрутили его в горизонтальной плоскости так, что он начал ходить по кругу, а пружина — описывать коническую поверхность (см. рисунок). В самом конце процесса, когда движение груза почти затухло и угол пружины с вертикалью стал исчезающее малым, период обращения груза по окружности асимптотически подошёл к значению \(T = \pi\) с. Чему равна длина пружины \(L_0\) в ненапряжённом состоянии?

В кислородном баллоне объёмом \(V_1=10\) л давление газа \(P_1=14\) атмосфер. Он стоит на складе, где поддерживается температура \(T_0= +7^\circ\)C. Туда принесли ещё 2 баллона: один из цеха (его параметры \(V_2=30\) л, \(P_2=50\) ат, \(T_2= +27^\circ\)C), а другой с улицы (\(V_3=20\) л, \(P_3=26\) ат, \(T_3= -13^\circ\)C). Все 3 баллона соединили короткими шлангами и открыли вентили, сделав их объёмы сообщающимися. Найти общее давление (\(P_o\)) и температуру (\(T_o\)) в баллонах сразу после перемешивания, считая, что теплообмен с атмосферой ещё не начался. Какое давление (\(P^*\)) установится после теплообмена с атмосферой?

В гладкостенной трубе два поршня массами \(m_1\) и \(m_2\) (\(m_1 > m_2\)) движутся навстречу друг другу. Между поршнями находится один моль идеального газа. За поршнями — вакуум. В некоторый момент скорости поршней равны, соответственно, \(V_1\) и \(V_2\) (\(V_1 > V_2\)) при температуре газа \(T_0\). Найти температуру газа (\(T_{max}\)) и скорости поршней в момент их максимального сближения. Газовый процесс считать адиабатическим.

1. Найти сопротивление (\(R_{AB}\)) между точками «A» и «B» в схеме, изображённой на рисунке.

2. Каким станет сопротивление (\(R_{AB+}\)) между точками «A» и «B», если в схеме на приведённом рисунке ключ K замкнуть? \(R_1=6\) Ом, \(R_2=30\) Ом, \(R_3=20\) Ом.

3. Определить напряжение (\(U_{AB}\)) между точками «A» и «B», если через ключ K потечёт ток \(I_K = 12\) А.

«Сэндвич» состоит из четырёх одинаковых тонких металлических пластин A, B, C и D (чёрные полоски на рисунке), проложенных листами тонкой бумаги с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) (серые полоски на рисунке) и плотно прижатых друг к другу. Площадь каждой пластины и бумажной прокладки равна \(S\), толщина бумаги \(d\) (причём \(d^2 \ll S\)).

1. Какова электроёмкость (\(C_{BD}\)) между пластинами B и D в исходном состоянии, когда все пластины свободны (изолированы друг от друга)?

2. Какой станет электроёмкость (\(C^*_{BD}\)) между пластинами B и D, если пластины A и C соединить между собой тонким металлическим проводом?

Из проволоки сделан плоский каркас в виде правильного шестиугольника со стороной \(L\). К соседним вершинам при помощи длинных прямых проводов, направленных в центр каркаса, подведён источник постоянного тока с ЭДС \(\varepsilon\). Определить величину вектора индукции магнитного поля в центре шестиугольника, если электрическое сопротивление каждой из его сторон равно \(R\). Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2016/17, заключительный этап, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.